– la suite (u n ) par : u 0 = 13 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = 1 5 u n + 4

Suites au Bac 2009

Exercice 1

Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

PARTIE A : On définit :

– la suite (u _n ) par : u ₀ = 13 et, pour tout entier naturel n, u _n+1 = 1 5 u _n + 4

5 . – la suite (S _n ) par : pour tout entier naturel n, S _n =

X n k=0

u _k = u ₀ +u ₁ +u ₂ + · · · +u _n .

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u _n = 1 + 12 5 ⁿ . En déduire la limite de la suite (u _n ).

2. a) Déterminer le sens de variation de la suite (S _n ).

b) Calculer S _n en fonction de n.

c) Déterminer la limite de la suite (S n ).

PARTIE B :

Etant donné une suite (x _n ), de nombres réels, définie pour tout entier naturel n, on considére la suite (S _n ) définie par S _n =

X n k=0

x _k .

Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.

Justifier dans chaque cas.

Proposition 1 : si la suite (x _n ) est convergente, alors la suite (S _n ) l’est aussi.

Proposition 2 : les suites (x _n ) et (S _n ) ont le même sens de variation.

Exercice 2 PARTIE A :

On considère l’ensemble (E) des suites (x _n ) définies sur

et vérifiant la rela- tion suivante :

pour tout entier naturel n non nul, x _n+1 − x _n = 0,24x _n − 1 .

1. On considère un réel λ non nul et on définit sur

la suite (t _n ) par t _n = λ ⁿ . Démontrer que la suite (t _n ) appartient à l’ensemble (E) si et seulement si λ est solution de l’équation λ ² − λ − 0, 24 = 0.

En déduire les suites (t _n ) appartenant à l’ensemble (E).

On admet que (E) est l’ensemble des suites (u _n ) définies sur

par une relation de la forme :

u _n = α(1, 2) ⁿ + β( − 0, 2) ⁿ où α et β sont deux réels.

2. On considère une suite (u _n ) de l’ensemble (E).

Déterminer les valeurs de α et β telles que u ₀ = 6 et u ₁ = 6, 6.

En déduire que, pour tout entier naturel n, u _n = 39

7 (1, 2) ⁿ + 3

7 ( − 0, 2) ⁿ . 3. Déterminer lim

n → + ∞ u _n . PARTIE B :

On considère la suite (v _n ) définie sur

par :

v ₀ = 6 et, pour tout entier naturel n, v _n+1 = 1, 4v _n − 0, 05v _n ² 1. Soit f la fonction définie sur

par f (x) = 1,4x − 0, 05x ² .

a) Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 8].

b) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0

v _n < v _n+1

8.

2. En déduire que la suite (v _n ) est convergente et déterminer sa limite ℓ.

Suites au Bac 2009 2

Exercice 3 PARTIE A :

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ par f (x) = x

e ^x − 1 . 1. Restitution organisée de connaissances :

La fonction exponentielle est l’unique fonction g dérivable sur

vérifiant



 



 



g ^′ (x) = g(x) pour tout x ∈

. g(0) = 1

Démontrer que lim

h → 0

e ^h − 1 h = 1.

2. Déterminer la limite de la fonction f en 0.

3. Déterminer la limite de la fonction f en + ∞ . PARTIE B :

Soit (u _n ) la suite définie pour n entier supérieur ou égal à 1 par : u _n = 1

n

h 1 + e

+ e

+ · · · + e

i 1. Démontrer que 1 + e

+ e

+ · · · + e

= 1 − e

1 − e

puis en déduire que u _n = (e − 1)f ₁

n

.

2. En déduire, en utilisant aussi la partie A, que la suite (u _n ) converge vers e − 1.

Exercice 4

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. On considère la suite (u _n ) définie par :

u ₀ = 1 et, pour tout nombre entier naturel n, u _n+1 = 1 3 u _n + 4.

On pose, pour tout nombre entier naturel n, v _n = u _n − 6.

a) Pour tout nombre entier naturel n, calculer v _n+1 en fonction de v _n . Quelle est la nature de la suite (v n ) ?

b) Démontrer que pour tout nombre entier naturel n, u _n = − 5 1 3

n

+ 6.

c) Étudier la convergence de la suite (u _n ).

2. On considère la suite (w _n ) dont les termes vérifient, pour tout nombre en- tier n

1 :

nw _n = (n + 1)w _n − 1 + 1 et w ₀ = 1.

Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite.

w ₀ w ₁ w ₂ w ₃ w ₄ w ₅ w ₆ w ₇ w ₈ w ₉

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

a) Détailler le calcul permettant d’obtenir w ₁₀ .

b) Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initia- tive même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Donner la nature de la suite (w _n ). Calculer w ₂₀₀₉ .

Guillaume Connan, T

4 - Jean ^Perrin , 2009-2010