Terminale S
Devoir maison n˚14
2016-2017A rendre le vendredi 14 avril 2017
EXERCICE 1 Dans l’ensemble C des nombres complexes, i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument π
2 .
1. Montrer que (1 + i)
6= −8i.
2. On considère l’équation (E) : z
2= −8i.
(a) Déduire de la question 1 , une solution de l’équation (E).
(b) L’équation (E) possède deux solutions : écrire ces deux solutions sous forme algébrique.
3. (a) Déduire également de la question 1 une solution notée t de l’équation (E
′) : z
3= −8i.
(b) On pose j = e
i(
2π3). Démontrer que jt et j
2t sont aussi des solutions de (E
′).
4. On considère dans un repère orthonormé direct
O, − → u , − →
v
les points A, B et C d’affixes respectives t, jt et j
2t.
(a) Ecrire ces affixes sous forme exponentielle, puis représenter les points A, B et C.
(b) Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.
• • •
EXERCICE 2 On définit la suite de nombres complexes (z
n) par : z
0= 16 et pour tout entier naturel n z
n+1= 1 + i
2 z
n. On note r
nle module du nombre complexe z
n: r
n= |z
n|.
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct d’origine O, on considère les points A
nd’affixe z
n.
1. (a) Calculer z
1, z
2et z
3et placer les points A
0, A
1, A
2et A
3. (b) Ecrire le nombre complexe 1 + i
2 sous forme trigonométrique.
(c) Démontrer que le triangle OA
0A
1est isocèle rectangle en A
1.
2. Démontrer que la suite (r
n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et son premier terme.
La suite (r
n) est-elle convergente ? Interpréter géométriquement cette situation.
3. On note L
nla longueur de la ligne brisée qui relie le point A
0au point A
nen passant successivement par les points A
1, A
2, . . . , A
n−1. Ainsi, on a :
L
n=
n−1
X
i=0
A
iA
i+1= A
0A
1+ . . . + A
n−1A
n. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel n , on a : A
nA
n+1= r
n+1.
(b) On souhaite déterminer, à l’aide d’un algorithme, pour un entier n fixé, une valeur approchée de L
n.
Recopier et compléter l’algorithme suivant de façon à ce qu’il atteigne cet objectif.
Variables : R et L sont des nombres réels n et k sont nombres entiers Initialisation : Affecter à R la valeur . . . ..
Affecter à L la valeur . . . ..
Entrée : Demander la valeur de n.
Traitement : Pour k allant de 1 à . . . .
Affecter à R la valeur . . . . Affecter à L la valeur . . . . Fin Pour.
Sortie : Afficher . . . .
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2016-2017(c) A l’aide de la question 3a), donner l’expression de L
nen fonction de n. Donner une valeur approchée de L
10.
(d) Déterminer la limite éventuelle de la suite (L
n).
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