Nombres complexes 1

GÉOMÉTRIE

Nombres complexes 1

Connaissances nécessaires à ce chapitre

I Factoriser une expression

I Utiliser les formules de géométrie dans les repères I Représenter des angles sur un cercle trigonométrique

I Connaître les définitions et les valeurs particulières pour le sinus et le cosinus des angles de vecteurs

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1

1)Factoriser les expressions suivantes lorsque c’est possible :

A(x) =4−x² B(x) =4x²−16 C(x) =x²+25.

2)En utilisant le discriminant donner, lorsque c’est possible, une factorisation des expressions

suivantes :

F(x) =x²−5x+6 ; G(x) =x²−5x+7.

2 On se place dans un repère orthonormé

O;−→i ,−→j

. On considère les points A(−3 ; 7), B(−2 ; 1)et le vecteur~u(1 ; −2).

1)Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants : a)−→

AB b)−→AB+−→u c) −→

AB− −→u d)2−→AB+3−→u 2)Déterminer

−→AB ,

−→u et

−→AB+−→u .

3 On considère le cercle trigonométrique ci-contre dans un repère orthonormé

O; −→i , −→j .

M₁ M2

M3

M₄

M₅

M₆

M7

M₈

~i

~j

1)Donner une valeur en radians pour les angles : (~i,\−−→

OM_i)pouride 1 à 8.

2)Placer sur le cercle les points tels que :

\ −→

i ,−→

OP

=−π/3, −→\ i ,−→

OR

=11π/4 3)On pose α_i = (~i,\OM−−→_i). Déterminer cos(α_i) et

sin(α_i).

4 Déterminer une solution des équations suivantes :

1)cos(x) = 1

2 2)sin(x) =−

√3 2 .

Activités d’approche

ACTIVITÉ 1 L’imagination est sans limite !

1)L’ensemble de nombres le plus simple est celui de nombres entiers naturels, notéNet qui contient les nombres que vous connaissez depuis longtemps : 0 ; 1 ; 2 ; 3...

a) Quel est le nombre entier naturel qui ajouté à 7 donne 12 ? b)Quel est le nombre entier naturel qui ajouté à 12 donne 7 ?

2)L’exemple précédent montre que l’ensemble Nest « insuffisant » car certaines équations simples n’y trouvent pas de solution. On peut alors utiliser l’ensemble des entiers relatifs, notéZ, et qui contientNet les opposés des entiers naturels (par exemple :−3 ; −2).

a) Résoudre dansNpuis dansZl’équation : 2x+8=0.

b)Même question avec l’équation : 2x+7=0.

3)De nouveau l’ensembleZest en quelque sorte insuffisant pour exprimer les solutions de certaines équations.

a) De quel autre ensemble de nombres a-t-on au minimum besoin pour que l’équation du 2x+7=0 ait une solution ?

b)Dans ce nouvel ensemble quelles sont les solutions de l’équation : 9x²=16 ?

c) Décrire l’ensemble de nombres dont on a besoin au minimum pour que l’équation précé- dente ait une solution. On noteraQcet ensemble.

4)Modifier l’équation précédente pour qu’elle n’admette pas de solution dans l’ensemble des rationnels. Dans quel ensemble faut-il travailler pour pouvoir dire qu’elle a deux solutions ? 5)Que pouvez-vous dire de l’équationx²+1=0 en terme de solutions dans les ensembles de

nombres précédents ?

6)Compléter le schéma commencé ci-dessous, qui montre les inclusions successives des ensembles de nombres en donnant à chaque fois une équation qui n’a pas de solution dans l’ensemble, mais en a une dans le suivant.

N

0 ; 1 ; 2 ...

x+5=3 Z

...-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2...

2x+5=0 D

-2 , 5 ; 1 , 7 ; -2;5...

3x=1

ACTIVITÉ 2 Une vieille histoire... l’équation de Bombelli

À l’époque de la Renaissance, les mathématiciens Girolamo Cardano (1501-1576), Scipione Del Ferro (1465-1526) et Niccolò Fontana (1499-1557) trouvèrent une méthode pour résoudre les équations de degré trois du typex³+px+q = 0. Le principe général était acquis mais bu- tait sur des cas comme l’équation de Bombelli (1526-1572) :x³−15x−4 = 0. Or pour cette dernière, Raffaello Bombelli savait qu’il y avait trois solutions dont une évidente !

Activités d’approche

1)Point de départ de la méthode dite de Cardan

a) On posex=u+v. Et on cherche les valeurs dextelles quex³−15x−4=0. En utilisant que(u+v)³=u³+3u²v+3vu²+v³, démontrer queuetvdoivent satisfaire l’équation :

(u³+v³) +3uv(u+v)−15(u+v)−4=0.

b)En déduire queuetvsont solutions de l’équation :

(u³+v³)−4+ (3uv−15)(u+v) =0.

c) Expliquer pourquoi on aura trouvé une solution dès que l’on obtientuetvsolutions du système :

( u³+v³ = 4 u×v = 15

d)Démontrer alors que les nombresu³etv³sont solutions de l’équation :X²−4X+125=0.

Puis expliquer pourquoi on ne pourra pas ainsi détermineruetv(et par conséquent la solution connue).

2)Le tour de passe-passe de Bombelli.

a) Néanmoins des solutions existaient et Bombelli pensait que la méthode devait les donner.

Il décida alors de terminer le calcul en utilisant un nombre « imaginaire » que nous note- rons√

−1. À l’aide de cette notation, expliquer pourquoi l’équationX²−4X+125=0 a alors deux solutions : 2−11√

−1 et 2+11√

−1.

b)Vérifier alors que :(2+√

−1)³ =2−11√

−1 et que(2−√

−1)³=2+11√

−1.

c) En déduire que la méthode permet bien de retrouver une solution attendue pour l’équa- tion de Bombelli.

d)À l’aide d’un logiciel de calcul formel comme Xcas effectuer une résolution de l’équation et comparer aux résultats obtenus.

ACTIVITÉ 3 Repérage par angle et rayon

Le plan est muni d’un repère orthonormé O;−→u,−→v . 1)Représenter dans ce repère les points suivants :

a) les pointsMtels quekOM−−→k= 3

2, puisNtels que \

−→u,−→ON

= π 4 ; b)le pointEvérifiant les deux conditions précédentes ;

c) les pointsPtels que\

−→u,−→

OP

=−5π 6 ; d)le pointAtel quek−→

OAk=2 et \

−→u,−→

OA

= π 6 ; e) le pointBtel quekOB−→k=1 et \

−→u,−→OA

=−2π 3 ; f) le pointCtel quek−→OCk=2 et \

−→u,−→OA

= 3π 4 . 2)Donner les coordonnées des pointsA,BetC.

3)Proposer une formule générale permettant de calculer les coordonnées d’un pointMconnais- sant−→u\,−−→

OM

etk−−→

OMk.

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1. Forme algébrique et représentation d’un nombre complexe A.

THÉORÈME

Il existe un ensemble notéCappeléensemble des nombres complexesqui possède les propriétés suivantes :

Ccontient l’ensemble des nombres réels ; il contient un nombre i tel que i²=−1 ;

il est muni d’uneaddition et d’une multiplicationqui ont lesmêmes propriétés que dans R, l’ensemble des nombres réels.

Exemples

• Les nombres−1 ; 0 ; 3/4 ; √

2 sont des nombres réels donc ce sont aussi des éléments deC.

• À l’aide du nombre i et de la multiplication :−i ; 2i ; i√

2... sont aussi dansC.

• Avec les additions, les nombres suivants sont aussi dansC:−1+i ; √ 2+2i.

DÉFINITION

Tout nombre complexe peut s’écrire sous la forme :z=a+ibaveca,b∈R.

Cette écriture est appeléeforme algébrique dez: aest appeléepartie réelledez, notée Re(z).

best appeléepartie imaginairedez, notée Im(z).

REMARQUES:

Lorsque Im(z) =0,z=aest réel.

Lorsque Re(z) =0,z=ibest appeléimaginaire pur.

MÉTHODE 1 Réduire un complexe à sa forme algébrique Ex. 11 p. 249 Exercice d’application Soientz₁ = 1+2i,z₂ = −1+i, des nombres complexes. Déterminer les

parties réelles et imaginaires des complexes :z₃=z₁×z₂,z₄=z²₁.

Correction z₃ = (1+2i)(−1+i) =−1+i−2i+2i²=−1−i−2=−3−i.

Donc Re(z3) =−3 et Im(z3) =−1.

z₄= (1+2i)²=1+4i+ (2i)² =1+4i−4=−3+4i. Donc Re(z₄) =−3 et Im(z₄) =4.

THÉORÈME

Soientz₁=a₁+ib1etz₂=a₂+ib2deux nombres complexes : z₁ =z₂⇐⇒

( a₁ = a₂ b₁ = b₂ L’ écriture algébrique d’un nombre complexe estunique.

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PREUVE

Soientz₁ =a₁+ib₁etz₂=a₂+ib₂deux complexes tels quez₁=z₂.

z₁=z₂⇐⇒a₁+ib1=a₂+ib2⇐⇒a₁−a₂=i(b2−b₁) (1) Raisonnons par l’absurde : sib₂6=b₁alors a₁−a₂

b₂−b₁ =i.

a₁−a₂

b₂−b₁ étant un réel, on aboutit à une contradiction.

Doncb₁=b₂et on déduit alors de (1) quea₁−a₂=0 donca₁=a₂. La réciproque est claire.

Exemple Soitz=2x−1+i(3−y),x∈Rety∈R, un complexe.

On az=0 si et seulement si 2x−1=0 et 3−y=0 c’est-à-direx= 1

2ety=3.

B.

Le plan est muni d’un repèreorthonormé direct: O; −→

OU, −→

OV

= O;−→u,−→v . DÉFINITION

Tout nombre complexez = a+ibaveca,b∈ Rpeut être représenté dans ce repère par :

un unique point :M(a; b), appeléimage ponctuelledez=a+ib.

un unique vecteur :−−→

OM(a; b)appeléimage vectorielledez=a+ib.

On dit quez = a+ibest l’affixe du point M et du vecteur−−→OM.

On note souvent M(z) ou M(a+ib) et −−→OM(z) ou OM(a−−→ +ib).

M(a+ib)

a b

axe des réels axe des imaginaires

O U

V

REMARQUES:

Les complexesz=a∈Rsont les nombres réels et sont représentés surl’axe des abscisses.

Les complexesz = ib,b ∈Rsont lesimaginaires purset sont représentés surl’axe des ordonnées.

Le plan est alors appeléplan complexe.

Exemple

Dans le plan complexe, on a représenté ci-contre les points d’affixeztels que

• Re(z) =2

• Im(z) =3

• Re(z) =Im(z). ^{−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6}

0 1 2 3 4

−1

−2 Re(z) =2 Im(z) =3

Im(^z) = Re(^z)

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2. Addition, multiplication par un réel et géométrie

On se place dans le repère orthonormé O;−→u,−→v .

A.

THÉORÈME

Siz₁= a₁+ib₁etz₂=a₂+ib₂alorsz₁+z₂ = (a₁+a₂) +i(b₁+b₂).

Siz₁est l’affixe de−w→₁etz₂celle de−w→₂alorsz₁+z₂est l’affixe de−w→₁+−w→₂.

PREUVE La première règle est en réalité une définition de l’addition des nombres com- plexes et la seconde une conséquence directe de la formule des coordonnées de la somme des deux vecteurs−→w₁(a₁; b₁)et−→w₂(a₂;b₂).

REMARQUE:Dans la pratique, on se passe aisément de la formule en calculant avec les règles habituelles puisque :(a₁+ib₁) + (a₂+ib₂) =a₁+ib₁+a₂+ib₂=a₁+a₂+i(b₁+b₂).

B.

THÉORÈME

L’opposé du nombre complexez=a+ibest :

−z= (−a) +i(−b) =−a−ib.

zest l’affixe du point M.L’opposédeznoté−zest l’affixe dusymétriquedeMpar rapport àl’origine.

sizest l’affixe de−→w alors−zest l’affixe de−−→w.

M(z)

M⁰(−z)

O U

V

PREUVE

• On vérifie quez+ (−z) =0. En effet,z+ (−z) =a+ib+ ((−a) + (−b)i) =0.

• Les points MetNd’affixes respectiveszet−zont pour coordonnées(a; b)et(−a;−b).

La formule des coordonnées du milieu donne : le milieu des deux points est bien l’origine du repèreO(0 ; 0).

• La preuve résulte directement des coordonnées de l’opposé d’un vecteur dans un repère.

C.

THÉORÈME

Siz₁= a₁+ib₁etz₂=a₂+ib₂alorsz₁−z₂ =z₁+ (−z₂) = (a₁−a₂) +i(b₁−b₂).

Si−w→₁et−w→₂sont d’affixes respectivesz₁etz₂alors−w→₁− −w→₂est d’affixez₁−z₂. SiAetBsont d’affixeszAetzBalorszB−zAest l’affixe de−→AB.

PREUVE Elle résulte des définitions et des formules des coordonnées de vecteurs dans les repères.

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MÉTHODE 2 Utiliser les complexes en géométrie Ex. 17 p. 249 La méthode générale consiste à :

1)Transformer les données géométriques du texte ou les questions en terme de vecteurs puis de nombres complexes.

2)Utiliser les règles de calcul pour résoudre le problème.

Exercice d’application

On considère trois points A,B,C d’af- fixes :

zA =−3+2i,zB=1+i etzC=3−4i.

1)Déterminer l’affixe du point D pour queABCDsoit un parallélogramme.

2)Déterminer les coordonnées du centre de ce parallélogramme.

Correction

1) ABCDest un parallélogramme si et seulement si−→AB=−→DCc’est-à-dire :

zB−zA=zC−zD⇐⇒zD=zC−zB+zA. On en déduit en remplaçant par les données : zD=3−4i−1−i−3+2i=−1−3i.

2) Iest le centre du parallélogramme équivaut à :

−→ AI=−→

IC⇐⇒zI−zA=zC−zI.

On isole alors l’inconnuez_Iet on obtient : 2zI=zA+zC⇐⇒zI= z_A+z_C

2 .

En remplaçant par les données :z_I=−i

D.

THÉORÈME

Soitz∈C,λ∈Ret−→w d’affixez. Le complexeλzest l’affixe du vecteurλ−→w.

Exemple SoitA,Bdeux points du plan d’affixez_A= 3−i etz_B=−2+3i. Le vecteur 2−→

AB a pour affixe : 2(z_B−z_A) =2(−5+4i) =−10+8i.

3. Inverse et quotient de nombres complexes A.

DÉFINITION

Leconjugué d’un nombre complexez=a+ibest le com- plexea−ib, noté ¯z.

Sizest l’affixe deM, ¯zest l’affixe du symétrique deMpar rapport à l’axe des réels.

M(z)

M0(z)

O U

V

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PREUVE On prouve la seconde partie de la définition. Soit M d’affixe z = a+ibet N d’affixez=a−ib. En termes de coordonnées on aM(a;b)etN(a;−b). Donc :

• d’une part, le milieu de[MN]a pour coordonnées(a; 0)et appartient donc à l’axe des réels ;

• d’autre part, on a−−→

MN(0 ; 2b), et donc−−→MN.−→u =0.

Donc, soitM= Net dans ce casb=0, ce qui signifie que les deux points sont confondus sur l’axe des réels ; soitM6= Net les deux constatations précédentes montrent que l’axe des réels est la médiatrice du segment[MN]. Dans les deux cas cela prouve le résultat.

THÉORÈME

1)z+z=2Re(z);z−z=2iIm(z).

2)zest réel si et seulement siz=z.

3)zest imaginaire pur si et seulement siz=−z.

PREUVE

1)On écritzsous sa forme algébriquez=a+ibet on a doncz=a−ib. On en déduit : z+z=a+ib+a−ib=2a=2 Re(z).

La seconde partie se prouve de la même façon.

2)On az=z⇐⇒z−z=0⇐⇒2i Im(z) =0 ce qui équivaut àz∈R.

3)Même méthode qu’au 2).

B.

THÉORÈME

Pour tout nombre complexeznon nul, il existe un nombre complexez⁰tel quezz⁰=1.

Ce nombre s’appelle l’inverse dez, noté1

z et il est tel que : 1

z = z z×z. Siz=a+ib6=0 alors la forme algébrique de 1

z est : 1 z = a

a²+b² +i −b a²+b².

PREUVE Soitz6=0.z×z = (a+ib)(a−ib) = a²−(ib)² = a²+b²est un réel positif non nul. Il admet donc un inverse dansRque l’on note 1

z×z. On a donc(z×z)× 1

z×z = 1 et doncz×

z× 1 z×z

= 1. Le nombre complexezadmet donc un inverse dansCqui estz× 1

z×z et on en déduit facilement la forme algébrique.

Exemple Dans la pratique, on effectue une multiplication par le conjugué du dénominateur pour se ramener à un dénominateur réel.

1)z=2i. On a 1 z = 1

2i = −2i

2i×(−2i)= −2i 4 =−1

2i.

2)z= 1

2+3i = (2−3i)

(2+3i)(2−3i)= 2−3i 4+9 = 2

13− 3 13i.

Cours - Méthodes

C.

DÉFINITION

Soientz₁etz₂6=0 deux nombres complexes. On définit leur quotient par : z₁

z₂ =z₁× 1 z₂.

MÉTHODE 3 Calculer et utiliser le quotient des nombres complexes Ex. 45 p. 252 Exercice d’application Résoudre l’équation :(1+i)z−2=3+2i.

Correction On procède comme pour les nombres réels en isolant l’inconnuez: (1+i)z−2=3+2i⇐⇒(1+i)z=5+2i⇐⇒z= 5+2i

1+i = (5+2i)(1−i)

(1+i)(1−i) = 7−3i 2 . L’unique solution est donc le nombre complexe :z= 7

2−3 2i.

D.

THÉORÈME

Soientz₁etz₂deux nombres complexes.

1)z₁=z₁ 4)zⁿ₁ = (z₁)ⁿ,nentier naturel.

2)z₁+z₂ =z₁+z₂ 5)

z₁ z₂

= z₁

z₂,z₂ 6=0.

3)z₁×z₂ =z₁×z₂

PREUVE

• On prouve la troisième égalité, les deux premières se faisant de la même manière dans un contexte plus simple.

On écrit les complexesz₁etz₂sous forme algébrique :z₁=a₁+ib₁etz₂ =a₂+ib₂. On a alors :z₁×z₂= (a₁a₂−b₁b₂) +i(a₁b₂+a₂b₁) = (a₁a₂−b₁b₂)−i(a₁b₂+a₂b₁).

D’autre part :

z₁×z₂ = (a₁−ib₁)(a₂−ib₂)

= (a₁a₂+b₁b₂i²)−i(a₁b₂+a₂b₁)

= (a₁a₂−b₁b₂)−i(a₁b₂+a₂b₁) Ce qui donne bien l’égalité cherchée.

• L’égalité 4) se démontre par récurrence (voir exercice 36).

• Pour l’égalité 5) :z₂× z₁

z₂

=z₂× z₁

z₂ =z₁d’après la propriété 3). Donc en redivisant par z₂6=0 on obtient bien le résultat du 5).

Exemple Démontrons queS= (1+i)⁵+ (1−i)⁵est un nombre réel.

On a(1+i)⁵= (1+i)⁵ = (1−i)⁵. DoncS=z+z=2 Re(z)avecz= (1+i)⁵.Sest donc bien un nombre réel.

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4. Équations du second degré

THÉORÈME

Pour tout nombre réel non nula, l’équationz² =aadmet deux racines dansC: Sia>0, les racines sont√

aet−√ a.

Sia<0, les racines sont iq

|a|et−iq

|a|.

EXEMPLES:Les solutions de :z² =16 sont 4 et−4. Les solutions dez² = −5 dansCsont i√

5 et−i√

5 (alors que cette équation n’a aucune solution dansR) THÉORÈME

Soitaz²+bz+c=0,a∈R^∗,b∈Retc∈R.∆=b²−4acle discriminant de cette équation.

Si∆=0, l’équation a une unique solution dansR:z₀= −b 2a. Si∆>0, l’équation a deux solutions dansR:z₁= −b−√

∆

2a etz₂= −b+√

∆ 2a .

∆<0, l’équation a deux solution dansCqui sont conjuguées : z₁ = −b−i√

−∆

2a etz₂= −b+i√

−∆

2a .

PREUVE Les deux premiers cas ont été traités en classe de Première. Pour le dernier, on part de l’écriture canonique :

az²+bz+c=a

"

z+ b

2a ₂

− ∆ 4a²

# .

Si∆<0 alors ∆

4a² est strictement négatif mais on peut l’écrire sous la forme d’un carré :

∆ 4a² =

! i

√−∆ 2a

$₂ .

On peut donc poursuivre la factorisation à partir de la forme canonique à l’aide de l’identité A²−B² = (A−B)(A+B):

az²+bz+c=a

! z+ b

2a −i

√−∆ 2a

$ ! z+ b

2a+i

√−∆ 2a

$ .

Commea6=0, l’utilisation de théorème sur les produits de facteurs nuls donne bien le résultat.

REMARQUES:

Toute expressionQ(z) =az²+bz+c,a∈R^∗,b∈Retc∈R, se factorise dansCet : Q(z) =az²+bz+c=a(z−z₁)(z−z₂).

Q(z) =az²+bz+c=a

z²+ b az+ c

a

=a

z²−Sz+P avec :

S=z₁+z₂=−b

a etP=z₁×z₂= c a.

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MÉTHODE 4 Résoudre une équation du second degré dansC Ex. 51 p. 252 Exercice d’application

Résoudre l’équation :z²−2z=−3.

Correction

On ramène à un second membre nul :z²−2z+3=0.

On peut alors calculer le discriminant :∆= (−2)²−4×1×3=−8.

Le discriminant est strictement négatif, il y a donc deux solutions dansC: z₁ = 2−i√

8

2 =1−i√

2 et z₂= 2+i√ 8

2 =1+i√ 2 qui sont bien complexes conjuguées.

5. Module et argument d’un nombre complexe

A.

DÉFINITION

Soitzun complexe.M(ou−→w) un point (ou un vecteur) d’affixez.

On appelle module de z la distance OM (ou la norme

||−→w||). Le module dezest noté|z|.

Siz6=0, on appelleargumentdezune mesure en radians de l’angle−→u\,−−→OM

( ou −→\u,−→w ).

Un argument dezest noté arg(z).

Le complexe nul n’a pas d’argument et a pour module 0.

M(z)

|z|=OM arg(z)

O U

V

REMARQUE:

arg(z)peut prendre une infinité de valeurs différentes : siθest une mesure de arg(z)alors θ+k2πest une autre mesure de arg(z)pourk∈Z. On notera : arg(z) =θ[2π]et on dit que l’argument dezvautθ« modulo 2π» ou « à 2πprès ».

Exemples

• |i|=OV =1 et arg(i) =−→u\,−→

OV

= π 2.

• SoitM₁d’affixe−4 on a ;| −4|=OM₁ =4 et arg(−4) =−→u\,−−→

OM₁

=π.

• SoitM₂d’affixe 1+ion a :

|1+i|=OM₂=p

1²+1²=√

2 d’après la formule des distances arg(1+i) =−→u\,−−→

OM₂

= π

4 la diagonale du carréOUM₂Vétant la bissectrice de −\→u,−→v .