Loi normale et théorème central limite

(1)

Loi normale et théorème central limite

I - Loi normale ou loi de Laplace-Gauss

La variable aléatoire X suit une loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) si X prend ses valeurs dans R et si elle admet pour densité de probabilité :

m 2

x 2 1

2 e ) 1

x (

f ^^

 



  

 ^





On dit que X est une variable aléatoire normale (ou gaussienne) de paramètres m,  X~N(m,)

Fonction de répartition : Par définition.

F (x) =



 x f(t)dt

F (x) =







 



  

x t m

2 1

dt 2 e

1 _ ²





Si X suit la loi N(m, ^ ) : Espérance : E(X) = m Variance : V(X) = ²

Somme de variables aléatoires : Soit X₁ ~N(m₁,₁)et X₂ ~N(m₂,₂)

Si X1 et X2 sont indépendantes alors

)

²

² , m m ( N

~ X

X₁  ₂ ₁  ₂ ₁ ₂

plus généralement

(2)

Soit X_i ~ N(m_i,_i) pour i = 1, …, n et Xi indépendantes. Alors ^𝑛_𝑖=1X_i suit la loi N( ^𝑛_𝑖=1𝑚_𝑖 , ^𝑛_𝑖=1𝜎_𝑖²)

II - Variable aléatoire centrée réduite Définition :

Soit X une variable aléatoire.

La variable aléatoire

 ) X ( E X

est la variable aléatoire centrée réduite associée à X.

Propriété :

La variable aléatoire centrée réduite associée à X a une espérance nulle et une variance égale à 1.

Démonstration :

1

² ² ) 1

² ( ) 1 ) ( (

0 )]

( ) ( 1[ )) ( 1 (

)) ( (



 









 

 



X X V

E V X

X E X E X

E X X E

E E X

Donc si X~N(m,) alors X m ~N(0,1)



 .

La loi N (0, 1) est la loi normale centrée réduite de densité f(x) = ²

² x

2 e 1 ^

 III - Calcul des probabilités pour N(0, 1)

Soit X ~ N(0, 1) de densité f (x) = ²

² x

2 e 1 ^

 de fonction de répartition





 ^x e^t²^²

2 ) 1

x

( 



(3)

Propriétés : Soit X ~ N(0, 1) Propriété 1 :

p (X > u) = 1 – p (X < u) = 1 - (u)

Exemple : P (U < - 0,38) = P(U > 0,38) = 1 – P (U < 0,38) = 1 – 0,648 = 0,352.

Propriété 2 :

P (X< - u) = P(X>u)=1 – P (X< u) = 1 - (u) Propriété 3 :

0 u 5 , 0 ) u (















Propriété 4 :



u₁ X u₂



(u₂) (u₁) P    

Exemple : p ( - 0,2 < u < 1,07) = (1,07) - (- 0,2) = (1,07) – 1 + (0,2) = 0,8577 – 1 + 0,5793 = 0,437

p ( -1 < X < 1) = ^(1) - ^(-1) = ^(1) – 1 + ^(1) = 2^(1) – 1 = 0,6826 Propriété 5 :

p ( 𝑋 <u) =P(-u<X<u) =2(u) – 1

(4)

a) Utilisation de la table 1 : Connaissant u on lit P(X <u)

(5)

Exemples :

P(X  1,67) = 0,9525

P(X  1,25) = 1 – P(X < 1,25) = 1 – ^ (1,25)

= 1 – 0,8944 = 0,1056.

P(X  –1,67) = ^ (–1,67) = ^ (X  1,67) = 1 – ^ (1,67)

= 1 – 0,9525 = 0,0475.

p(–1  X  1)  0,68 ;

Définition :

On appelle fractile d’ordre pour une fonction de répartition , la valeur U_/ 

(U_) =  c’est-à-dire P (U < U_) =  .

(6)

b) Utilisation de la table 2 : On connaît la probabilité, on lit les fractiles.

La table 2 donne u / P(X < u) =p

On a la probabilité p et on cherche le u.

( Dans la table 1 ( fonction de répartition )

on a u donné et la table donne P (X < u) )

(7)

Exemples : Soit X ~ N (0, 1)

- Déterminer u / p (X < u) = 0,975  u = 1,96 - Déterminer u / p (X < u) = 0,2.

0,2 < 0,5  u < 0. On lit 0,8416 donc u = - 0,8416.

- Déterminer u / p (X > u) = 0,05 u / p (X < u) = 0,95 u = 1,6449.

- Déterminer u / p (-1,16 < X < u) = 0,5.

(-1,16) = 0,123 (u) = 0,623 u = 0,3134.

c) Calculs de probabilité pour une loi N (m, ) : Si X ~ N (m,  ) alors

 m X

~ N (0, 1) Exemples de calcul de probabilité :

Exemple 1 :

Soit X ~ N (3, 2) On veut calculer p (X < 6,24) 1ère étape : Se ramener à une loi centrée réduite.

P (X < 6,24) = p _



 



   

2 3 24 , 6 2

3

X = p _



 



   62 , 2 1

3

X .

On pose U =

2 3 X

U ~ N (0, 1).

2ème étape : On fait le calcul avec U. p (U < 1,62) = 0,9474 3ème étape : Conclusion p (X < 6,24) = 0,9474.

Exemple 2 :

Soit X ~ N (-4, 5). On veut calculer p (X < 1,65)

p (X < 1,65) = p _



 



 

 

5 4 65 , 1 5

4

X = p (U < 1,13) = 0,8709

donc p (X < 1,65) = 0,8709.

(8)

Exemple 3 : Soit X ~ N (-3, 1)

Déterminer x / p (- 4,53 < X < x) = 0,687

P _



 



     

1 3 x 1

3 X 1

3 53 ,

4 = 0,687

P ( - 1,53 < U < x + 3 ) = 0,687

 ( - 1,53) = 0,063

 ( x + 3 ) = 0,7513 x + 3 = 0,6745 x = - 2,325

IV Théorème central limite :

Soient n variables indépendantes Xi, i = 1, …, n de même loi, de même espérance E (X) = m et de même écart-type  . Posons Sn= ^𝑛_𝑖=1𝑋_𝑖 = 𝑛𝑋 Alors quand n 

Sn converge en loi vers une loi normale N (nm , 𝑛 ) Autrement dit ^𝑆^𝑛^−𝑛𝑚

𝑛𝜎 = 𝑛^{𝑋 −𝑚}_𝜎 converge en loi vers Z qui suit N(0,1).

Corollaire :

Approximation d’une loi binomiale.

Soient X1,X2,……,X_n n variables aléatoires de Bernoulli de paramètre p. On a

E(Xi) = p  (Xi) = p(1p)

Alors X =



 n 1 i

Xi~ N (np, np(1p)) D’où le résultat suivant :

(9)

Soit X ~ B (n, p) Pour les grandes valeurs de n, on peut approcher la loi de X par une loi N (np, np(1p))

) p 1 ( np

np X



 ~ N (0, 1)

En pratique :

Si np (1-p) > 18, on fera l’approximation.

Ou Si n > 30 p [0,1 ; 0,9] on fera l’approximation.

Exemple :

Soit X ~ B (100 ; 0,4)

On a np (1 – p) = 100 * 0,4 * 0 ,6 = 24 > 18.

On peut approcher la loi de X par la loi normale N (40 ; 2 6)

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