Théorème central limite

Théorème central limite

Florian BOUGUET

Référence : QUEFFÉLEC, ZUILY: Analyse pour l’agrégation Leçons : 218, 235, 241, 242, 250, 251

Le théorème central limite (parfois aussi appelé théorème de la limite centrale) est un théorème-clé en théorie des probabilités. Il souligne le rôlecentraldes variables gaussiennes, qui peuvent être vues comme le comportement global d’une multitude de petits phénomènes. Par exemple, les chocs de molécules d’eau sur une molécule de pollen ou les effets des conditions atmosphériques sur le plan de vol d’un avion peuvent être modélisés par des variables gaussiennes. En pratique, quandn≥30, le TCL fournit une bonne approximation de la situation (et on peut estimer son erreur grâce à l’inégalité de BERRY-ESSEEN).

Theorème 1 (Central Limite)

Soit(X_n)_n≥1une suite de variables aléatoires i.i.d. et notonsX_nsa moyenne empirique (i.e. deCÉSARO).

Si Var(X1)<+∞

Alors

√n Xn−E(X1) L

→ N(0,Var(X1))

Preuve du théorème :

Si Var(X₁) = 0le théorème est évident, les variables convergeant alors en loi vers une mesure de DIRAC. On peut donc supposer Var(X₁)6= 0.

Quitte à considérer les variables ^X√^n−E(Xn)

Var(Xn), on peut supposer que les variables sont i.i.d. centrées réduites (i.e. de moyenne 0 de variance 1). Notons

Zn=√

n(Xn) = Sn

√n oùSn=

n

X

k=1

Xk

Il "suffit" alors de montrer queZn

→ NL (0,1).

Pour montrer la convergence en loi des variables aléatoires, on va montrer que les fonctions caractéristiques convergent simplement sur Rvers la fonction caractéristique de la gaussienne N(0,1) (pour rappel, il est né- cessaire que la fonction caractéristique limite soit continue en 0 ; ici c’est évident).

ϕ_Zn(t) = E[exp(itZ_n)] =E

exp itS_n

√n

= ϕ_Sn t

√n

=

ϕX₁

t

√n ⁿ

car les v.a. sont i.i.d.

On peut alors faire un développement de TAYLOR-YOUNG à l’ordre 2 pour ϕX₁. En effet, X1 est de carré intégrable, et donc sa fonction caractéristique est deux fois dérivable en 0. On a ϕ⁰_X1(0) = E(X1) = 0 et ϕ⁰⁰_X1(0) =−E(X₁²) =−1.

1

On a donc le développement limité suivant en 0

ϕX₁(u) = 1−u²

2 +o(u²) quandu→0 En remplaçantupart/√

non obtient pour tout réelt

ϕ_X1 t

√n

= 1− t²

2n+o(n) quandn→ ∞ En injectant dans l’égalité obtenue précédemment on obtient

ϕ_Zn(t) =

1− t²

2n+o(n) ⁿ

quandn→ ∞

A ce stade, on pourrait conclure en faisant tendre n → ∞ (grâce à l’utilisation du logarithme, ce qu’on fera de toute façon un peu plus loin) si la quantité entre les parenthèses était à valeurs réelles. Malheureusement, les fonctions caractéristiques sont a priori à valeurs complexes (comme le cache astucieusement leo(n)) et il convient de réfléchir un peu. En fait, on a besoin de :

Lemme 1

Soit(z_n)une suite à valeurs complexes.

Si(z_n)→z Alors

1 +zn

n ⁿ

→e^z

t7→e^−t2/2étant la fonction caractéristique deN(0,1), le théorème de LÉVYnous donne la convergence en loi de (Zn)versN(0,1).

Preuve du lemme :

Le plus dur reste à faire ! Soitω∈C. La formule du binôme de NEWTONnous donne

e^ω− 1 + ω

n ⁿ

=

∞

X

k=0

a⁽ⁿ⁾_k ω^k aveca⁽ⁿ⁾_k = 1 k!

1−n(n−1). . .(n−k+ 1) n^k

sik≤n

= 1

k!sinon Donc∀k, n∈N,a⁽ⁿ⁾_k ∈R+. Donc

e^ω−

1 + ω n

n ≤

∞

X

k=0

a⁽ⁿ⁾_k r^k etr=|ω| ∈R

≤ e^r− 1 + r

n ⁿ

=e^r−exp nlog

1 + r n

≤ e^r−exp

r− r² 2n

≤ e^r

1−exp

−r² 2n

≤ r² 2ne^r

2

C’est presque fini ! On a donc

e^z−

1 +zn

n n

≤ |e^z−e^zn|+

1 +zn

n n

−e^zn

≤ |e^z−e^zn|+|z_n|² 2n e^|zn|

(z_n)converge donc est bornée, la quantité de droite tend donc vers 0 en passant à la limite (par continuité de l’exponentielle), ce qui conclut la preuve du lemme.

Il arrive (votre serviteur en aura fait les frais) que certains jurys trouvent la preuve du lemme complètement triviale en utilisant le logarithme complexe. Mouais. . .. Quoi qu’il en soit, je vous propose en variante de dire "la preuve du lemme est évidente/facile/triviale/ridiculement courte" - à condition de savoir comment la démontrer - et de rajouter en prologue le calcul de la fonction caractéristique deN(0,1):

Proposition 1 SiX∼ N(0,1)

AlorsXa pour fonction caractéristiqueϕX(t) =e^−t

2 2

Preuve de la proposition 1 : Par définition,∀t∈R,

ϕ_X(t) =E(e^itX) = 1

√2π Z

R

e^itxe^−x2/2dx par le lemme de transfert

Nous allons ici donner une méthode requérant le théorème d’holomorphie sous le signe intégral. On pourrait aussi utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégral et vérifier que ϕX vérifie une équation différentielle du premier ordre (voir BARBE, LEDOUX).

Notonsf(x, z) =^√1

2πe^zxe^−x2/2etΦ(z) =R

Rf(x, z)dx.

– àxfixé,f(x,·)est holomorphe surC. – àzfixé ,f(·, z)est mesurable.

– ∀x, z,|f(x, z)| ≤ ^√1_2πe^|z|xe^−x2/2donc sur tout compact,f est majorée par une fonction intégrable indépen- dante dez.

Φest donc holomorphe surCet, siz∈R Φ(z) = 1

√2π Z

R

e^zxe^−x2/2dx= e^z22

√2π Z

R

e^{−12(x−z)2}dx

= e^z

2

2 1

√2π Z

R

e^−u

2

2 du et on reconnait l’intégrale d’une gaussienne

= e^z

2 2

z7→e^z22 est holomorphe surCet coïncide avecΦsur l’axe réel, donc surCtout entier. En particulier Φ(it) =ϕX(t) =e^−z

2 2

3