Les Nombres Complexes
1. Définition
On appellenombre complexetoute expression de la formea+bi oùaetbsont deux nombres réels et i représente un nouvel élément tel que i2 =−1.
2. Notations
On noteC l’ensemble des nombres complexes.
L’écriture z =a+bi avec a etb réels est appelée la forme algébriquede z. a est la partie réelle de z et on notea =Re(z).
b est la partie imaginaire dez et on note b=Im(z) 3. Egalité
Soit z =a+bi avec a et b réels et z0 =a0 +b0i avec a0 etb0 réels. Alors : z =z0 si et seulement si a=a0 et b=b0
4. Propriété
Un nombre complexe z est un réel si et seulement si Im(z) = 0.
5. Définition
Un nombre complexe z est un imaginaire pur si et seulement si Re(z) = 0.
6. Opérations dans C
L’addition et la multiplication dans C sont définies comme dans R en tenant compte de i2 = −1.
Plus précisément, si z =a+bi avec a etb réels etw=c+di avec c etd réels : z+w= (a+c) + (b+d)i
z×w=ac−bd+ (ad+bc)i z
w = a+bi
c+di × c−di
c−di = ac+bd+ (bc−ad)i c2+d2
Les propriétés de ces opérations dans C sont les mêmes que dansR. 7. Exemple
Si z = 3 + 2iet w= 4 + 3i,z+w= 7 + 5i, z×w= 6 + 17i et z w = 18
25− 1 25i 8. Représentation Géométrique
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O; ~u, ~v).
A tout point M du plan de coordonnées (a;b) est associé le nombre complexe z = a+bi appelé affixe du point M.
Le point M de coordonnées(a;b)est appeléimagedu nombre complexez =a+bi. On noteM(a+bi) On dit aussi que le nombre complexe z = a+bi est l’affixe du vecteur w~ de coordonnées (a;b) et que w~ est le vecteur image dez.
9. Propriétés
(a) Si A et B sont deux points du plan d’affixes respectives zA et zB alors le vecteur −→AB a pour affixe zB−zA. On écrit :
Affixe(−→AB) = z−→AB =zB−zA
(b) Soit −w→1 et−w→2 deux vecteurs quelconques d’affixes respectivesz1 et z2 et k un réel. Alors : Affixe(−w→1+−w→2) =z1+z2
Affixe(k−w→1) =kz1
1
(c) Soit I le milieu de [AB], zA, zB etzI les affixes respectives de A, B et I alors : zI = zA+zB
2 10. Conjugué d’un nombre complexe
Soit z=a+bi avec a etb réels. Leconjugué de z, noté z, est le nombre complexe défini par : z =a−bi
11. Propriétés
Soit z et w deux nombres complexes quelconques.
(a) z+w=z+w (b) z×w=z×w
(c) Siw 6= 0,z w
= z w
(d) Pour tout naturel n, zn = (z)n (e) Un complexe z est un réel ⇔z =z
(f) Un complexe z est un imaginaire pur ⇔z =−z (g) z =z
(h) Re(z) = 1
2(z+z)et Im(z) = 1
2i(z−z) (i) Siz =a+bi avec a etb réels,
z×z =a2+b2 12. Module d’un nombre complexe
Le module du nombre complexe z =a+bi avec a et b réels est le réel positif, noté |z|, défini par :
|z|=√
a2+b2 =√ z×z 13. Interprétation géométrique
Le module de z est la distance entre l’origine O du repère et le point M(z) OM =|z|=√
a2+b2 14. Propriétés
Soit z et wdeux nombres complexes quelconques.
Alors on a :
(a) |z×w|=|z| × |w| (b) Siw 6= 0,
z w
= |z|
|w|
(c) Inégalité triangulaire : |z+w| ≤ |z|+|w| (d) SiA etB sont deux points du plan
d’affixes respectives zA etzB alors :
AB =|zB−zA|
2
15. Argument d’un nombre complexe non nul
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O; ~u, ~v).
Soit z un nombre complexe non nul de point image M de coordonnées (a;b).On appelle argument dez et on note arg z toute mesure en radians de l’angle orienté (~u;−−→OM)
Remarque Un nombre complexe non nul z a une infinité d’arguments.
Si θ est l’un d’entre eux, les autres sont de la forme θ+ 2πk avec k ∈Z.
On note arg z =θ [mod2π]. On lit "θ modulo 2π"
Le réel 0 n’a pas d’argument.
16. Forme trigonométrique d’un complexe non nul
L’écriture : z = r(cosθ +isinθ) avec r = |z| et arg z = θ [mod 2π] est appelée forme trigonométrique dez
17. Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique
z est un complexe non nul qui s’écrit z =a+bi avec a et b réels.
On note : r =|z| et θ un argument de z.
Si on connaît r etθ alors : a=rcosθ etb =rsinθ Si on connaît a etb alors :
r =|z|=√
a2+b2 et θ défini par :
cosθ = a r sinθ = b
r 18. Égalité entre deux complexes écrits sous forme trigonométrique
Si z =r(cosθ+isinθ)avec r=|z| et argz =θ [mod 2π]
et z0 =r0(cosθ0+isinθ0)avec r0 =|z0| et arg z0 =θ0 [mod2π] alors : z =z0 ⇔r =r0 etθ =θ0 [mod2π] 19. Théorème
Si z =r(cosθ+isinθ)avec r >0 alors |z|=r et arg z =θ [mod2π]
Démonstration
|z|2 =r2cos2θ+r2sin2θ=r2 ⇒ |z|=r
Soit θ0 un argument de z. On a : r(cosθ+isinθ) =r(cosθ0+isinθ0)⇒θ=θ0 [mod 2π]
20. Argument d’un produit
Soit z et w deux complexes non nuls avec :
z =r(cosθ+isinθ) avec r =|z| et arg z =θ [mod2π]
et w=r0(cosθ0+isinθ0) avec r0 =|w| et argw=θ0 [mod 2π] On a :
z×w = rr0(cosθ+isinθ)(cosθ0 +isinθ0)
= rr0((cosθcosθ0−sinθsinθ0) +i(cosθsinθ0+ sinθcosθ0)
= rr0(cos(θ+θ0) +isin(θ+θ0)) Comme rr0 >0, alors arg(z×w) = θ+θ0
Propriété Soit z etw deux complexes non nuls. Alors : 3
arg(z×w) = arg(z) +arg(w) [mod2π] 21. Propriétés
Pour tous nombres complexes z et w non nuls : (a) arg
1 z
=−arg (z) [mod 2π] (b) argz
w
=arg (z)−arg (w) [mod 2π]
(c) Pour n∈N∗ :arg (zn) =n×arg z [mod2π]
(d) argz =−arg z [mod 2π]
Démonstration Exercice 22. Angles orientés et arguments
Soit A et B sont deux points du plan muni d’un repère orthonormé direct (O; ~u, ~v) d’affixes respectives zA et zB etM est le point d’affixezM tel que :−−→OM =−→AB.
On sait que : zM =zB−zA et d’autre part : arg(zM) =
−
→u;−→AB
. On obtient donc : arg(zB−zA) =
−
→u;−→AB 23. Conséquence
Soit A, B, C et D 4 points du plan d’affixes respectives zA, zB, zC et zD avec zA 6= zB et zC 6=zD. Alors :
−→AB;−−→CD
=arg
zD −zC
zB−zA
24. Notation exponentielle
Soit f la fonction qui à tout réel θ associe le complexe f(θ) = cosθ+isinθ
Pour tous réels θ et θ0, on a vu que : f(θ +θ0) = f(θ)×f(θ0) et f(0) = 1 : f vérifie une relation fonctionnelle analogue à celle de la fonction exponentielle.
Notation Pour tout nombre réel θ, on note eiθ = cosθ+isinθ 25. Définition
Une forme exponentielle d’un nombre complexe z non nul d’argument θ est : z =|z|eiθ
26. Propriétés Pour tous nombres réels θ etθ0 et n entier naturel : (a) |eiθ|= 1 et arg(eiθ) =θ[2π]
(b) eiθ ×eiθ0 =ei(θ+θ0) (c) eiθ
eiθ0 =ei(θ−θ0) (d) eiθn
=eiθn (formule de Moivre) (e) eiθ =e−iθ
C Gerlein Maths Outils
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