1 Suites réelles. 4
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I. Rappels
[ 0 , [
I = n +¥ désigne un intervalle de ¥ ; ( n 0 Î ¥ ) ; c’est à dire I = { n Î ¥ / n n ³ 0 } . Suite arithmétique de raison r Suite géométrique de raison q
* U = ( ) U n n I Î est une suite arithmétique si et seulement si : il existe un réel fixe r tel que :
r U U
I
n Î n = n +
" ; +1
* V = ( ) V n n I Î est une suite géométrique si et seulement si : il existe un réel fixe q tel que :
; V n 1 n
n I + q V
" Î = ´
* U = ( ) U n n I Î étant une suite arithmétique de raison r, alors :
( n m , ) I 2 ; on a : U n U m ( n m r )
" Î = + -
Si m = 0, alors : " Î n I U ; n = U 0 + nr Si m = 1, alors : " Î n I U ; n = U 1 + ( n - × 1) r Si m = 2, alors : " Î n I U ; n = U 2 + ( n - × 2) r
* V = ( ) V n n I Î étant une suite géométrique de raison q ¹ 0 , alors :
( n m , ) I 2 ; on a : V n V m q n m -
" Î = ´
Si m = 0, alors : " Î n I ; V n = V 0 ´ q n Si m = 1, alors : " Î n I ; V n = ´ V 1 q n - 1 Si m = 2, alors : " Î n I ; V n = V 2 ´ q n - 2 * Soit S U = p + U p + 1 + ... + U k .
S est la somme de n termes consécutifs de la suite arithmétique U ; ( n = k-p+1 )
( ) 2 ( )
2 p k 2 p
n n
S = U + U = é ë U + k - p r ù û
( )
Nombre de termes de S
1ér terme de S + dernier terme de S 2
S =
Exemples :
( )
( )
0 1 0
0
... 1
2 = 1 2
2
n n
S U U U n U U
n U nr
= + + + = + +
+ +
( )
( )
1 2 1
1
...
2
= 2 ( 1) 2
n n
S U U U n U U
n U n r
= + + + = +
+ - ×
* Soit S V = p + V p + 1 + ... + V k
S est la somme de n termes consécutifs de la suite géométrique V ; ( n = k-p+1 ) Si q = 1, alors S = × n V p
Si q ¹ 1 , alors : 1 1
n p
S V q
q æ - ö
= ç è - ÷ ø Exemples :
1ér cas : q = 1.
( )
0 1 ... n 1 0
S V = + + V + V = n + × V
1 2 ... n 1
S V = + V + + V = × n V 2 ème cas : q ¹ 1
1
0 1 0
... 1
1
n n
S V V V V q
q æ - + ö
= + + + = ç è - ÷ ø
1 2 1
... 1
1
n n
S V V V V q
q æ - ö
= + + + = ç è - ÷ ø
* a , b et c sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique Û 2 b = a + c
* a , b et c sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique Û b 2 = ac
; n q Î ¡ Î ¥
* ] [
si 1 1 si 1
lim 0 si 1,1
n'existe pas si 1
n n
q q q
q
q
®+¥
+¥ >
ì ï =
= í ï ï Î -
ï £ -
î Activités 2 et 3 page 26.
CH 2 – Analyse : Suites réelles
4 ème Sciences experimentales
Octobre 2009
A. LAATAOUI
2 Suites réelles. 4
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Propriétés
( ) n n I
U = U Î une suite réelle définie sur I = [ n 0 , +¥ [
· U est majorée sur I, si et seulement si, il existe un réel fixe M tel que : " Î n I , u n £ M . Le réel M est un majorant de la suite U.
· U est minorée sur I, si et seulement si, il existe un réel fixe m tel que : " Î n I , u n ³ m . Le réel m est un minorant de la suite U.
· Une suite qui est à la fois majorée et minorée est dite bornée.
· U est dite positive lorsque : " Î n I , u n ³ 0 .
· U est croissante Û " ( n p , ) Î ´ I I , ( n > Þ p u n ³ u p ) Û " Î n I , u n +
1³ u n .
· U est strictement croissante Û " ( n p , ) Î ´ I I , ( n > Þ p u n > u p ) Û " Î n I , u n +
1> u n .
· U est décroissante Û " ( n p , ) Î ´ I I , ( n > Þ p u n £ u p ) Û " Î n I , u n +
1£ u n .
· U est strictement décroissante Û " ( n p , ) Î ´ I I , ( n > Þ p u
n< u
p) Û " Î n I , u n +
1< u n .
· U est constante Û " ( n p , ) Î ´ I I , u n = u p Û " Î n I , u n +
1= u n Û il existe un réel l tel que " Î n I , u n = l . Convergence des suites réelles
( ) n n I
U = U Î une suite réelle définie sur I = [ n 0 , +¥ [ . lim n
n u
®+¥ peut exister comme peut ne pas l’être, lorsqu’elle existe, elle est soit un nombre réel l , soit +¥ , soit -¥ .
· Lorsqu’une suite réelle admet une limite alors elle est unique.
· lim n
n u
®+¥ = Î l ¡ Û U est convergente vers l . Û lim
n®+¥ u n - = l 0 .
· U est divergente Û
lim n'existe pas ou
lim
n n
n n
u
u
®+¥
®+¥ = ±¥
ì ï í ï î
.
· Si
n +
pour tout et
lim
n n
n
u v n p
® ¥ u
£ >
= +¥
ì ï í ï î
alors lim n
n v
®+¥ existe et vaut +¥ .
· Si
n +
pour tout et
lim
n n
n
u v n p
® ¥ v
£ >
= -¥
ì ï í ï î
alors lim n
n u
®+¥ existe et vaut -¥ .
· Si
n +
pour tout et
lim 0
n n
n
u v n p
® ¥ v
ì £ >
ïï í
ï =
ïî
alors lim n
n u
®+¥ existe et vaut 0.
Exercices : 4, 5, 8, 9 pages 35 et 36.
3 Suites réelles. 4
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II. Autres propriétés :
· Soit U = ( ) U n n I Î une suite réelle et a fini ou infini.
2
2 1
n n
n n
n n
lim u a lim u a et
lim u a
®+¥
®+¥
®+¥ +
=
= Û
= ì ïï
í ï ïî
.
Exercices : 2, 3 page 35.
· Toute suite convergente est bornée.
· Toute suite croissante et majorée est convergente vers un réel l et pour tout n, u n £ l .
· Toute suite décroissante et minorée est convergente vers un réel l et pour tout n, u n ³ l . Remarques :
Si une suite est croissante et non majorée alors elle tend vers +¥ . Si une suite est décroissante et non minorée alors elle tend vers -¥ .
Exercice :
Soit ( ) U n n Î ¥
*définie par : 1 1 ... 1
1 2 2
u n
n n n
= + + +
+ +
Montrer que U est croissante. En déduire qu’elle est convergente.
· Si lim n
n u
®+¥ = l alors lim
n®+¥ u n = l . (la réciproque est fausse).
· Si lim n
n u
®+¥ = ±¥ alors lim
n®+¥ u n = +¥ . (la réciproque est fausse).
· Si
( ) ( )
converge vers converge vers '
à partir d'un certain rang
n
n
n n
u v u < v ì ï í ï î
l
l alors l l £ ' .
· Si
n +n +
à partir d'un certain rang lim
lim
n n n
n
n
v u w
v w
® ¥
® ¥
£ £
=
= Î ì ï ï í ï ï î
l l l ¡
alors U est convergente et lim n
n u
®+¥ = l .
Exemple : 2 cos
n
4
u n
n
= æ p ö
ç ÷
è ø .
4 Suites réelles. 4
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· Image d’une suite par une fonction :
Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et ( ) u n une suite de points de I.
Si lim lim ( )
n n
x a
u a f x
®+¥
®
=
= ìï í
ïî l alors lim ( )
n f u n
®+¥ = l .
· Si ( ) u n est une suite qui converge vers un réel l et si u n +
1= f u ( ) n où f est une fonction continue en l alors f ( ) l = l .
Exercice :
Soit U la suite définie sur ¥ par
0
1
