Probabilités,variables aléatoires,loi binomiale, loi de poisson , loi normale, normale réduite

Variables aléatoires- Lois de probabilité

Définition : Soit un univers fini à N éventualités,  



  1; 2; 3;_i_N



N , on appelle variable aléatoire toute application X de  dans  . :

k i

X

 x

  

 où ^k



^1;2;3^N



. xiest appelé valeur de la variable aléatoire X.



X xi

 

 k^{/ (}X k⁾xi



L’ensemble des antécédents des valeurs de X inférieures ou égale à un réel x se note :



X x







k^{/ (}X k⁾x



. Conséquences : les n événements



^{X x}_{i i}



_1...nforment un système complet d’événement de 

Définition : l’ensemble des couples ( ; (x P X_i x_i)constitue la loi de probabilité de la variable aléatoire X Définir la loi de probabilité d’une expérience aléatoire, c’est :

 faire une partition de l’univers  avec les évènements constitué par les différentes issues possibles de l’expérience :  



  1; 2; 3;_i_N



; X( ) 



x x x1; 2; ;3x_ix_n



 déterminer les probabilités de chacun de ces évènements : p1, p2, … ,p_n,

 consigner ces résultats dans un tableau tel que celui-ci :

X xi x1 x2 … x_n

( _i)

P X x p1 p2 … p_n

Remarque : soit p(X = xi) = pi. De plus,

1

1

i p i i

p







 ^{= p1 + p2 + … + pn} B -Espérance et variance

Dans ce paragraphe, on considère une épreuve dont les issues sont les nombres x1, x2, …, x_n. Ces nombres sont les valeurs d’une grandeur que l’on peut noter X.

La loi de probabilité de X est alors :

valeurs possibles x1 x2 … x_n

probabilité p1 p2 … p_n

Définition 1: On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X le nombre réel, noté E(X) définie par : E(X) = x1 p1 + x2 p2 + … + x n p n ;

1

( )

i p i i i

E X ^ x p







Remarque : lorsque E(X) = 0 pour une situation de jeu on dit que le jeu est équitable

E ( X ) représente la moyenne des gains obtenus si on répète l’épreuve un grand nombre de fois . E (X ) < 0 signifie une perte si on répète l’épreuve un grand nombre de fois

E ( X ) > 0 signifie un gain si on répète l’épreuve un grand nombre de fois

Définition 2 : On appelle variance de la variable aléatoire X le nombre réel positif, noté V(X) définie par : V X( )E X( E X( ))² ;

 

^{2 2 2}

1

( ) ( ) ( ) ( ( ))

n

i i

i

V X x E X p E X E X







  

V(X) = (x1 – E(X))²  p1 + (x2 – E(X))²  p2 + … + (x_n – E(X))²  p_n.

La variance est également donnée par la formule : V(X) = x12p1 + x22p2 + … + xn2pn – E(X) ²

Démonstration :

 

^{2 2 2}

1 1 1 1

( ) ⁿ _i ( ) _i ⁿ _{i i} 2 ⁿ _{i i} ( ) ⁿ _i( ( ))

i i i i

V X x E X p x p x p E X p E X

   





 







 



V X( )E X( ²) 2 ( ( ))  E X ²( ( ))E X ² et

V X ( )  E X (

²

) ( ( ))  E X

²

Définition 3 : L’écart -type de cette loi, noté , est la racine carrée de la variance : ( )X  V X( ). Remarques : la variance et l’écart-type permettent d’estimer la dispersion des valeurs de X autour de l’espérance mathématique

 On a toujours V(X)  0 ; on peut donc calculer , c’est à dire . De plus on a toujours   0.

 ² = V(X), c’est pourquoi V(X) est souvent noté  ².

Fonction de répartition

Définition : On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X l’application F définie par :

: 0;1

( ) ( )

F

x F x P X x

 

  

 



 F(x) est la probabilité de l’événement « obtenir une valeur de X inférieure ou égale à x » Propriétés : Soit x et y deux nombres réels

 P X( x) 1 P X( x) 1 F x( ) ;  P a X(  b)P X( b)P X( a)F b( )F a( )

La fonction F est croissante

Si x x ₁ , F x( ) 0 ; si x x _n , F x( ) 1

Démonstration : P X( x)P X( x) 1 P X( x) 1 P X( x) 1 F x( )

( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) (1 ( ))

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P X b P a X b P X b P a X b P X a P X b P a X b P X b P X a F b F a

              

       

Pour tous réel a et b : si a b alors F b( )F a( ) 0 , donc F est croissante sur  ^. La représentation graphique de la fonction F est une fonction en escalier

2 3 4 5 6 7 8 9

-1 -2

p1+p2 1-pn 1

0 1

p1

x y

Exemple

xi ^{2 3 4 5 6}

( _i) P X x

1

8 1 4

1 4

1 4

1 8

1 Combinaisons

Définition 3 .On appelle combinaison de p éléments d’un ensemble E comportant n éléments (n ≥ p), toute partie de E à p éléments.

Remarque 3 Dans une combinaison, l’ordre n’intervient pas

Théorème ( admis ) le nombre de combinaisons d’ordre p d’un ensemble à n éléments est : ^{Cnp  p n p}

^! 

^n

^!  ^!

Dans un ensemble comportant n éléments il ya C_n^p façons d’en choisir p

Exercice 7 De combien de manières est -il possible d’obtenir deux cartes à . « Trèfle ». lorsqu’on prend deux cartes parmi un jeu de 32. Réponse : C₈² (il y a en tout 8 cartes à trèfle).

Exercice 8 De combien de manières est -il possible d’obtenir deux cartes . « AS ». lorsqu’on prend Deux cartes parmi un jeu de 32. Réponse : C²₄ (il y a en tout 4 as).

Exercice 9 De combien de manières est -il possible d’obtenir deux cartes « AS ». et trois cartes « Roi ».

Lorsqu’on prend cinq cartes parmi un jeu de 32. Réponse : C₄²C₄³

(Première étape : on choisit deux As : C₄² possibilités ; Deuxième étape : on choisit trois rois : C₄³ possibilités ; Ensuite c’est le principe multiplicatif).

Propriétés 1. C_n^p C_n^{n p} . 2. C_n⁰ 1 ^; C_n⁰ 1 ^; C¹_n n ^; C¹₁1 ^et C_nⁿ 1 ⁽ 0! 1 ) 3. C =C_n^p _n^p_^₁¹C_n^p_1^.

Cette dernière formule permet de construire le célèbre triangle de Pascal :

2 3 4 5 6 7 8

-1 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1

0 1

0,125

0

0 1

1

0 1 2

2 2 2

0 1 2 3

3 3 3 3

0 1 2 3 3

4 4 4 4 4

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 4

...

n n



   

      

         

           

C

C C

C C C

C C C C

C C C C C

chaque nombre du triangle s’obtient en ajoutant le nombre écrit au dessus et son voisin de gauche Formule de binôme de NEWTON

0

( )

n p n p p n p n

p

a b ^ C a b ^



 



Démonstration : ( )ⁿ ( ) ( ) ( )...( ) ( )

n fois

a b  a b    a b a b a b  a b



Le développement de ce produit donne une somme de termes de la forme a b^{p n p}

(on prend a dans p facteurs et b dans les n − p restants) , p prenant toutes les valeurs entières de 0 à n.

Or il y a p

C

n façons de choisir p facteurs parmi n , donc le coefficient dea b^{p n p est}

C

_n^p.

D’où : ^{0 0 1 1 1 1 1 1 0}

0

( ) ... ...

n p n p p n p n n p p n p n n n n

n n n n n n

p

a b C a b C a b C a b C a b C a b C a b

     



 



     

Loi binomiale B( , )n p

Définition On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve ayant deux éventualités.

l'éventualitéSavec la probabilité pet l'éventualitéSavec la probabilité 1p .

L'éventualité

S

correspondra souvent au "succès" d'une expérience,

_S

étant alors "l'échec Exemple

On jette une pièce de monnaie. Il s'agit d'une épreuve de Bernoulli, les deux éventualités sont Pi : "Pile"

et F : "Face". Notons p P( )_i  p et p F( ) 1  p. si la pièce est équilibrée, on a

1

( ) ( )

i

2

p P  p F  . On répète quatre fois, de façon indépendante, le jet de cette pièce

On peut traduire la situation par un arbre pondéré.

La probabilité d'obtenir la suite ( , , , )P P F P_{i i i} est p p  (1 p) p p³(1p)

La probabilité d'obtenir trois fois Pile sur les quatre lancers est la probabilité de l'événement :

{( , , , )P P P F_{i i i} ; ( , , , )P P F P_{i i i} ;( , , , )P F P P_{i i i} ; ( , , , )F P P P_{i i i} ] . Elle est égale à 4p³(1p).

Le nombre 4 correspond au nombre de choix des positions des trois Pi dans la séquence de quatre (ou, ce qui est identique, au nombre de choix de la position du

Fdans la séquence de quatre), c'est-à-dire C₄³

Notons X la variable aléatoire égale au nombre de "Pile" obtenus sur les quatre lancers.

On a X() = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} et on a justifié que p X( 3)C4³p³(1p) La loi de probabilité de X est alors donnée par :

k 0 1 2 3 4

P ( X = k ) C⁴⁰p⁰(1p)⁴ C₄¹p¹(1 p)³ C₄²p²(1p)² C₄³p³(1p)¹ C₄⁴p⁴(1p)⁰ Propriété

On considère un schéma de Bernoulli consistant en la répétition n fois d'une épreuve de Bernoulli pour

Pi F

Pi

Pi

Pi Pi

Pi

Pi

Pi Pi Pi Pi Pi Pi

F

F

F

F

F F

F F

F

F F F F F

Pi Pi

1er

2ème

3ième

4ième p

p

p

p

p

p p p p

p

p p

p

p 1-p

1-p 1-p

1-p

1-p

1-p

1-p 1-p

1-p 1-p 1-p 1-p 1-p 1-p

1-p p

laquelle la probabilité du succès S est p_.

Une variable aléatoire X à valeurs entières ( X(Ω) = {0, 1, 2,..., n})suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée en abrégé ( , )B n p , Soit  une épreuve aléatoire n’ayant que 2 issues possibles

Si on note X la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus sur les n répétitions, la loi de probabilité de X est donnée par : pour tout k tel que 0 k n, (P X k) C ^{k k}_np (1p)^{n k} . Définition

On dit que la loi de probabilité d'une variable aléatoire X est une loi binomiale de paramètres n et p

lorsque : - l'ensemble de ses valeurs est { 0 ; 1 ; ... ; n }

- pour tout k tel que 0 k n , (P X k) C ^{k k}_np (1p)^{n k} .Cette loi est parfois notée ( , )B n p Remarque : Des épreuves indépendantes sont des épreuves où la probabilité p de réalisation d’un événement A est la même à chaque épreuve.

Par exemple, si on effectue n tirages avec remise, on effectue n épreuves indépendantes.

Autre exemple : Si un atelier comporte n machines identiques, le fonctionnement de chaque machine doit être considéré comme une épreuve. Le fonctionnement des n machines constitue donc n épreuves indépendantes.

On dit alors que X suit la loi binomiale ( , )B n p de paramètres n et p

Remarque : les probabilités obtenues correspondent aux termes successifs de la formule du Binôme donc

 

1

C (1 ) (1 ) 1

n k k n k n

n k

p p ^ p p



    



, et on a bien

1

( ) 1

k n

k

p X k





 



Théorème : soit n et p  0 1;  . Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale ( , )B n p de paramètre n et p , alors ( )E X np ; ( )V X np(1p) ; ( ) X  np(1p)

Démonstration

0 1

( ) ^{k n} _n^{k k}(1 )^{n k k n} _n^{k k}(1 )^{n k}

k k

E X ^ kC p p ^{ } kC p p ^

 





 



 . Or , pour k0( et donc n0) ,

1¹

! ( 1)!

!( )! ( 1)!( )!

k k

n n

n n

kC k n nC

k n k k n k



   

   , on en déduit :

1 1 ( 1) ( 1) 1 1 1

1 1

1 0

( ) ^{k n} _n^{k k} (1 )^{n k i n} _n^{i i}(1 )^{n i} ( 1 )ⁿ

k i

E X np ^ C _^ p ^ p ^{  } np^{ } C _ p p ^{ } np p p ^ np

 





 



     ^.

^{2 2 2 2}

0 1

( ) ^{k n} _n^{k k}(1 )^{n k} ( ( )) ^{k n} _n^{k k}(1 )^{n k} ( )

k k

V X ^ k C p p ^ E X ^ k C p p ^ np

 





  



  ^.

2 2 1 1 1 ( 1) 2 1 1 2

1 1

0 1 0

( ) ^{k n} _n^{k k}(1 )^{n k} ( ) ^{k n} _n^{k k} (1 )^{n k} ( ) ^{i n} ( 1) _n^{i i}(1 )^{n i} ( )

k k i

V X ^ k C p p ^ np np ^ kC _^ p ^ p ^{  } np np^{ } i C _ p p ^{ } np

  





  



  



  

 

1 1

1 1 2 1 2

1 1

0 0

( ) ^{i n} _n^{i i}(1 )^{n i i n} _n^{i i}(1 )^{n i} ( ) ( 1) (( (1 ))ⁿ ( )

i i

V X np ^{ } iC _ p p ^{   } C _ p p ^{ } np np n p p p ^ np

 

 

 



 



       

V X( )np np p(   1) ( )np ²np(1 p) ( ) np ² .D’où ( )V X np(1p) 3.2 Loi de Poisson.P m( )

Définition : Une variable aléatoire X à valeurs dans  suit une loi de Poisson de paramètre m (m0), notée en abrégé ( )P m si la loi de probabilité de X est définie par : ( )

!

k m

P X k m e k

   pour tout k On l'utilise lorsque la réalisation d'un événement est assez rare et que l'on effectue l'expérience correspondante un grand nombre de fois.

Propriétés admises: Soit m^_ . Les valeurs caractéristiques d'une variable aléatoire X suivant une P(m₎ sont : E(X) = m ; ( )V X m ; σ(X) = m^.

Si n est assez grand et si p est très proche de 0 et si n p n’est pas trop grand , alors on peut approcher la loi binomiale ( , )B n p par la loi de poisson P(np_{) (} m np _).

0 1

( ) lim

! !

k N k

m m

k N k

m m

E X k e k e

k k

  

  









^{. 1 1}

0 ! 1 ! 1( 1)! 0 !

k N k N k N k

m m m m

k k k k

m m m m

k e k e me me

k k k m



 

   

   

  

  





On en déduit :

0

( ) !

m k m m

k

E X me m me e m

k

  







  ^{. 2 2 2 2}

0 1

( ) lim

! !

k N k

m m

k N k

m m

V X m e m m e m

k k

  

  





 



 ^;

Or

1 1 1 1 1 1

2

1 1 0 0 0 0 0

( 1)

! ( 1)! ! ! ! ( 1)! !

k k k k k k k

N N N N N N N

m m m m m

k k k k k k m

m m m m m m m

m e me k me k me k me

k k k k k k k

     

    

      

   

            

      

^{2 1 1 2 1}

 

²

0 ! 0 ! 0 ! 0 !

k k k k

N N N N

m m m m m

k k k k

m m m m

me me m me me e m m

k k k k

    

  

   

   

           



 

 

 

 ^{.D’où ( )V X m}

Propriété : Approximation de la loi binomiale B( , )n p par la loi de Poisson P(m)

On admet qu'une loi binomiale de paramètre net p_{telle que} n30 ; p0,1et np(1p) 10 peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre m np . (on conserve l'espérance mathématique)

Soit n ^, k  0;n^et p  0;1. On suppose que le produit npest constant . on pose m np . Le nombre k étant fixé , la quantité C p_n^{k k}(1p)^{n k} a-telle une limite lorsque n tend vers  et ptend vers 0 , puisque np est constant ?.en effet : (1 ) 1

k n k

k k n k k

n n

m m

C p p C

n n



    

      

    . Calculons la limite de 1

m n k

n

  

  

  , quand n tend vers . On sait que  ^{ln 1} 1

n k n k m

m n

n e

 

    

 

 

 

 

  .

L’approximation affine de ln(1x)au voisinage de 0 est ln(1x) x ( )x On en déduit que : ln 1 m m m

n n  n

     

   

   . D’où



^{n k}



^{ln 1} ^m_n^^{ }



^{n k}



^^_n^{m }  ^m_n ^^{  }



^{n k}



^^_n^m^{ }  ¹_n où  désigne une fonction continue en 0 et telle que (0) 0 .

On sait que

lim 1

n

n k n



  . On en déduit : que ^lim

 

^{ln 1}

n

n k m m

n



 

    

  . La continuité de la fonction exponentielle permet d’obtenir  ^{ln 1}

lim

n k m m

n m

n e e

 

    

 

! ( 1)( 2)...( ( 1))

!( )! !

k k k

nk k k

m n m n n n n k m

C n k n k n n k

        

  

  , le produit (n n1)(n2)...(n(k1)) est

Constitué de k facteurs . on a donc ( 1)( 2)...( ( 1)) 1 2

1 1 1 ... 1

k

n n n n k k

n n n

n

    

            

    

comme

lim 1 1

n

k n



  

 

  , pour tout entier m fixé , on a : lim 1

!

k n k k

k m

n n

m m m

C e

n n k







   

 

   

    Variable aléatoire continue

Définition Soit un univers

On dit qu’une variable aléatoire est continue si l’ensemble des valeurs de X est un intervalle de  ^. Fonction de répartition d’une variable aléatoire continue

Définition : On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire X l’application F définie par :

: 0;1

( ) ( )

F

x F x P X x

   

 



 F(x) est la probabilité de l’événement « obtenir une valeur de X inférieure ou égale à x » Propriétés : Soit x , a et b trois nombres réels

 P X( x) 1 P X( x) 1 F x( ) ^et P a X(  b)P X( b)P X( a)F b( )F a( )

La fonction F est croissante



_x^lim_^{F x( ) 0 et} _x

^lim

_^{F x}

^{( ) 1}

^



La fonction F est continue sur  Démonstration

 P X( x)P X( x) 1 P X( x) 1 P X( x) 1 F x( )^. 

( ) ( ) ( ) 1; ( ) ( ) (1 ( ))

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P X b P a X b P X b P a X b P X a P X b P a X b P X b P X a F b F a

              

       

Pour tous réel a et b : si a b alors F b( )F a( ) 0 , donc F est croissante sur  ^.

 Soit a I ;

lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x a x a x a

x a x a x a

F x P X x P X a P a X x

P X a P X a F a

  

  

 

        

    

car P X( a) 0 .

De même

lim ( ) ( )

x ax a

F x F a



 donc la fonction F est continue sur  ^.

Remarque : a  R et h 0, ( X = a)  (a − h  X ≤ a + h) . Donc : a  R

P(X = a)  P (a − h < X  a + h) = F(a + h) − F(a − h). F étant dérivable est continue et donc ^{lim (}_h0^{F a h )}_h^{lim (}_0^{F a h )F a( )}. D’où : a  R : P(X = a) = 0

Interprétation géométrique : F(t) est l’aire de la surface délimitée par la courbe représentative de la densité f, l’axe des abscisses et la droite d’équation x = t.

Densité de probabilité

Définition Une fonction f définie sur  est une densité de probabilité si :

 Pour tout réel x : f x( ) 0 et f est continue sauf éventuellement en un nombre finie de points ;

 f x dx( ) 1







 ^. Propriétés

Soit X une variable aléatoire continue et F la fonction de répartition de X

 La dérivée de F sur est une densité de probabilité de X est f

 La fonction F est la primitive de f suivante ( ) ( )

x

F x f x dx







Valeurs caractéristiques d’une variable aléatoire continue Espérance mathématique ; variance et écart-type Définition : l’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue X est le nombre réel noté :

( )E X ^xf x dx( )





 ^.

On appelle variance de X le nombre réel noté V X( )définie par:

2

2 2 2

( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )

V X E X E X x f x dx E X





 

  



  

L’écart-type de X , noté ( )X , est la racine carrée de la variance : ( ) X  V X( ). Loi normale

Définition Soit m ^{et }^*

La loi de probabilité d’une variable aléatoire continue X est la loi normale ou loi de Laplace Gauss De paramètres m_et , notée N^{( , )m } , si la densité de probabilité g est définie par :

1 2

1 2

( ) 2

x m

g x e ^

 

  

  

 

 .

Conséquence :

Définition : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale N^{( , )m } .

la fonction de répartition F de X est donnée par l’intégrale : ( ) ( ) ( )

t

F x P X x g t dt



  



Valeurs caractéristiques de la loi normale N^{( , )m }

Propriété : si une variable aléatoire X suit la loi normale N^{( , )m } , alors : E(X) = m _{; V X( )}² ; σ(X) =  . Loi normale centrée réduite

Définition : Si les paramètres de la loi normale sont respectivement 0 et 1 , alors on dit que la loi est centrée réduite , on la note N(0 ,1)

Conséquence : la densité de probabilité associée à la normale N^{(0 ,1)}est la fonction f définie par :

2

1 2

( ) 2

x

f x e



  .

Propriétés

 f est une fonction paire sur  ( pour tout réel x , f( x) f x( ) )

 la représentation graphique de f , C f est symétrique par rapport à l’axe (yy') . Théorème : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale N( , )m  .

En effectuant le changement de variable suivant : X m

T 

  on obtient une nouvelle Variable aléatoire , notée T, qui suit la loi normale centrée réduite N(0 ,1)

Démonstration

X suit la loi N^{( , )m } donc sa densité de probabilité est la fonction g définie par :

1 2

1 2

( ) 2

x m

g x e ^

 

  

  

 

 et on a

1 2

1 2

( ) ( )

2

t t m

F x P X x e ^ dt

 

  

  

 



  



Faisons le changement d’intégration t m u 

  . On obtient dtdu

Lorsque t tend vers , u tend , lorsque t tend vers x , u tend vers x m

u 

 

2

2 2

1 1 1

2 2 2

1 1 1

( ) ( )

2 2 2

x m x m

t t m u u

F x P X x e ^ dt ^ e du ^ e du

    

 

  

    

 

  

  











Si on pose maintenant X m

T 

  soit x m

t 

  pour tout réel x il vient :

1 2

1 2

( ) ( )

2

t u

F t P T t e dt

 





  



La densité de probabilité de T est donc la fonction f définie par : ^{( ) 1 ² / 2} 2

f x e x



  .

Conséquence : La loi normale N( , )m  a deux paramètres (comme la loi binomiale) mais le changement de variable X m

T 

  permet de travailler avec la loi normale centrée réduite N(0 ,1), dont la table est fournie dans la fiche formulaire autorisée .

2

2 2

1 1 1

2 2 2

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

x m t m x u x u

T X m

F x P T x P x P X x m e dt e du e du

 

 

     

  

     

  

        











Fonction de répartition associée à la loi normale centrée réduite Définition

Soit T la variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite N(0 ,1) La fonction de répartition ^{( )t} de T est donnée par l’intégrale

1 2

1 2

( ) ( )

2

t x

t P T t e dx







   



^.

La table de la loi normale N(0 ,1)donne les valeurs de ^( t) pour t  [0,3].

(2, 47) 0,9932

( 2,47)

P X    _. P X( 2,47) 1 (2, 47) 0,0068 , On utilise la symétrie de la courbe de la fonction (P X  1, 23)P X( 1,23) 1 P T( 1, 23)



1(1,23) 1 0,8907 0,1093  

APPROXIMATION

Approximation de la loi binomiale ( , )B n p par la loi de Poisson P(m) ou par la loi normale N^{( , )m }

Pour n grand (n > 30) et p voisin de 0 tel que np(1p) 10 , on peut approcher la loi binomiale ( , )B n p par la loi de Poisson P(m) en prenant m = n p.

Pour n grand (n50) et np(1 p) 10 , on peut approcher la loi binomiale B

( , )

n p par la loi normale N^{( , )m } en prenant m np et   np(1p)

Propriétés ( t) 1 ( )t

     en particulier ( 0 ) ¹

  2 ; Pr(T t  ) 1 ( )t ; Pr(a T b  ) Pr( a T b  ) ( )b  ( )a

Pr( t T) Pr(    t T t) Pr(   t T t) ( )t (t) 2 ( ) 1  t 

1 2

1 2

( ) ( )

2

t x

t P T t e dx



 



     



^{. On pose u x} ce qui permet d’obtenir =

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 ( )

2 2 2 2 2

t u u u u t u

t t

e du e du e du e du e du t

    

  

    

  

        

    

Exercice

Soit X la variable qui suit la loi normale N( , )m  où m2,09et  0,13 Calculer (P X 2,35) P(1,895X 2,285)

( 2,35) 2,09 2,35 2,09 0,26

( ) ( ) ( 2) 0,9772

0,13 0,13 0,13

P X X

P P T P T

         

1,895 2,09 2,09 2,35 2,09 0,195 0,195

(1,895 2,285) ( ) ( ) ( 0,15 0,15)

0,13 0,13 0,13 0,13 0,13

( 0,15) ( 0,15) ( 0,15) (1 ( 0,15)) 2 ( 0,15) 1

2 0,9332 1 0,8664

P X P X P T P T

P T P T P T P T P T

   

           

            

   

On pourra retenir les résultats suivants :

( ) ( 1 1) 2 (1) 1 0, 68 68%

p m  X  m   p       T 

( 2 2 ) ( 2 2) 2 (2) 1 0,95 95%

p m  X  m   p   T     

( 3 3 ) ( 3 3) 2 (3) 1 0,997 99, 7%

p m  X  m   p   T      Propriétés

1. (p X a)p X( a) ( )a

2. (p a X b) p a X(  b) ( )b  ( )a 3. (p X a) p X( a)     ( a) 1 ( )a

4. (p a X  a) p a X(  a) 2 ( ) 1 (  a  a0)

Loi normale de moyenne 0 et d'écart type 1 p(-1,5<X<1,5)=0,866386

P(t)

2 3

-1 -2

-3

0,08 0,12 0,16 0,2 0,24 0,28 0,32 0,36 0,4

0 1

0,04 y

p(a<X<b)=b _a Loi normale de moyenne 0 et d'écart type 1 p(X<-1,5)=0,0668069



2 3

-1 -2

-3

0,08 0,12 0,16 0,2 0,24 0,28 0,32 0,36 0,4

-0,04

0 1

0,04

x y

Loi normale de moyenne 0 et d'écart type 1 p(X<1,24)=0,892513



2 3

-1 -2

-3

0,08 0,12 0,16 0,2 0,24 0,28 0,32 0,36 0,4

0 1

0,04

Loi normale de moyenne 0 et d'écart type 1 p(X>1,23)=0,109348



2 3

-1 -2 -3

0,08 0,12 0,16 0,2 0,24 0,28 0,32 0,36 0,4

0 1

0,04

x y

p(X > a)= a ) = a

Loi binomiale

Exemple : On lance plusieurs fois un dé et on s’intéresse au nombre d’apparitions du six

On lance le dé deux fois

Probabilités

développement de ( a + b) ²

a ² + 2 ab + b ²

S S

(1/6) ²

S (1/6) (5/6)

S

S

(1/6) (5/6)

S (5/6) ²

La loi de probabilité de la variable X qui compte le nombre de succès est : L’espérance mathématique E (X) = 2  1

6 = 1 3 La variance est V(X) = 2  1

6  5 6 = 5

18

On lance le dé trois fois

Probabilités développement de ( a + b) ³

a ³ + 3 a ²b + 3 ab ² + b ³

S S

(1/6) ³

S

^S (1/6) ²  (5/6)

S

(1/6) ²  (5/6)

Loi normale de moyenne 0 et d'écart type 1 p(X<1,25)=0,894351



2 3

-1 -2

-3

0,08 0,12 0,16 0,2 0,24 0,28 0,32 0,36

-0,04

0 1

0,04

x y

p(X<a) =(a)

xi

0 1 2

p( X = xi

) 25 36

5 18

1

36

S S (1/6)  (5/6) ² S

S S

(1/6) ²  (5/6)

S (1/6)  (5/6) ²

S

S

(1/6)  (5/6) ²

S (5/6) ³

La loi de probabilité de la variable X qui compte le nombre de succès est : L’espérance mathématique E (X) = 3  1

6 = 1 2 La variance est V(X) = 3  1

6  5 6 = 5

12 .

xi

0 1 2 3

p( X = xi

) 125 216

25 72

5 72

1 216

Pi F

Pi

Pi

Pi Pi

Pi

Pi

Pi Pi Pi Pi Pi Pi

F

F

F

F

F F

F F

F

F F F F F

Pi Pi

1er

2ème

3ième

4ième p

p

p

p

p

p p p p

p

p p

p

p 1-p

1-p 1-p

1-p

1-p

1-p

1-p 1-p 1-p

1-p 1-p 1-p 1-p 1-p

1-p p

p 1-p p 1-p p 1-pp p p

Pi F Pi F Pi F Pi1-p 1-p 1-p 1-p 1-p 1-p 1-p 1-p 1-p 1-p 1-p 1-pFPi FPiFPiF PiFPi FPiFPiFPiFPi FPi FPi F Pi 1-pF

5ième

p p p p p p p p p