Loi normale et théorème central limite
I - Loi normale ou loi de Laplace-Gauss
La variable aléatoire X suit une loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) si X prend ses valeurs dans R et si elle admet pour densité de probabilité :
m 2
x 2 1
2 e ) 1
x (
f
On dit que X est une variable aléatoire normale (ou gaussienne) de paramètres m, X~N(m,)
Fonction de répartition : Par définition.
F (x) =
x f(t)dtF (x) =
x t m
2 1
dt 2 e
1 2
Si X suit la loi N(m, ) : Espérance : E(X) = m Variance : V(X) = ²
Somme de variables aléatoires : Soit X1 ~N(m1,1)et X2 ~N(m2,2)
Si X1 et X2 sont indépendantes alors
)
²
² , m m ( N
~ X
X1 2 1 2 1 2
plus généralement
Soit Xi ~ N(mi,i) pour i = 1, …, n et Xi indépendantes. Alors 𝑛𝑖=1Xi suit la loi N( 𝑛𝑖=1𝑚𝑖 , 𝑛𝑖=1𝜎𝑖2)
II - Variable aléatoire centrée réduite Définition :
Soit X une variable aléatoire.
La variable aléatoire
) X ( E X
est la variable aléatoire centrée réduite associée à X.
Propriété :
La variable aléatoire centrée réduite associée à X a une espérance nulle et une variance égale à 1.
Démonstration :
1
² ² ) 1
² ( ) 1 ) ( (
0 )]
( ) ( 1[ )) ( 1 (
)) ( (
X X V
E V X
X E X E X
E X X E
E E X
Donc si X~N(m,) alors X m ~N(0,1)
.
La loi N (0, 1) est la loi normale centrée réduite de densité f(x) = 2
² x
2 e 1
III - Calcul des probabilités pour N(0, 1)
Soit X ~ N(0, 1) de densité f (x) = 2
² x
2 e 1
de fonction de répartition
x et2²
2 ) 1
x
(
Propriétés : Soit X ~ N(0, 1) Propriété 1 :
p (X > u) = 1 – p (X < u) = 1 - (u)
Exemple : P (U < - 0,38) = P(U > 0,38) = 1 – P (U < 0,38) = 1 – 0,648 = 0,352.
Propriété 2 :
P (X< - u) = P(X>u)=1 – P (X< u) = 1 - (u) Propriété 3 :
0 u 5 , 0 ) u (
0 u 5 , 0 ) u (
Propriété 4 :
u1 X u2
(u2) (u1) P Exemple : p ( - 0,2 < u < 1,07) = (1,07) - (- 0,2) = (1,07) – 1 + (0,2) = 0,8577 – 1 + 0,5793 = 0,437
p ( -1 < X < 1) = (1) - (-1) = (1) – 1 + (1) = 2(1) – 1 = 0,6826 Propriété 5 :
p ( 𝑋 <u) =P(-u<X<u) =2(u) – 1
a) Utilisation de la table 1 : Connaissant u on lit P(X <u)
Exemples :
P(X 1,67) = 0,9525
P(X 1,25) = 1 – P(X < 1,25) = 1 – (1,25)
= 1 – 0,8944 = 0,1056.
P(X –1,67) = (–1,67) = (X 1,67) = 1 – (1,67)
= 1 – 0,9525 = 0,0475.
p(–1 X 1) 0,68 ;
Définition :
On appelle fractile d’ordre pour une fonction de répartition , la valeur U/
(U) = c’est-à-dire P (U < U) = .
b) Utilisation de la table 2 : On connaît la probabilité, on lit les fractiles.
La table 2 donne u / P(X < u) =p
On a la probabilité p et on cherche le u.
( Dans la table 1 ( fonction de répartition )
on a u donné et la table donne P (X < u) )
Exemples : Soit X ~ N (0, 1)
- Déterminer u / p (X < u) = 0,975 u = 1,96 - Déterminer u / p (X < u) = 0,2.
0,2 < 0,5 u < 0. On lit 0,8416 donc u = - 0,8416.
- Déterminer u / p (X > u) = 0,05 u / p (X < u) = 0,95 u = 1,6449.
- Déterminer u / p (-1,16 < X < u) = 0,5.
(-1,16) = 0,123 (u) = 0,623 u = 0,3134.
c) Calculs de probabilité pour une loi N (m, ) : Si X ~ N (m, ) alors
m X
~ N (0, 1) Exemples de calcul de probabilité :
Exemple 1 :
Soit X ~ N (3, 2) On veut calculer p (X < 6,24) 1ère étape : Se ramener à une loi centrée réduite.
P (X < 6,24) = p
2 3 24 , 6 2
3
X = p
62 , 2 1
3
X .
On pose U =
2 3 X
U ~ N (0, 1).
2ème étape : On fait le calcul avec U. p (U < 1,62) = 0,9474 3ème étape : Conclusion p (X < 6,24) = 0,9474.
Exemple 2 :
Soit X ~ N (-4, 5). On veut calculer p (X < 1,65)
p (X < 1,65) = p
5 4 65 , 1 5
4
X = p (U < 1,13) = 0,8709
donc p (X < 1,65) = 0,8709.
Exemple 3 : Soit X ~ N (-3, 1)
Déterminer x / p (- 4,53 < X < x) = 0,687
P
1 3 x 1
3 X 1
3 53 ,
4 = 0,687
P ( - 1,53 < U < x + 3 ) = 0,687
( - 1,53) = 0,063
( x + 3 ) = 0,7513 x + 3 = 0,6745 x = - 2,325
IV Théorème central limite :
Soient n variables indépendantes Xi, i = 1, …, n de même loi, de même espérance E (X) = m et de même écart-type . Posons Sn= 𝑛𝑖=1𝑋𝑖 = 𝑛𝑋 Alors quand n
Sn converge en loi vers une loi normale N (nm , 𝑛 ) Autrement dit 𝑆𝑛−𝑛𝑚
𝑛𝜎 = 𝑛𝑋 −𝑚𝜎 converge en loi vers Z qui suit N(0,1).
Corollaire :
Approximation d’une loi binomiale.
Soient X1,X2,……,Xn n variables aléatoires de Bernoulli de paramètre p. On a
E(Xi) = p (Xi) = p(1p)
Alors X =
n 1 i
Xi~ N (np, np(1p)) D’où le résultat suivant :
Soit X ~ B (n, p) Pour les grandes valeurs de n, on peut approcher la loi de X par une loi N (np, np(1p))
) p 1 ( np
np X
~ N (0, 1)
En pratique :
Si np (1-p) > 18, on fera l’approximation.
Ou Si n > 30 p [0,1 ; 0,9] on fera l’approximation.
Exemple :
Soit X ~ B (100 ; 0,4)
On a np (1 – p) = 100 * 0,4 * 0 ,6 = 24 > 18.
On peut approcher la loi de X par la loi normale N (40 ; 2 6)
