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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Programme de colle 3

Classe de PT

Semaine du lundi 19 au vendredi 23 septembre

Liste des questions de cours

• Limite de la suite u

n

=

1 + x n

n

, avec x ∈ R ; équivalent de e

1 + 1 n

n

.

• Nature de la série de Bertrand X 1

n

α

(ln n)

β

selon α, β ∈ R , pour α 6= 1.

• Soit I est un intervalle de R et f : I → R continue telle que ∀x ∈ I , f (x)

2

= 1. Montrer que f = 1 ou f = −1.

• Les dix DL usuels : famille exponentielle (exp, cos, sin), géométrique ( 1 1 − x , 1

1 − x , ln(1+ x), ln(1−x), Arctan (x)), (1 + x)

α

avec α ∈ R à l’ordre n ; tan(x) à l’ordre 3.

Toute défaillance sur un DL usuel au cours de la colle entraînera une note en dessous de 5.

1 R et les suites réelles

1.1 Situations classiques

Suite et série géométrique : limites, expression de

n

X

k=0

q

k

.

• Suites monotones bornées.

• Sommes de Riemann.

• Suites récurrentes linéaires.

Suites récurrentes u

n+1

= f (u

n

), en particulier le cas f monotone ou f contractante (sup

I

|f

0

| < 1).

1.2 Relations de comparaison Grand O, petit o, équivalents.

1.3 Séries numériques

Révisions de PTSI : définition de la convergence, de la convergence absolue.

Séries de Riemann X 1

n

α

, α ∈ R . Comparaison de séries à termes positifs : 6 , grand O, petit o, équivalent.

2 Fonctions d’une variable réelle

2.1 Continuité

Définition ; propriétés ; caractérisation séquentielle.

« f continue sur un segment [a, b] est bornée et atteint ses bornes ».

Théorème des valeurs intermédiaires ; théorème de la bijection.

1

(2)

2.2 Dérivabilité

Définition ; propriétés ; théorème de Rolle et ses conséquences : égalité et inégalité des accroissements finis.

Théorème de la limite de la dérivée.

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