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1. Soit p u n q n ¥ 0 une suite arithm´ etique de raison r. Montrer que :

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(1)

Feuille d’exercices n 12 - SUITES NUM ´ ERIQUES

SUITES R´ ECURRENTES D’ORDRE 1 OU 2 Exercice 161 (Suites arithm´ etiques et g´ eom´ etriques ). ( ) Suites arithm´ etiques et g´ eom´ etriques

1. Soit p u n q n ¥ 0 une suite arithm´ etique de raison r. Montrer que :

@n ¥ 1, u n u n 1 u n 1

2

2. Soit p u n q n ¥ 0 une suite g´ eom´ etrique de raison q. Montrer que :

@n ¥ 1, u 2 n u n 1 u n 1

Exercice 162 (Suites arithm´ etiques et g´ eom´ etriques ). ( )

Que pensez-vous des r´ eciproques de l’exercice pr´ ec´ edent ? Vraies ou fausses ? Exercice 163. ( )

Soient pu n q n PN et pv n q n PN deux suites r´ eelles telles que :

u 0 1, v 0 2 et @ n P N , u n 1 3u n 2v n et v n 1 3v n 2u n 1. Calculer u 1 , v 1 , u 2 et v 2 .

2. Montrer que la suite p u n v n q n PN est constante.

3. Montrer que la suite p u n q n PN est arithm´ etico-g´ eom´ etrique.

4. En d´ eduire le terme g´ en´ eral de la suite p u n q n PN puis de p v n q n PN . Exercice 164. ( )

D´ eterminer le terme g´ en´ eral des suites suivantes 1. u 0 0 et @ n P N , u n 1 2u n 1.

2. u 0 1, u 1 0 et @ n P N , u n 2 4u n 1 4u n . 3. u 0 1, u 1 1 et @ n P N , 2u n 2 3u n 1 u n . 4. u 0 1, u 1 2 et @ n P N , u n 2 u n 1 u n .

LIMITE DE SUITES Exercice 165. ( )

Etudier la convergence des suites ci-dessous : ´ 1. @n P N, u n 2 n 3 n

2 n 3 n 2. @ n P N , u n n 3 5n

5n 3 cospnq n 1

2

3. @ n P N , u n ?

n 1 ? n 4. @ n P N zt 1 u , u n p ln n q

n1

5. @ n P N , u n t na u

n pour a P R . 6. @ n P N , u n t na u

a pour a P R . 7. @ n P N , u n ° n

k 1

? 1 k 8. @ n P N , u n

1 x

n

n

(x P R ) SUITES ADJACENTES

Exercice 166. ( )

Prouver que les suites ci-dessous sont adjacentes et ´ etudier leurs natures :

@ n P N , u n n

¸

k 1

? 1 k

2 ?

n 1 et v n n

¸

k 1

? 1 k

2 ?

n

Exercice 167 (Crit` ere sp´ ecial des s´ eries altern´ ees ). ( ) Soit p u n q n PN une suite r´ eelle d´ ecroissante, convergeant vers 0.

Pour n P N, on note S n ° n

k 1

p 1 q k u k .

1. Montrer que p S 2n q n PN et p S 2n 1 q n PN convergent vers la mˆ eme limite.

2. En d´ eduire que la suite pS n q n PN converge.

SUITES D´ EFINIES PAR R´ ECURRENCE Exercice 168. ( ) ´ Etude compl` ete des suites d´ efinies ci-dessous.

On se r´ ef` erera ` a la m´ ethode du cours p.14 pour mener l’´ etude.

1. u 0 1 et @ n P N , u n 1 1 u 2 n . 2. u 0 P R et @ n P N , u n 1 1 u 2 n

4 . 3. u 0 P R et @n P N, u n 1 e u

n

1.

Lyc´ ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PCSI - 2019-2020

(2)

Feuille d’exercices n 12 - SUITES NUM ´ ERIQUES

Exercice 169. ()

On consid` ere la suite p x n q nPN d´ efinie par

# x 0 1

@ n P N , x n 1 x

n

1 2x p 1 x

nn

q . 1. Montrer que @ n ¥ 1, 0   x n   1.

2. Montrer que la suite p x n q n PN est d´ ecroissante.

3. En d´ eduire que p x n q n PN converge et d´ eterminer sa limite.

SUITES EXTRAITES Exercice 170. ( )

Parmi les suites suivantes, lesquelles sont des suites extraites des autres ? 1. u 2n

2. u 3n

3. u 6n

4. u 2

n

5. u 2

n 1

6. u 3.2

n

Exercice 171. ( )

1. Rappeler les formules de trigonom´ etrie donnant cos a cos b et cos 2a.

2. En d´ eduire que la suite p cos p n qq n PN diverge.

RELATIONS DE COMPARAISON Exercice 172. ( )

Classer par ordre de n´ egligeabilit´ e : 1

n , 1

n 2 , lnpnq

n , lnpnq n 2 , 1

n ln p n q Exercice 173. ( )

Equivalent simple de ´ u n n 2 cos p n q 2 n sinpn 2 q . Exercice 174. ( )

D´ eterminer un ´ equivalent simple des suites suivantes : 1. u n 1 2

n

p3n lnpnqq 2

2. v n 1

n 1 1 n 1

3. w n 2 ln p n q n

3n ?

n 4. x n ?

n 1 ? n 1

Exercice 175. () Composer des ´ equivalents

1. Si u n

8 v n , a-t-on e u

n

8 e v

n

? 2. Montrer que ln p n 1 q

8 ln p n q .

3. Soient u et v deux suites de limite ` ¡ 0 avec ` 1 ou ` 8 . Montrer que lnpu n q

8 lnpv n q.

SUITES D´ EFINIES IMPLICITEMENT Exercice 176. ( )

1. Montrer que pour n P N , l’´ equation x 3 nx 1 admet une unique solution.

On la note x n .

2. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, 0 ¤ x n ¤ 1 n . En d´ eduire le comportement de la suite p x n q n en 8 . 3. Montrer que x n

8

1 n . 4. Montrer que n 1 x n

8

1 n 4 . 5. En d´ eduire x n

8

1 n 1

n 4 o 1

n 4

.

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Feuille d’exercices n 12 - SUITES NUM ´ ERIQUES

PROBL` EME COMPLET Exercice 177. ( )

Pour n P N , on pose H n

¸ n k 1

1

k . C’est la suite harmonique.

1. Montrer que la suite H est croissante.

2. Montrer que @n P N , H 2n H n ¥ 1 2 . 3. En d´ eduire que lim

nÑ 8 H n 8.

4. Montrer que : @x ¡ 1, lnp1 xq ¤ x.

5. Pour n P N , on note u n

¸ n k 1

1

k ln p n 1 q et v n

¸ n k 1

1

k ln p n q . (a) Montrer que ces suites sont adjacentes.

(b) En d´ eduire qu’il existe γ P r 0, 1 s tel que

¸ n k 1

1

k ln p n q γ o p 1 q . (La constante γ s’appelle la constante d’Euler.)

6. Montrer que

¸ n k 1

1 k

8 ln p n q .

ORAL DE CONCOURS

Exercice 178 (ENSEA 2017 avec ´ etapes en plus). ( ) On s’int´ eresse ` a l’´ equation p E n q , x n x n 1 .. x 1.

1. Montrer que l’´ equation p E n q admet une unique solution dans R que l’on notera x n .

2. Montrer que @n P N, 1 2   x n   1.

3. En calculant f n 1 px n q, montrer que la suite px n q n PN est d´ ecroissante.

4. En d´ eduire que p x n q n PN est convergente et on note ` sa limite.

5. (a) Montrer que `   1.

(b) Montrer que ` 1 2 .

DU HORS-PROGRAMME

Exercice 179 (Th´ eor` eme de C´ esaro - version faible). ( ) Soit p u n q une suite croissante de limite `. On pose :

v n u 1 u n

n 1. Montrer que p v n q est croissante.

2. ´ Etablir que v 2n ¥ u

n

2 v

n

. 3. En d´ eduire que v n Ñ `.

Exercice 180 (Th´ eor` eme de C´ esaro - version forte ). ( ) Soit u une suite r´ eelle et soit v la suite suite r´ eelle d´ efinie par

@ n P N , v n u 1 ... u n

n 1. Montrer que si u est born´ ee alors v est born´ ee.

Que pensez-vous de la r´ eciproque ?

2. Montrer que si u converge alors v converge vers la mˆ eme limite.

Que pensez-vous de la r´ eciproque ?

3. Montrer que si u est croissante alors v est croissante.

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