1. p u n q n ¥ 0 une suite arithm´ etique de raison r.

SUITES R´ ECURRENTES D’ORDRE 1 OU 2 Exercice 161 (Suites arithm´ etiques et g´ eom´ etriques ). ( ) Suites arithm´ etiques et g´ eom´ etriques

1. p u n q n ¥ 0 une suite arithm´ etique de raison r.

Donc @ n ¥ 0, u _n u ₀ nr et :

@ n ¥ 1, u n 1 u n 1

2 u 0 pn 1qr u 0 pn 1qr

2 u 0 nr u n

2. p u _n q n ¥ 0 une suite g´ eom´ etrique de raison q.

Donc @n ¥ 0, u n u 0 q ^r et :

@ n ¥ 1, u _{n 1} .u _{n 1} u ₀ .q ^{n 1} u ₀ .q ^{n 1} u ² ₀ .q ²ⁿ p u ₀ .q ⁿ q ² u ² _n Exercice 162 (Suites arithm´ etiques et g´ eom´ etriques ). ( )

1. R´ eciproquement :

@ n ¥ 1, u n 1 u n 1

2 u n ô u n u n 1 u n 1 u n

Ainsi la suite p u _{n 1} u _n q est donc constante, c’est ` a dire : D r P R , @ n P N , u _{n 1} u _n r

La suite p u _n q n¥0 est donc arithm´ etique de raison r.

2. Supposons dans un premier temps que la suite ne s’annule pas, alors :

@ n ¥ 1, u n 1 .u n 1 u ² _n ô u n 1

u _n u n

u _{n 1} Ainsi la suite p ^u _u

ⁿ_n¹

q est donc constante, c’est ` a dire :

D q P R , @ n P N, u n 1 qu n

La suite pu n q n ¥ 0 est donc g´ eom´ etrique de raison q.

On remarque que si u 0 et u 1 ne s’annulent pas alors on prouve par r´ ecur- rence que pour tout n P N , u _n 0 vu que ^u

ⁿ

_u

¹

n

_u ^u

_n1ⁿ

.

Supposons maintenant que u 0 0 ou u 1 0, alors comme u n .u n 2 u ² _{n 1} on a u _n 0 ñ u _{n 1} 0 donc la suite est nulle ` a partir de u ₁ , donc la suite pu n q n ¥ 0 est g´ eom´ etrique de raison 0.

Exercice 163. ( ) 1. u ₁ 3u ₀ 2v ₀ 7,

v ₁ 3v ₀ 2u ₀ 8, u 2 3u 1 2v 1 37 et v 2 3v 1 2u 1 38.

2. On dit qu’une suite p w n q n PN est constante lorsque : @ n P N , w n 1 w n . La valeur de la constante est ensuite donn´ ee par la valeur du premier terme.

@ n P N , u _{n 1} v _{n 1} 3u _n 2v _n p 3v _n 2u _n q u _n v _n La suite p u n v n q n PN est donc constante et vaut u 0 v 0 1.

En particulier,

@ n P N , v _n u _n 1

3. On doit montrer que la suite p u _n q n PN v´ erifie une relation de r´ ecurrence de la forme : @ n P N , u _{n 1} au _n b.

@n P N, u n 1 3u n 2v n 3u n 2pu n 1q 5u n 2 La suite u est bien une suite arithm´ etico-g´ eom´ etrique.

4. On va appliquer la m´ ethode qui permet d’obtenir l’expression du terme g´ en´ eral ` a partir de la formule de r´ ecurrence.

(a) Recherche du point fixe

Soit ` P R . ` 5` 2 ô ` 2

4 1 2 (b) Recherche de la raison de la suite auxiliaire

On pose : @n P N, w n u n ₂ ¹

u n 1 2 .

@ n P N , w _{n 1} u _{n 1} 1

2 5u _n 2 1

2 5u _n 5

2 5 u _n 1 2

5w _n La suite p w _n q n ¥ 0 est donc une suite g´ eom´ etrique de raison 5 et de premier terme w 0 u 0 1

2 ³ ₂ .

@n P N, w n 3

2 5 ⁿ

(c) Expression du terme g´ en´ eral

De plus, @ n P N , u n w n ¹ ₂ . Donc,

@n P N, u n 3

2 5 ⁿ 1 2 Enfin, @n P N, v n u n 1. Donc,

@ n P N , v n 3

2 5 ⁿ 1 2 Exercice 164. ( )

1. (a) Recherche du point fixe

Soit x P R . ` 2` 1 ô ` 1 (b) Recherche de la raison de la suite auxiliaire

On pose : @ n P N , w _n u _n p 1 q u _n 1.

@n P N, w n 1 u n 1 1 2u n 1 1 2pu n 1q 2w n

La suite p w _n q n ¥ 0 est donc une suite g´ eom´ etrique de raison 2 et de premier terme w ₀ u ₀ 1 1.

@ n P N , w n 2 ⁿ (c) Expression du terme g´ en´ eral

De plus, @ n P N , u _n w _n 1. Donc,

@ n P N, u n 2 ⁿ 1

2. L’´ equation caract´ eristique associ´ ee ` a cette suite est r ² 4r 4 de discri- minant ∆ 16 16 0. Cette ´ equation admet donc une racine double r ⁴ ₂ 2. On en d´ eduit la forme du terme g´ en´ eral de la suite u

Dp A, B q P R ² , @ n P N , u n p A nB q 2 ⁿ

Les deux premiers termes de la suite imposent les valeurs de A et de B.

"

u 0 A 1

u ₁ p A B q 2 0 ô

"

A 1

B 1

L’unique suite d´ efinie dans l’´ enonc´ e a un terme g´ en´ eral de la forme :

@n P N, u n p1 nq2 ⁿ 3. u 0 1, u 1 1 et @ n P N, 2u n 2 3u n 1 u n .

L’´ equation caract´ eristique associ´ ee ` a cette suite est 2r ² 3r 1 de dis- criminant ∆ 9 8 1. Cette ´ equation admet donc deux racines r´ eelles r 1 ¹ ₂ et r 2 1. On en d´ eduit la forme du terme g´ en´ eral de la suite u

DpA, Bq P R ² , @n P N, u n A p 1

2 q ⁿ B 1 ⁿ

Les deux premiers termes de la suite imposent les valeurs de A et de B.

"

u 0 A B 1

u ₁ ¹ ₂ A B 1 ô

"

A 4

B 3

L’unique suite d´ efinie dans l’´ enonc´ e a un terme g´ en´ eral de la forme :

@n P N, u n 4 p 1 2 q ⁿ 3 4. u ₀ 1, u ₁ 2 et @ n P N , u _{n 2} u _{n 1} u _n .

L’´ equation caract´ eristique associ´ ee ` a cette suite est r ² r 1 de discrimi- nant ∆ 1 4 3. Cette ´ equation admet donc deux racines complexes r ₁ ¹ ₂ i ^? ₂ ³ e ⁱ

^π3

et r ₂ ¹ ₂ i ^? ₂ ³ e ⁱ

^π3

.

On en d´ eduit la forme du terme g´ en´ eral de la suite u DpA, Bq P R ² , @n P N, u n A cospn π

3 q B sinpn π 3 q

Les deux premiers termes de la suite imposent les valeurs de A et de B.

# u ₀ A 1 u 1 ¹ ₂ A

? 3

2 B 2 ô

"

A 1 B ?

3

L’unique suite d´ efinie dans l’´ enonc´ e a un terme g´ en´ eral de la forme :

@ n P N , u _n cos p n π 3 q ?

3 sin p n π 3 q 1

2 cos pp n 1 q π

3 q

LIMITE DE SUITES Exercice 165. ()

Etudier la convergence des suites ci-dessous : ´ 1.

@ n P N , u n 2 ⁿ 3 ⁿ

2 ⁿ 3 ⁿ 3 ⁿ p ² ₃

ⁿⁿ

1 q 3 ⁿ p ² ₃

ⁿn

1 q

2

ⁿ

3

ⁿ

1

2

ⁿ

3

ⁿ

1

2 3

_n 1

2 3

n

1 La suite ² ₃ n

n PN converge vers 0. Par somme et quotient de suites conver- gentes, la suite u est convergente et lim

n Ñ 8 u _n 1.

2. @n P N , u n n ³ 5n 5n ³ cos p n q _n ¹

2

1 _n ⁵

2

5 ^cos _n ^p

3

^{n q}

1 n

⁵

.

Or @ n P N , | ^cos _n ^p

3

^{n q} | ¤ _n ¹

3

Ñ 0 et _n ⁵

2

Ñ 0 ainsi que _n ⁵

2

Ñ 0 donc par op´ erations sur les limites lim

n Ñ 8 u n ¹ ₅ . 3. @n P N

u _n ?

n 1 ?

n p ?

n 1 ? n qp ?

n 1 ?

n q

? n 1 ?

n 2

? n 1 ? n Comme lim

n Ñ 8

? n 1 lim

n Ñ 8

? n 8 alors par op´ eration sur les limites

nÑ 8 lim u n 0.

4. @ n P N , u n p ln n q

ⁿ¹

exp

ln p ln n q n

.

Or pour n ¥ 3, 0 ¤ ln p ln n q ¤ ln n donc 0 ¤ ln p ln n q

n ¤ ln n n Ñ 0.

Ainsi par encadrement ln p ln n q

n Ñ 0 et par compos´ ee lim

n Ñ 8 u _n e ⁰ 1.

5.

@ n P N , @ a P R , na 1   t na u ¤ na

@ n P N , @ a P R , a 1

n   t na u n ¤ a La suite a _n ¹

n PN converge vers a. Par le th´ eor` eme d’encadrement, la suite u converge et lim

nÑ 8 u n a.

6. @n P N, u n t na u

a pour a P R .

@n P N, @a P R, na 1   tnau ¤ na Si a ¡ 0, na 1

a   t na u a ¤ na

a Si a   0, na 1

a ¡ tnau a ¥ na

a

Les suites n _a ¹

n PN et n

n PN divergent vers 8 . Par le th´ eor` eme de minoration, quelque soit le signe de a, la suite u diverge vers 8 .

7. @ n P N , u _n ° ⁿ

k 1

? 1 k

On a l’intuition que cette suite diverge vers 8 . On va devoir la minorer par une suite qui diverge vers 8 .

@ n P N , @ k P r 1, n s , 1

? k ¥ 1

? n

car la fonction x ÞÑ ^{? 1} _x est d´ ecroissante sur R . Donc,

@ n P N,

¸ n k 1

? 1 k ¥

¸ n k 1

? 1

n ô u n ¥ ? n

La suite p ?

n q n PN diverge vers 8 .

Par le th´ eor` eme de minoration, la suite u diverge vers 8.

8. @ n P N , u _n

1 x

n

n exp

n ln

1 x

n

(avec x P R ).

Si x 0 alors u _n 1 ⁿ 1 donc p u _n q converge vers 1.

Si x 0 alors on sait que si u n Ñ 0 alors lnp1 u n q u n donc : n ln

1 x

n n x n x Et enfin par compos´ ee lim

n Ñ 8 u n e ^x .

SUITES ADJACENTES Exercice 166. ()

Montrons que le couple de suites ci-dessous est adjacent :

@n P N, u n

¸ n k 1

? 1

k 2 ?

n 1 et v n

¸ n k 1

? 1

k 2 ? n

@ n P N , v n u n 2 p ?

n 1 ?

n q ? 2pn 1 nq

n 1 ?

n 2

? n 1 ? n Ñ 0.

@ n P N , u n 1 u n 1

? n 1 2 p ?

n 2 ? n 1 q 1

? n 1 2

? n 2 ? n 1 Or ?

n 2 ¡ ?

n 1 donc ?

n 2 ?

n 1 ¡ 2 ? n 1.

Finalement 2

? n 2 ?

n 1   1

? n 1 . Ainsi u n 1 u n ¡ 0 et donc la suite u n

n PN est croissante.

@n P N , v n 1 v n 1

? n 1 2p ?

n 1 ? nq 1

? n 1 2

? n 1 ? n Or ?

n   ?

n 1 donc ?

n ?

n 1   2 ? n 1.

Finalement 2

? n 2 ?

n 1 ¡ 1

? n 1 . Ainsi v _{n 1} v _n   0 et donc la suite v _n

n PN est d´ ecroissante.

On en d´ eduit que les suites p u n q et p v n q sont adjacentes et donc par propri´ et´ e de telles suites elles sont convergentes vers la mˆ eme limite `.

On a ´ egalement : _n

¸

k 1

? 1 k

2 ?

n 1 ` et _n

¸

k 1

? 1 k

2 ?

n `

Comme ` o p ?

n q alors on en d´ eduit que

¸ n k 1

? 1

k 2 ? n.

Exercice 167 (Crit` ere sp´ ecial des s´ eries altern´ ees ). ( ) Soit p u _n q n PN une suite r´ eelle d´ ecroissante, convergeant vers 0.

Pour n P N , on note S n ° ⁿ

k 1

p 1 q ^k u _k .

1. On va montrer que les suites p S _2n q n PN et p S _{2n 1} q n PN sont adjacentes.

S _{2 p n 1 q} S _2n

2 p ¸ n 1 q k 1

p 1 q ^k u _k

¸ 2n k 1

p 1 q ^k u _k p1q ^{2n 2} u 2n 2 p1q ^{2n 1} u 2n 1

u _{2n 2} u _{2n 1}

Or, la suite u est d´ ecroissante donc u _{2n 2} u _{2n 1} ¤ 0.

On en d´ eduit que la suite p S 2n q n PN est d´ ecroissante.

S _{2 p n 1 q 1} S 2n 1

2 p n ¸ 1 q 1 k 1

p 1 q ^k u k

2n ¸ 1 k 1

p 1 q ^k u k

p 1 q ^{2n 3} u _{2n 3} p 1 q ^{2n 2} u _{2n 2} u 2n 3 u 2n 2

Or, la suite u est d´ ecroissante donc u 2n 3 u 2n 2 ¥ 0.

On en d´ eduit que la suite p S _{2n 1} q n PN est croissante.

S _{2n 1} S _2n

2n ¸ 1 k 1

p 1 q ^k u _k

¸ 2n k 1

p 1 q ^k u _k p1q ^{2n 1} u 2n 1

u _{2n 1} Or, la suite u converge vers 0 donc lim

n Ñ 8 p S _{2n 1} S _2n q 0.

Ce sont donc bien deux suites adjacentes. On sait par le cours que des suites adjacentes convergent et ont la mˆ eme limite.

2. Puisque les suites p S _2n q n PN et p S _{2n 1} q n PN convergent vers la mˆ eme limite

(et que ce sont des suites d’indices compl´ ementaires), on en d´ eduit que la

suite p S _n q n PN converge ´ egalement vers cette limite commune.

SUITES D´ EFINIES PAR R´ ECURRENCE Exercice 168. ( )

1. u ₀ 1 et @ n P N , u _{n 1} 1 u ² _n .

@ n P N , u _{n 1} u _n u ² _n u _n 1

On ´ etudie alors le polynˆ ome P X ² X 1. Son discriminant est n´ egatif donc ce polynˆ ome ne s’annule jamais sur R . De plus, P p 0 q 1 donc P ¥ 0.

Finalement,

@ n P N , u _{n 1} u _n u ² _n u _n 1 ¥ 0 ô u _{n 1} ¥ u _n La suite u est croissante.

On a prouv´ e que cette suite est croissante, elle donc major´ ee et conver- gente vers une limite ` ou bien diverge vers 8.

Supposons qu’elle soit convergente, alors elle le sera vers un r´ eel ` tel que

` ` ² 1 soit ` <sup>2</sup> ` 1 0, ´ equation dont le discriminant est strictement n´ egatif et n’a que des solutions complexes.

Ainsi p u n q ne peut ˆ etre convergente et donc diverge vers 8 .

2. u 0 P R et @ n P N , u n 1 1 u ² _n 4 .

@ n P N , u n 1 u n u ² _n

4 u n 1 On ´ etudie alors le polynˆ ome P X ²

4 X 1. Son discriminant est n´ egatif donc ce polynˆ ome ne s’annule jamais sur R. De plus, P p0q 1 donc P ¥ 0.

Finalement,

@ n P N , u n 1 u n u ² _n

4 u n 1 ¥ 0 ô u n 1 ¥ u n

La suite u est croissante.

On a prouv´ e que cette suite est croissante, elle donc major´ ee et conver- gente vers une limite ` ou bien diverge vers 8.

Supposons qu’elle soit convergente, alors elle le sera vers un r´ eel ` tel que

` <sup>`</sup> ₄

²

1 soit ` <sup>2</sup> 4` 4 0, ´ equation de solution ` 2.

Si u 0 2 alors par r´ ecurrence on prouve trivialement par r´ ecurrence que la suite p u n q est stationnaire ´ egale ` a 2.

Si u ₀ ¡ 2 alors comme la suite p u _n q est croissante elle ne peut converger vers le seul point fixe 2 et donc elle diverge, n´ ecessairement vers 8 car elle n’est pas major´ ee.

Si u ₀   2, c’est le plus d´ elicat et il faut montrer qu’elle est major´ ee par 2 (par r´ ecurrence).

Montrons mˆ eme par r´ ecurrence que 1 ¤ u n   2 pour n ¥ 1.

Initialisation : 1 ¤ u ₁ ^u ₄

²⁰

1   ⁴ ₄ 1 2 donc c’est v´ erifi´ e.

H´ er´ edit´ e : Si 1 ¤ u n   2 alors 1 ¤ u n 1 ^u ₄

²ⁿ

1   ⁴ ₄ 1 2.

Conclusion : Ainsi 1 ¤ u n   2 pour n ¥ 1 donc la suite p u n q est major´ ee

par 2 et croissante et donc converge vers le seul point fixe qui est ` 2.

3. u 0 P R et @n P N, u n 1 e ^u

ⁿ

1.

Il n’y a pas de probl` eme de d´ efinition puisque la fonction exponentielle est d´ efinie sur R .

Pour la monotonie, on s’int´ eresse ` a la fonction gpxq e ^x 1 x d´ efinie sur R . La fonction g est d´ erivable sur R et @ x P R , g ¹ p x q e ^x 1.

Or g ¹ p x q ¡ 0 ô e ^x 1 ¡ 0 ô x ¡ 0 donc on en d´ eduit le signe de g ¹ p x q sur R puis les variations de g et le signe de gpxq.

x 8 0 8

g ¹ p x q 1 0 8

g p x q 8

0

8

Ainsi, @ n P N , g p u _n q ¥ 0 donc u _{n 1} ¥ u _n . La suite u est croissante.

On a prouv´ e que cette suite est croissante, elle donc major´ ee et conver- gente vers une limite ` ou bien diverge vers 8 .

Supposons qu’elle soit convergente, alors elle le sera vers un r´ eel ` tel que

` e <sup>`</sup> 1 ` soit g p ` q 0 avec les notations de l’exercice pr´ ec´ edent, qui a une seule solution : ` 0.

Si u ₀ 0 alors par r´ ecurrence on prouve trivialement par r´ ecurrence que la suite p u n q est stationnaire ´ egale ` a 0.

Si u ₀ ¡ 0 alors comme la suite p u _n q est croissante elle ne peut converger vers le seul point fixe 0 et donc elle diverge, n´ ecessairement vers 8 car elle n’est pas major´ ee.

Si u ₀   0, c’est le plus d´ elicat et il faut montrer qu’elle est major´ ee par 0 (par r´ ecurrence).

Initialisation : u 0   0 donc c’est v´ erifi´ e.

H´ er´ edit´ e : Si u _n   0 alors e ^u

ⁿ

  1 donc u _{n 1} e ^u

ⁿ

1   0.

Conclusion : Ainsi u _n   0 pour n ¥ 0 donc la suite p u _n q est major´ ee par 0 et croissante et donc converge vers le seul point fixe qui est ` 0.

Exercice 169. ()

On consid` ere la suite p x _n q n PN d´ efinie par

#

x 0 P R

@n P N, x n 1 ^x

ⁿ

_{1 2x} ^{p 1 x}

_nⁿ

^q

1. Cette question est l` a pour justifier la bonne d´ efinition de la suite.

Posons @ n P N , P p n q : ”0   x n   1”.

— Initialisation : x ₁ ^x

⁰

_{1 2x} ^{p 1 x}

₀⁰

^{q 2} ₃ donc P p 0 q est vraie.

— H´ er´ edit´ e : Supposons la propri´ et´ e vraie ` a un rang n ¥ 1.

0   x n   1

0   1 x n   1 2x n

0   1 x _n

1 2x n   1 0   x _n p 1 x _n q

1 2x n   1 donc P p n q ñ P p n 1 q .

— Conclusion : Par le principe de r´ ecurrence, @ n P N , 0   x _n   1.

2. Soit n P N .

@ n P N , x _{n 1} x _n x n p 1 x n q

1 2x _n x _n x n x ² _n x n 2x ² _n

1 2x _n x ² _n

1 2x _n   0 La suite x est d´ ecroissante.

3. La suite x est d´ ecroissante et minor´ ee par 0. Par le th´ eor` eme de la limite monotone, elle converge. Notons ` sa limite. Par passage ` a la limite dans la relation de r´ ecurrence, on obtient

` ` p 1 ` q

1 2` ô ` 2` <sup>2</sup> ` ` <sup>2</sup> ô ` 0.

La suite x converge vers 0.

SUITES EXTRAITES Exercice 170. ( )

1. La suite p u _6n q n PN est une suite extraite des suites p u _2n q n PN et p u _3n q n PN . 2. La suite p u ₂

^{n 1}

q n PN est une suite extraite de la suite p u 2n q n PN

3. La suite pu 2

ⁿ

q n PN est une suite extraite des suites pu 2n q n PN

4. La suite p u _3.2

ⁿ

q n PN est une suite extraite de la suite p u _3n q n PN et de la suite pu 2n q _nPN

donc de la suite pu 6n q _nPN

.

5. La suite p u ₂

n 1

q n PN est une suite extraite des suites p u ₂

ⁿ

q n PN . 6. La suite p u ₂

ⁿ

q n PN

est une suite extraite des suites p u ₂

n 1

q n PN . Exercice 171. ( )

1. cos a cos b ¹ ₂ r cos p a b q cos p a b qs et cos p 2a q 2 cos p a q ² 1.

2. On va raisonner par l’absurde. Supposons que la suite p cos p n qq n PN converge.

On note ` sa limite.

— @ n P N , cos p n 1 q cos p n 1 q 2 cos p n q cos p 1 q .

Les suites p cos p n 1 qq n PN

et p cos p n 1 qq n PN

convergent vers `. Par passage ` a la limite dans l’´ egalit´ e, on obtient

2` 2` cos p 1 q donc ` 0.

— @ n P N , cos p 2n q 2 cos ² p n q 1.

La suite p cos p 2n qq n PN

converge vers `. Par passage ` a la limite dans l’´ egalit´ e, on obtient

` 2` ² 1

Or, 0 n’est pas solution de cette ´ equation donc on aboutit ` a une contradiction.

La suite p cos p n qq n PN diverge.

RELATIONS DE COMPARAISON Exercice 172. ( )

1

n ² ! ln p n q

n ² ! 1

n ln p n q ! 1

n ! ln p n q n

Exercice 173. ( ) On a u n n ² cos p n q

2 ⁿ sin p n ² q .

cos p n q O p 1 q donc cos p n q o p n ² q et de mˆ eme sin p n ² q O p 1 q . Donc sin p n ² q o p 2 ⁿ q ainsi u n n ²

2 ⁿ .

Par croissances compar´ ees n ² o p 2 ⁿ q donc u _n Ñ 0.

Exercice 174. ( )

D´ eterminer un ´ equivalent simple des suites suivantes : 1. u _n 1 2

n

p 3n ln p n qq ²

1 2

n

8 1 car 2 n

8 o p 1 q 3n ln p n q

8 3n car ln n

8 o p 3n q Finalement par produit u n

8 1 p 3n q ²

8 9n ² . 2. v n 1

n 1 1 n 1

@n P N, v n 1

n 1 1

n 1 2

p n 1 qp n 1 q

8 2 n

²

3. w _n 2 ln p n q n

3n ?

n 2 ln p n q n

8 n car 2 ln n

8 o p n q

3n ?

n

8 3n car ? n

8 o p 3n q Finalement par quotient w _n

8

n

3n

8 1 3 . 4. x n ?

n 1 ? n 1 Or, ?

n 1

8

? n donc ?

n 1

8

? n o p ? n q . De mˆ eme, ?

n 1

8

? n donc ?

n 1

8

? n o p ? n q . En les sommant, ?

n 1 ?

n 1

8 2 ?

n 2o p ? n q . Donc, ?

n 1 ?

n 1

8 2 ? n.

Par quotient, u _n

8

? 1

n .

Exercice 175. () Composer des ´ equivalents

1. C’est faux pour u n n et v n n 1 alors ^e _e

^unvn

e ^u

ⁿ

^v

ⁿ

e ¹ . 2. ln p n 1 q

ln p n q ^ln

ⁿⁿ¹

ln p n q

ln p n q 1 ln 1 ¹ _n ln p n q Ainsi ln 1 ¹ _n

Ñ 0 donc ^{ln 1}

1 n

ln p n q Ñ 0 et ^ln _ln ^{p n} _{p n q} ^{1 q} Ñ 1.

Finalement ln p n 1 q

8 ln p n q .

3. Soient u et v deux suites de limite ` ¡ 0 avec ` 1 ou ` 8 .

Etant donn´ e que les suites u et v ont des limites positives, elles sont alors positives ` a partir d’un certain rang et donc ln p u n q et ln p v n q sont d´ efinies ` a partir d’un certain rang.

De mˆ eme comme leur limite est 8 ou ` 1 alors ` a partir d’un certain rang u n 1 et v n 1.

(Ces deux propri´ et´ es peuvent se prouver simplement en revenant ` a la d´ e- finition d’une suite convergente avec des ε.)

A partir d’un certain rang, on a donc : ln p u n q

ln p v _n q ln p ^u _v

ⁿ_n

.v _n q

ln p v _n q ln ^u _v

ⁿ

n

ln p v _n q

ln p v _n q 1 ln ^u _v

ⁿ

n

ln p v _n q Or, lim

n Ñ 8 u

n

v

n

1 donc, par composition des limites, lim

n Ñ 8 ln ^u _v

ⁿ

n

0 De plus, la suite lnpv n q n PN est convergente donc born´ ee ou bien diverge vers 8 .

Ainsi lim

n Ñ 8 ln

^un_vn

ln p v

n

q 0 et donc lim

n Ñ 8 1 ^ln

un vn

ln p v

n

q 1.

D’o` u, ln p u _n q

8 ln p v _n q .

SUITES D´ EFINIES IMPLICITEMENT Exercice 176. ₍₎

1. Pour n P N , on pose f _n : x ÞÑ x ³ nx d´ efinie sur R . Cette fonction est continue et d´ erivable sur R. Une ´ etude de sa d´ eriv´ ee montre qu’elle y est strictement croissante.

De plus, lim

x Ñ8 f _n p x q 8 et lim

x Ñ 8 f _n p x q 8

Finalement, f n est une bijection de R dans R . Le r´ eel 1 a donc un unique ant´ ec´ edent par f _n . On le note x _n et il v´ erifie f _n p x _n q 1.

2. f n p 0 q 0 et f n 1 n

_n ¹

3

n. _n ¹ 1 _n ¹

3

¡ 1. Donc, f n p 0 q ¤ 1 ¤ f n 1 n

. Par le TVI appliqu´ e ` a la fonction f _n sur le segment r 0, ¹ _n s , il existe un ant´ ec´ edent de 1 dans le segment r0; _n ¹ s. Or, 1 a un unique ant´ ec´ edent donc celui donn´ e par le TVI est x n . Donc, 0 ¤ x n ¤ _n ¹ .

n Ñ 8 lim

1

n 0. Par le th´ eor` eme d’encadrement, lim

n Ñ 8 x _n 0.

On va maintenant essayer d’affiner le comportement de p x n q n PN en 8 . 3. x n est solution de l’´ equation E n donc x ³ _n nx n 1 ô nx n 1 x ³ _n .

Par passage ` a la limite, lim

n Ñ 8 nx n 1. Donc, x n

8 1

n donc x n

8 1 n o p _n ¹ q 4. x n

8 1

n donc x ³ _n

8 1

n

³

donc x ³ _{n n} ¹

3

op _n ¹

3

q.

On remplace dans E _n .

nx _n 1 x ³ _n

8 1 1

n ³ o p 1 n ³ q x _n

8

1 n 1

n ⁴ 1 n o p 1

n ³ q

Or,

1 n o p _n ¹

3

q

1 n

⁴

o p _n ¹

3

q

1 n

³

n ÝÑ Ñ 8 0 (par d´ efinition) Donc _n ¹ o p _n ¹

3

q

8 o p _n ¹

4

q . Et finalement, x _n

8

1 n 1

n ⁴ o p 1

n ⁴ q

PROBL` EME COMPLET Exercice 177. ( )

Pour n P N , on pose H _n ° ⁿ

k 1 1

k . C’est la suite harmonique.

1. Soit n P N , H _{n 1} H _{n n} ¹ ₁ ¥ 0.

La suite H est croissante.

2. Soit n P N.

H _2n H _n

¸ 2n k 1

1 k

¸ n k 1

1 k

¸ 2n k n 1

1 k ¥

¸ 2n k n 1

1

2n n. 1 2n 1

2 car la fonction x ÞÑ ¹ _x est croissante sur R .

3. Supposons que la suite H converge. Alors la suite extraite pH 2n q n PN

converge vers la mˆ eme limite. Par passage ` a la limite dans l’in´ equation de la question 2, on obtient : 0 ¥ ¹ ₂ .

Par l’absurde, on conclut que H diverge.

De plus, comme elle est croissante, elle diverge vers 8 et lim

n Ñ 8 H n 8 . 4. Pour @ x ¡ 1, on pose g p x q ln p 1 x q x.

g est d´ efinie et d´ erivable sur s 1, 8r et g ¹ p x q 1

1 x 1 x

1 x . On a donc que g ¹ p x q ¡ 0 sur s 1, 0 r et g ¹ p x q   0 sur s 0, 8r donc g est d´ ecroissante sur s 1, 0 r et d´ ecroissante sur s 0, 8r . g admet un minimum en x 0 qui vaut g p 0 q 0.

Ainsi @ x ¡ 1, on pose g p x q ln p 1 x q x ¡ 0 soit ln p 1 x q ¡ x.

5. Pour n P N, on note u n

¸ n k 1

1

k lnpn 1q et v n

¸ n k 1

1

k lnpnq.

(a) @ n P N , b _n a _n ln p n 1 q ln p n q ln

1 1

n

. Donc lim

n Ñ 8 p b _n a _n q 0 .

Remarquons que @ n P N , on a bien x 1

n 1 ¡ 1, et l’in´ egalit´ e du 4. s’appliquera alors.

Montrons que la suite p a _n q n PN est d´ ecroissante :

@ n P N , a _{n 1} a _n 1

n 1 ln p n 1 q ln p n q

@ n P N , a _{n 1} a _n 1

n 1 ln n

n 1

@ n P N , a n 1 a n 1

n 1 ln

1 1

n 1

Soit, avec le 4., pour x _n ¹ ₁ ¡ 1, a _{n 1} a _n ¤ _n ¹ _{1 n} ¹ ₁ ¤ 0 Montrons que la suite p b _n q n PN est croissante :

@n P N , b n 1 b n 1

n 1 lnpn 2q lnpn 1q

@ n P N , b _{n 1} b _n 1

n 1 ln

n 2 n 1

@ n P N , b _{n 1} b _n 1

n 1 ln

1 1

n 1

Soit, avec le 6.(a), pour x _n ¹ ₁ ¡ 1, b _{n 1} b _n ¥ _n ¹ _{1 n} ¹ ₁ ¥ 0 Ces trois points prouvent que pa n q n PN et pb n q n PN sont adjacentes . (b) pa n q n PN et pb n q n PN sont adjacentes dont convergent vers un r´ eel γ . On a donc a n γ op1q. Remarquons que a n S n ln n, ce qui donne S _n ln n γ o p 1 q soit S _n ln n γ o p 1 q .

6. γ est une constante donc γ O p 1 q et γ o p ln n q , ainsi

¸ n k 1

1 k

8 ln p n q .

ORAL DE CONCOURS

Exercice 178 (ENSEA 2017 avec ´ etapes en plus). ( ) On s’int´ eresse ` a l’´ equation p E n q , x ⁿ x ^{n 1} .. x 1.

1. Cette question est l` a pour justifier que la suite est bien d´ efinie.

Pour n P N , posons f n : x ÞÑ x ⁿ x ^{n 1} .. x. Cette fonction est continue sur R . Elle est ´ egalement strictement croissante sur R comme somme de fonctions strictement croissante sur R .

f n est donc une bijection de R sur un intervalle de R ` a d´ eterminer.

f _n p 0 q 0 et lim

x Ñ 8 f _n p x q 8 . Donc, f pR q R .

f n est donc une bijection de R dans R . 1 a un unique ant´ ec´ edent par f n

dans R . On le note x _n . 2. f n p1q 1 1 ... 1 n ¥ 1.

f _n ¹ ₂

¹ ₂ ¹

¹²

n

1

¹2

1 ¹ _{2 n}   1.

Donc, on a : f n 1 2

  1   f n p 1 q .

Par le th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires, ¹ ₂   x _n   1.

3.

f _{n 1} p x _n q x ⁿ _n ¹ x ⁿ _n ... x ² _n x _n x ⁿ p x ⁿ _n x ⁿ _n ¹ ... x n 1 q x ⁿ p f n p x n q 1 q

2x n car f n px n q 1.

De plus, x _n ¡ ¹ ₂ donc f _{n 1} p x _n q ¡ 1.

Or, x n 1 est l’unique ant´ ec´ edent de 1 par f n 1 . Par stricte croissante de f n 1 , l’ant´ ec´ edent est donc strictement inf´ erieur ` a x n donc x n 1   x n . 4. La suite x est d´ ecroissante et minor´ ee par 0 donc par le th´ eor` eme de la

limite monotone, elle converge. On note ` sa limite.

5. (a) La suite x est strictement d´ ecroissante donc @ n P N , x _n   x ₂ . Par passage ` a la limite, on obtient lim

nÑ 8 x n ¤ x 2 . Or, x ₂ est l’unique solution positive de x ² x 1.

Donc x 2 ¹ ₂ ^{? 5}   1 donc lim

nÑ 8 x n   1.

(b) On a f n px n q 1, c’est-` a -dire x n ¹ ₁ ^x _x

ⁿⁿ_n

1.

On veut passer cette ´ egalit´ e ` a la limite. Attention, il est difficile de d´ eterminer lim

n Ñ 8 x ⁿ _n .

@ n P N , 0 ¤ x ⁿ _n ¤ x ⁿ ₂ et x 2   1 donc lim

n Ñ 8 x ⁿ ₂ 0.

Par encadrement, lim

n Ñ 8 x ⁿ _n 0. En revenant ` a l’´ egalit´ e pr´ ec´ edente, on obtient

` 1

1 ` 1 ñ ` 1 2 DU HORS-PROGRAMME

Exercice 179 (Th´ eor` eme de C´ esaro - version faible). ( ) Soit pu n q une suite croissante de limite `. On pose :

v n u 1 u n

n 1. Pour tout n P N ,

v _{n 1} v _n u 1 u n 1

n 1 u 1 u n

n En mettant au mˆ eme d´ enominateur :

v _{n 1} v _n nu n 1 p u 1 . . . u n q n p n 1 q ¥ 0

(car u 1 ¤ u n 1 , u 2 ¤ u n 1 , . . ., u n ¤ u n 1 ) ainsi p v n q est croissante.

2. Pour tout n P N ,

v 2n v n u 1 u n

2n

u n 1 u 2n

2n ¥ v n

2

nu n

2n u n v n

2 3. On a v _n ¤ ` pour tout n P N donc major´ ee et p v _n q croissante. Par le

th´ eor` eme de convergence monotone p v <sub>n</sub> q converge vers un r´ eel ` ¹ ¤ `.

La relation pr´ ec´ edente, pass´ ee ` a la limite, donne 2` ¹ ¥ ` ` ¹ ce qui permet

de conclure v _n Ñ `.

Exercice 180 (Th´ eor` eme de C´ esaro - version forte ). ( ) Soit u une suite r´ eelle et soit w la suite suite r´ eelle d´ efinie par

@ n P N , w n u 0 u 1 ... u n

n 1 1. La suite u est born´ ee : D M P R , @ n P N , | u _n | ¤ M .

@ n P N , | w n |

° n k 0

u k

n 1 ¤

° n k 0

| u k |

n 1 ¤ p n 1 q M

n 1 M

La suite w est donc elle aussi born´ ee.

Pour la r´ eciproque, prenons la suite u _n p 1 q ⁿ E n

2

"

p pour n 2p p pour n 2p 1 Cette suite n’est pas born´ ee.

La suite w est alors d´ efinie par w _n

"

0 pour n 2p

1 n 1

n

2 pour n 2p 1 . Cette suite est born´ ee par ¹ ₂ .

2. lim

n Ñ 8 u n ` : @ ε ¡ 0, D n 0 P N , @ n ¥ n 0 , | u n ` | ¤ ε.

Soit ε ¡ 0. Soit n ¥ N .

| w _n ` |

° n k 0

u _k

n 1 `

° n k 0

u _k p n 1 q ` n 1

¤

° n k 0

| u _k ` | n 1

¸ n k 0

| u _k ` |

¸ N k 0

| u _k ` |

¸ n k N 1

| u _k ` |

¤

¸ N k 0

|u k `| pn N qε

° n k 0

| u _k ` |

n 1 ¤ 1

n 1

¸ N k 0

| u _k ` | n N n ε

¤ 1 n 1

¸ N k0

| u _k ` | ε

Or, la quantit´ e

° N k 0

|u k `| ne d´ epend pas de n.

Donc lim

n Ñ 8 1 n 1

° N k 0

| u _k ` | 0. On peut rendre cette quantit´ e aussi petite que l’on veut donc lim

n Ñ 8 w n `.

Pour la r´ eciproque, prenons la suite u _n p 1 q ⁿ . Cette suite n’est pas convergente. La suite w est alors d´ efinie par w n

"

0 pour n 2p 1

1

n 1 pour n 2p . Cette suite converge vers 0.

3.

@ n P N , w _{n 1} w _n

n ° 2 k 0

u _k n 1

° n k 0

u _k n 1

n ° 1 k 0

p n 1 q u k ° ⁿ

k 0

p n 2 q u k

n p n 1 q

p n 1 q u _{n 1} ° ⁿ

k 0

u _k n p n 1 q

Or, la suite u est croissante donc : @ k P r 0, n s P N , u _k ¤ u _{n 1} donc

° n

k0 u _k ¤ p n 1 q u _{n 1} donc, la suite w est croissante.