1. La suite (U n ) est g´ eom´ etrique de premier terme U 0 = 10 et de raison q = 3, alors :

Fiche N ^◦ 3 : CORRECTION T STMG 2

Suites num´ eriques

E XERCICE 1

1. La suite (U n ) est g´ eom´ etrique de premier terme U 0 = 10 et de raison q = 3, alors :

p U ₄ = 22 n U ₄ = 810 p U ₄ = 10 × 3 ³ p U ₄ = 10 + 3 × 4

2. La suite (V n ) est arithm´ etique de premier terme V 0 = 0 et de raison r = 5 alors la somme V ₀ + V ₁ + · · · + V ₁₀ est ´ egale ` a :

p 0 p 50 p 250 n 275

Une ville a d´ ecid´ e d’augmenter de 10 % ses logements sociaux chaque ann´ ee. En 2012 elle avait 150 logements sociaux. Pour tout entier n, on note a n le nombre de logements sociaux dans cette ville en (2012 + n). On a donc a ₀ = 150.

1. On aura alors :

p a ₁ = 135 p a ₃ = 180 p a ₃ = 195 n a _n = 150 × 1, 10 ⁿ .

2. La ville souhaite au moins doubler le nombre de ses logements sociaux. Cet objectif sera d´ epass´ e en :

p 2015 p 2017 n 2020 p 2022

remarque : Il est bien entendu que l’objectif sera aussi d´ epass´ e en 2022 mais pas pour la premi` ere fois.

E XERCICE 2

Partie A : l’entraˆınement d’Ugo

1. Calculons les distances parcourues par Ugo au cours des deuxi` eme et troisi` eme semaines d’en- traˆınement c’est-` a-dire u ₂ et u ₃ . u ₂ = 40 + 5 = 45, u ₃ = 45 + 5 = 50.

2. La suite (u n ) est une suite arithm´ etique car chaque terme se d´ eduit du pr´ ec´ edent en ajoutant 5. La raison est 5.

3. Compl´ etons les lignes (1) et (2) de fa¸ con ` a ce qu’il affiche en sortie la distance parcourue par Ugo lors de la n-i` eme semaine d’entraˆınement.

Variables : u est un r´ eel

i et n sont des entiers naturels Entr´ ee : Saisir n

Initialisation : u prend la valeur 35 (1) Traitement : Pour i allant de 1 ` a n

u prend la valeur u + 5 (2) Fin Pour

Sortie : Afficher u

remarque puisque la boucle commence ` a 1 il faut donc qu’en sortie pour n = 1 on obtienne 40, par cons´ equent il faut initier la valeur u ` a 35 comme le montre la question suivante.

4. Calculons u _n .

Le terme g´ en´ eral d’une suite arithm´ etique de premier terme u ₁ et de raison r est u _n = u ₁ + (n − 1)r.

u n = 40 + (n − 1) × 5 = 35 + 5n.

Par cons´ equent pour tout n > 1, u _n = 35 + 5n.

1 21 janvier 2017

Fiche N ^◦ 3 : CORRECTION T STMG 2

A B : l’entraˆınement de Vivien

1. ` A une augmentation de 10 % correspond un coefficient multiplicateur de 1,1. Chaque terme se d´ eduit du pr´ ec´ edent en le multipliant par 1,1 par cons´ equent la suite (v n ) est une suite g´ eom´ etrique de raison 1,1 et de premier terme v 1 = 30.

2. Calculons v n .

Le terme g´ en´ eral d’une suite g´ eom´ etrique de premier terme u 1 et de raison q est u n = u 1 × (q) ⁿ⁻¹ . v _n = 30 × (1,1 ⁿ⁻¹ ). Pour tout n > 1, v _n = 30 × 1, 1 ⁿ⁻¹ .

3. Calculons v ₈ . v ₈ = 30 × 1,1 ⁸⁻¹ ≈ 58,5.

B Partie C : comparaison des deux entraˆınements

1. Vivien est persuad´ e qu’il y aura une semaine o` u il parcourra une distance sup´ erieure ` a celle parcourue par Ugo. Vivien a raison.

En dressant une table des valeurs pour u n et v n , nous obtenons pour n = 15, u 15 = 110 et v 15 = 113,9.

2. ` A la fin de la 17

semaine, les deux cyclistes se blessent. Ils d´ ecident alors de r´ eduire leur entraˆınement.

Ils ne feront plus que 80 km chacun par semaine ` a partir de la 18

semaine.

Calculons la distance totale parcourue pendant les dix-sept semaines :

En utilisant la calculatrice, nous montrons qu’Ugo aura parcouru 1 360 km et Vivien 1 216,34 km.

Les formules de la somme des n + 1 premiers termes d’une suite arithm´ etique ou d’une suite g´ eom´ etrique ne sont plus au programme, par curiosit´ e ancienne mani` ere

Ugo : u

+ u

+ · · · + u

+ u

= 17 × (40 + 120)

2 = 1360 ;

Vivien : v

+ v

+ · · · + v

+ v

= 30 × 1,1

1,1 − 1 ≈ 1 216,34.

Durant les trois semaines restantes, ils parcourront 240 km. Ugo atteindra son objectif car 1 360+240=1 600 tandis que Vivien ne pourra l’atteindre 1 216,34+240=1 456,34.

2 21 janvier 2017

Fiche N ^◦ 3 : CORRECTION T STMG 2

E XERCICE 3

Partie A : premier mod` ele

1. ` A l’aide de la calculatrice, une ´ equation de la droite d’ajustement affine de y en x, obtenue par la m´ ethode des moindres carr´ es est : y = 0,42x + 60,56 (les coefficients ´ etant arrondis au centi` eme) .

2. On d´ ecide d’ajuster ce nuage de points par la droite D d’´ equation y = 0, 4x + 60, 6. Sur la base de ce mod` ele, donnons une estimation du nombre d’habitants en France en 2050. En 2050 le rang est 50.

En rempla¸ cant x par 50 dans l’´ equation de la droite, nous obtenons y = 0,4 × 50 + 60,6 = 80,6.

Sur la base de ce mod` ele, le nombre d’habitants en France en 2050 serait d’environ 80,6 millions.

Partie B : deuxi` eme mod` ele

1. Calculons le taux d’´ evolution global du nombre d’habitants de la population fran¸ caise, exprim´ e en pourcentage et arrondi ` a 0,001 %, entre les ann´ ees 2000 et 2010.

Le taux d’´ evolution T est d´ efini par T = valeur finale − valeur initiale

valeur initiale T = 64,6 − 60,5

60,5 ≈ 0,067 769.

Le taux d’´ evolution global du nombre d’habitants de la population fran¸ caise entre les ann´ ees 2000 et 2010 est d’environ 6,777 %.

2. En appelant t _m le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi (1 + t _m ) ¹⁰ puisque le nombre d’habitants a subi 10 ´ evolutions durant cette p´ eriode.

(1 + t _m ) ¹⁰ = 1,067 77 par cons´ equent t _m = 1,067 77 ^{10 1} − 1 ≈ 0,006 579.

Le taux d’´ evolution annuel moyen sur cette mˆ eme p´ eriode est d’environ 0,658 %.

3. Dans la suite de l’exercice, on suppose qu’` a partir de 2010, le nombre d’habitants augmente de 0, 66 % par an.

Cette ´ evolution conduit ` a estimer le nombre d’habitants, exprim´ e en millions, au cours de l’ann´ ee 2010 + n

(n d´ esignant un entier naturel), ` a partir de la valeur du n-i` eme terme d’une suite g´ eom´ etrique (u _n ).

(a) Le premier terme de la suite (u n ) est le nombre d’habitants, exprim´ e en millions, en 2010 c’est-

` a-dire u ₀ = 64,6.

La raison de la suite est 1,006 6 puisque, ` a une augmentation au taux t correspond un coefficient multiplicateur de 1 + t.

(b) Le terme g´ en´ eral d’une suite g´ eom´ etrique de premier terme u ₀ et de raison q est u _n = u ₀ × (q) ⁿ . u _n = 64,6 × (1,006 6) ⁿ .

(c) Montrons que, selon ce mod` ele, il y aura environ 84 millions d’habitants en France en 2050.

Pour ce faire, calculons u 40 . u 40 = 64,6 × (1,006 6) ⁴⁰ ≈ 84,044.

Selon ce mod` ele, il y aurait environ 84 millions d’habitants en France en 2050.

Partie C

D’apr` es certains experts, la population mondiale devrait atteindre neuf milliards en 2050.

Justifions, par un calcul, la phrase suivante :

En 2050, il y aura moins d’une personne sur cent de la population mondiale qui vivra en France.

Calculons la proportion p de personnes vivant en France par rapport ` a la population mondiale. p = 84 × 10 ⁶

9 × 10 ⁹ ≈ 0,009 3.

Ce r´ esultat est inf´ erieur ` a 0,01. Par cons´ equent, nous pouvons affirmer que la phrase est correcte.

remarque Nous aurions pu calculer le centi` eme de la population mondiale c’est-` a-dire 90 millions. Or selon les diff´ erents mod` eles ce nombre n’est pas atteint. Par cons´ equent, en 2050, il y aura moins d’une personne sur cent de la population mondiale qui vivra en France.

3 21 janvier 2017

Fiche N ^◦ 3 : CORRECTION T STMG 2

E XERCICE 4

1. Puisque, dans la proposition A, son salaire est augment´ e de 15 euros chaque ann´ ee u ₁ = 1 200 + 15 = 1 215, u ₂ = 1 215 + 15 = 1 230

Puisque dans la proposition B son salaire est augment´ e de 4 % par cons´ equent multipli´ e par 1,04 v ₁ = 1 000 × 1,04 et v ₂ = 1 040 × 1,04 = 1 081,60.

2. Donnons la nature et la raison de chacune des suites (u _n ) et (v _n ).

Puisque, dans la proposition A, son salaire est augment´ e de 15 euros chaque ann´ ee donc d’une quantit´ e constante, la suite (u n ) est une suite arithm´ etique de raison 15 et de premier terme 1 200.

Puisque dans la proposition B, son salaire est augment´ e de 4 % par cons´ equent multipli´ e par 1,04 donc toujours multipli´ e par un mˆ eme nombre, la suite (v _n ) est une suite g´ eom´ etrique de raison 1,04 et de premier terme 1 000.

3. Exprimons, pour tout entier naturel n, u _n et v _n en fonction de n.

Le terme g´ en´ eral d’une suite arithm´ etique de premier terme u 0 et de raison r est u n = u 0 + (n)r.

u n = 1 200 + 15n

Le terme g´ en´ eral d’une suite g´ eom´ etrique de premier terme u 0 et de raison q est u n = u 0 × (q) ⁿ . v _n = 1 000 × (1,04) ⁿ

4. Calculons, pour chacune des deux propositions, le salaire mensuel brut en 2023. En 2023 n = 8, par cons´ equent u ₈ = 1 200 + 15 × 8 = 1 320 et v ₈ = 1 000 × (1,04) ⁸ ≈ 1 369

Les r´ esultats sont arrondis ` a l’euro.

5. Une feuille de calcul a ´ et´ e ´ elabor´ ee dans le but de calculer le salaire mensuel brut, au premier janvier de chaque ann´ ee, pour chacune des deux propositions de r´ emun´ eration.

A B C D E F G H I J K L M N

1 Ann´ ee 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2 u

1 200 1 215

3 v

1 000 1 040

(a) Une formule qui, entr´ ee en cellule C2, permet, par recopie vers la droite, d’obtenir le contenu de la plage C2 : N2 est :=B$2+15.

(b) Une formule qui, entr´ ee en cellule C3, permet, par recopie vers la droite, d’obtenir le contenu de la plage C3 : N3 est =B$3*1,04.

6. D´ eterminons ` a partir de quelle ann´ ee le salaire mensuel brut obtenu avec la proposition B d´ epasse celui de la proposition A. En calculant les diff´ erentes valeurs des deux suites, nous constatons que pour n = 7 u ₇ = 1 305 et v ₇ = 1 315,93.

2015 + 7 = 2022, par cons´ equent ` a partir de 2022 le salaire obtenu avec la proposition B d´ epasse celui obtenu avec la proposition A.

4 21 janvier 2017