Variables aléatoires Loi binomiale et loi de Poisson

Cours de mathématiques

Chapitre 9

Variables aléatoires

Loi binomiale et loi de Poisson

Aymar de Saint-Seine

Année scolaire 2011–2012

1.

Variables aléatoires

Définition 1 : Variable aléatoire

Soit

Ω

^{l'ensemble des} éventualités d'une expériene aléatoire.

On appelle variable aléatoire toute fontion

X

^de

Ω

^{dans R qui, à tout éventu-}

alités de

Ω

^{, fait}orrespondre un nombre réel

x

^.

Exemple : On lane deux dés à quatre faes(tétraèdre régulier). Les éventualités sont :

P P P P

P P P P P

de 2

de 1

1 2 3 4

1

(1; 1) (2; 1) (3; 1) (4; 1)

2

(1; 2) (2; 2) (3; 2) (4; 2)

3

(1; 3) (2; 3) (3; 3) (4; 3)

4

(1; 4) (2; 4) (3; 4) (4; 4)

A ette expériene aléatoire,onpeut assoier diérentes variables aléatoires:

• X

^{qui àune} éventualité faitorrespondre le maximum des deux valeurs obtenues.

• Y

^{qui àune} éventualité fait orrespondrele produit des deux valeurs obtenues.

• Z

^{qui à une} éventualité faitorrespondrela quotient de la premiervaleur par ladeux- ième valeur.

Pour lavariablealéatoire

Z

^{, onobtient lestableaux de valeurssuivants :}

P P P P

P P P P

P

de 2

de 1

1 2 3 4

1

1 2 3 4

2

0.5 1 1.5 2

3

0 . 3 0 . 6 1 1 . 3

4

0.25 0.5 0.75 1

Lavariablealéatoire

Z

^fait orrespondre

2

3

^à l'eventualité

(2; 3)

^{. On lit}

Z ((2; 3)) = 2 3

^.

C'est bien une fontion quia un élémentde

Ω

^fait orrespondre un nombre.

Définition 2 : Loi de probabilité

Laloi deprobabilitéd'unevariablealéatoire

X

^{estlafontionquiàhaquevaleur}

x

^{de la variable aléatoire fait} orrespondre sa probabilité.

Généralement, on donne son tableau de valeur pour l'expliiter.

Exemple : la probabilitéde lavaleur

2 3

^est

1

16

^{. On obtientle tableaude valeur suivant:}

z i

^{1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1 2/3 3/2 2 3 4}

p(Z = z i )

^{1/16 1/16 2/16 1/16 1/16 4/16 1/16 1/16 2/16 1/16 1/16}

Définition 3 : Espérance,Variance et écart-type d’une loi de probabilité

On onsidère une variable aléatoire

X

^prenant

m

^valeurs

x i

^{ave les} probabilités

p i = p ( X = x i )

^.

L'esperane de

X

^{est :}

E(x) = p 1 x 1 + p 2 x 2 + · · · + p m x m =

i=m

X

i=1

p i x i .

La variane de

X

^{est :}

V (x) = p 1 (x 1 − E(X)) ² +p 2 (x 2 − E(X)) ² + · · · +p ^m (x ^m − E(X )) ² = E(X ² ) − E (X) ² .

L'éart type de

X

^est

σ ( x ) = p V ( X ) .

Remarque : L'espérane indique le degré d'équité d'un jeu de hasard puiqu'elle est égale

à lasommedes gains (etdes pertes)pondérés parlaprobabilité du gain(ou de laperte).

La variane aratérise la dispersion d'un éhantillon ou d'une population puisqu'elle

umuleles éartsde haque valeur ave la moyenne.

Exemple :

Pour laloi de probabilité de

Z

^{,on obtient :}

E ( Z ) = 1

4 × 1 16 + 1

3 × 1 16 + 1

2 × 2

16 + · · · + 4 × 1

16 = 1 , 26

Pour alulerla variane, ilfaut alulerauparavant

E ( Z ² )

^:

z ² i

^{1/16 1/9 1/4 4/9 9/16 1 4/9 9/4 4 9 16}

p ( Z = z ² i )

^{1/16 1/16 2/16 1/16 1/16 4/16 1/16 1/16 2/16 1/16 1/16}

On adon

E(Z ² ) = 1 16 × 1

16 + 1 9 × 1

16 + · · · + 16 × 1

16 = 2, 58 V ( Z ) = E ( Z ² ) − E ( Z ) ² = 2 , 58 − 1 , 26 ² = 1 , 32

^et

σ ( Z ) = √

1 , 32 = 1 , 15

^.

Remarque : L'utilisationde laalulatrie permet de gagner beauoup de temps.

2.

Fontion de répartition

On regardetoujours lavariable aléatoire

Z

^{,mais onherhe désormais à assoier à toute}

valeurréelle

z

^la probabilitéd'obtenir un tirage inférieurou égal à

z

^.

Par exemple, la probabilité que

Z 6 2

3

^est

p ( Z 6 2

3 ) = 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 4 + 1

16 =

9 16

^.

De même, onobtient

p ( Z 6 1 , 4) = p ( Z 6 2 3 ) = 9

16

puisqu'auune valeur entre

2

3

^et

1 , 4

n'est prise par

Z

^.

Formellement,ela onduit àla dénition :

Définition 4 : Fonction de répartition

La fontion de répartition d'une variable aléatoire

X

^{est la fontion qui à tout}

réel

x

^assoie

F (x) = P [X 6 x].

Exemple : Pour lavariable aléatoire

Z

^{,on obtient letableau de valeur suivant :}

z i

^{0 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1 2/3 3/2 2 3 4}

F (z) = p(z 6 z i )

^{0 1/16 1/16 2/16 1/16 1/16 4/16 1/16 1/16 2/16 1/16 1/16}

Grpahiquement,onobtient :

1

1 2 3 4 5

b b b b b b b b b b b

Théorème 1 :

La fontion de répartition possède lespropriétés suivantes :

• F

^{est roissante;}

• lim

x→−∞ F ( x ) = 0

^;

• lim

x→ + ∞

F X (x) = 1

^.

3. Loi binomiale

3.1. Épreuve de Bernoulli

Définition 5 :

Soit

p

^{un réeltel que}

0 6 p 6 1

^.

Une expériene de Bernoulli de paramètre

p

^{est une expériene aléatoire à}

deux issues appelées suès (de probabilité

p

^{) et éhe de} probabilité

1 − p

^.

Théorème 2 :

Soit

X

^{la variable aléatoire dénie sur}

{ 0 ; 1 }

^par

P ( X = 1) = p

^et

P ( X = 0) = 1 − P (X = 1) = 1 − p

^{. L'espérane}mathématique de

X

^est

E(X) = p

^{. Lavariane}

de

X

^est

V (X) = p(1 − p)

^.

Démonstration :

E(X) = P i=2

i=1 p i x i = p × 1 + (1 − p) × 0 = p.

E(X ² ) = P i=2

i=1 p i x i = p × 1 ² + (1 − p) × 0 ² = p.

V (X) = E(X ² ) − E(X) ² = p − p ² = p(1 − p)

^.

σ(X) = p

V (X) = p

p(1 − p)

^.

3.2.

Shéma de Bernoulli

Définition 6 :

Soit

p

^{un réeltel que}

0 6 p 6 1

^et

n

^{un entier naturel non nul.}

Un shéma de Bernoulli de paramètre

(n; p)

^{onsiste en la suession de}

n

épreuves de Bernoulli indépendantes et de même paramètre

p

^.

3.3.

Loi binomiale

Théorème 3 :

Soit une expériene aléatoire suivant le shéma de Bernoulli de paramètre

(n; p)

^.

Soit

X

^{lavariablealéatoireégaleaunombredesuèsobtenusauboutdes}

n

^épreuves

répétées onstituant leshéma. La loi de

X

^{est dénie par}

P ( X = k ) = C n ^k p ^k (1 − p ) ^n−k

où

k

^{est un entier tel que}

0 6 k 6 n

^.

Définition 7 :

Aveles notationspréédentes, ondit que

X

^{suit laloibinomiale de paramètre}

(n; p)

^.

Théorème 4 :

Si

X

^{suit laloi binmialede paramètre}

( n ; p )

^{, alors}

E(X) = np ; V (X) = np(1 − p) ; σ(X) = p

np(1 − p).

4.

Loi de Poisson

Définition 8 :

Une variable aléatoire suit la loi de Poisson

P ( λ )

^{de paramètre positif}

λ

lorsque sa loi de probabilité est donnée par la formule

P (X = k) = e ^−λ λ ^k k ! ,

pour tout entier naturel

k

^.

Remarque :

•

^{Ce typede loiintervientdansla}modélisationd'événementsoùlefuturest indépendant du passé. Elle est notamment utilisée dans l'étude des les d'attentes, des pannes de

mahines, des appels téléphoniques à un standard, de la mortalité, de la gestion des

stoks ...

•

^{Leformulairedonnelesvaleurs numériquesdes} probabilitésave laloide Poisson pour plusieursvaleurs de

k

^et

λ

^.

Théorème 5 :

Si

X

^{est une variablealéatoire suivant laloi dePoisson}

P (λ)

^{de paramètre}

λ

^alors

E(X) = λ ; V (X) = λ ; σ(X) = √

λ.

5.

Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson

Théorème 6 :

On admet que si

n

^{est grand,}

p

^{prohe de}

0

^et

np

^{pas trop grand, alors}

laloibinomiale

B (n, p)

^{peut être approhéepar laloide Poisson}

P (λ)

^deparamètre

λ = np

^.

Remarque : Lesonditions d'approximationd'uneloibinomialeparune loide Poisson ne

sont pas à apprendre. Il faut par ontre se souvenir que dans le as d'une telle approxi-

mation, leparamètre de la loide Poisson est

np

^.

6. Exeries

6.1.

Variable aléatoire

9.1

Unemahine remplitautomatiquementdes sahets en mélangeant deux produitsA et B. Dans haque sahet, pour le produit A, lamahine introduit 50grammes ave une

probabilité de 0,8ou51grammesave une probabilitéde 0,2etindépendammentpour le

produit B elleintroduit 50grammesave une probabilité de 0,6ou51grammesave une

probabilité de 0,4.

1

. Quellessontlesmasses possibles

X

^{d'unsahet? Établiretprésenter sousformede}

tableau laloide probabilité de

X

^.

2

. Quelle est la probabilité pour qu'un sahet ontienne auplus 101 grammes?

3

. Calulerl'espérane mathématiquede

X

^.

4

. Les sahets sont vendus par groupes de deux, la onstitution des paires étant équiprobable. Caluler laprobabilité pour qu'un groupe de deux sahets ontienne

202 grammes.

9.2

Uneentrepriseutilisedesmahinesde typeMonstituées haunede deux éléments E1etE2.Ladéfetuositéd'un seuldes deux élémentsE1etE2sutàmettrelamahine

hors servie etonexlut toute autreéventualité de panne.

Soient

A1

^et

A2

^{les deux événements :}

A 1

^{: l'élément E1tombe en panne;}

A2

^{: l'élément E2tombe en panne.}

On suppose que

A1

^et

A2

^{sontdeux événements}indépendantsde probabilitésrespetives

p 1 = P (A1) = 0, 08

^et

p 2 = P (A2) = 0, 05

^.

1

. Caluler la probabilité

s

^{pour que les deux éléments soient} simultanément hors servie.

2

. Calulerla probabilité

p

^{pour que lamahine M soiten panne.}

3

. On note

X

^{la variable aléatoireégale aunombre d'élémentshors servie.}

a

. Déterminerla loide probabilité de

X

^.

b

. Vérier quel'espérane mathématiquede

X

^{est égale à0,13.}

9.3

Deux grossistes produisent des bulbesde tulipes :

•

^{le premier,des bulbesà eurs rouges dont 90% donnent une eur;}

•

^{le seond, des bulbes àeurs jaunes dont 80% donnent une eur.}

Un hortiulteur ahète 70% des bulbes qu'il ultive au premier grossiste et le reste au

seond. Un bulbe de tulipe donne au plus une eur. L'hortiulteur plante un bulbe pris

au hasard.On notera :

G

^: l'événement le bulbe provient du premier grossiste;

G

^: l'événement le bulbe provient du seond grossiste;

F

^: l'événement le bulbe donne une eur.

1

. Déterminer lesprobabilités des événements suivants :

a

. obtenirune eur rouge;

b

. obtenirune eur jaune;

c

. ne pas obtenirde eur.

2

. L'hortiulteurgagne0,8eurospareurrougeobtenueet1eurospareurjaune.Soit

X

^{lavariable aléatoireégale augain de} l'hortiulteurpar bulbeplanté. Déterminer

laloide probabilité de

X

^{etson espérane}mathématique.Quelleest l'espéranede gain de l'hortiulteurs'ilommande 10000 bulbes?

9.4

Dansunesalledejeuxunappareil(onnusouslenomdeBanditmanhot)omporte quatre roues, haune portant à sa périphérie huit images de fruits diérents : ananas,

bananes, erises,dattes, fraises, groseilles,poires,raisins.

Une mise de 1 euro délenhe le fontionnement de l'appareil pour une partie. Chaune

des quatre roues ahe au hasard dans une fenêtre un de es fruits. On admettra que

tous les événements élémentaires sont équiprobables.

1

. Calulerla probabilité des événements suivants :

E

^{: on obtient quatre fruitsidentiques;}

F

^{: on obtienttrois fruitsidentiques et trois seulement;}

G

^{: on obtientquatre fruitsdistints.}

2

. Certains résultats permettent de gagner de l'argent :

•

^{50euros pour quatre fruitsidentiques;}

•

^{5 eurospour trois fruitsidentiques;}

•

^{1 euro pour quatre fruitsdistints;}

•

^{0 euro pour les autresrésultats.}

Soit

X

^{la variablealéatoire quià haque résultat assoiele gain indiqué i-dessus.}

a

. Quelleest laprobabilité de l'événement obtenirun gain non nul?

b

. Déterminerl'espérane mathématiquede

X

^,notée

E ( X )

^.

9.5

Une urne ontient 3 boules vertes portantle numéro 0, deux boules rouges portant

le numéro 5 et une boule noire portant le numéro

a

⁽

a

^{est un entier naturel non nul,}

diérent de 5 et de 10). Toutes les boules sont indisernables autouher. Un joueur tire

simultanémenttrois boules de l'urne.

1

. Quelle est la probabilité pour qu'iltire :

a

. trois boules de lamême ouleur?

b

. trois boules de ouleurs diérentes?

c

. deux bouleset deux seulement de la même ouleur?

2

. Lejoueur reçoit, en euros,lasomme desnumérosmarqués sur lesboules tirées.Les gains possibles du joueur sont don :

0; 5; 10; a; 5 + a; 10 + a.

a

. Soit

X

^{lavariablealéatoireégaleaugain du joueur, déterminerlaloi de prob-}

abilitéde

X

^.

b

. Calulerl'espéranemathématique de

X

^{en fontionde}

a

^.

c

. Caluler

a

^{pour quel'espérane de gain du joueur soit de 20.}

1

. On hoisit trois boules indisernables simultanément. Les tirages sont don non ordonnésetsans répétition.C'estdonuneombinaisonde3élémentshoisisparmi

6. Il y a

C ₆ ³ = 20

^{tirages possibles.}

a

. Ilyauneseulepossibilitéd'avoirtroisboulesdemêmeouleur(lestroisvertes).

La probabilité est don de

1 20

^.

b

. Pour avoirtroisboules de ouleurs diérentes, il fautla boule noire, une boule rouge (2 hoix possibles) et une boule verte (3 hoix possibles). Il y a don

ombinaisons possibleset la probabilité est de

6 20

^.

c

. Soit on a les deux boules rouges et une autre ouleur ensuite (4 hoix pour ette derniere boule) soit on hoisit 2 boules vertes parmi les trois (

C ₃ ² = 3

ombinaisonspossibles) et une autre ouleur (3 hoix possibles). La probabilité

est don de

4 + 3 × 3 20 = 13

20

On remarque que la somme des proba trouvées fait 1, e qui est ohérent puisque

l'on a onsidérer toutes les issues possibles.

2

.

a

. Le tableau suivant présente la loi de probabilité de

X

^{. La ligne} intermédiaire

indique les ombinaisons realisant la valeur

x i

^{. La} probabilité est obtenue en dénombrant lesas favorables à l'aide de ombinaison.

x i

^{0 5 10}

a a

⁺⁵

a + 10

Combinaison V-V-V R-V-V R-R-V N-V-V N-R-V N-R-R

P (X = x i ) 1 20

6 20

3 20

3 20

6 20

1

20

b

. l'esperane est

E(X) = X p i x i

= 0 × 1

20 + 5 × 6

20 + · · · + ( a + 10) × 1 20

= 0 × 1 + 5 × 6 + 10 × 3 + a × 3 + ( a + 5) × 6 + ( a + 10) × 1 20

= 100 + 10 a 20

c

. Le gain moyen du joueur est de 20 siet seulement si l'esperane du jeu est de

20, 'est à dire :

100 + 10 a 20 = 20 100 + 10a = 400

10a = 300 a = 30

9.6

Un établissement est omposé de deux sas, notés 1 et2, et de six salles de travail, notées A, B, C, D, E et F. Lesommuniations entre es diérentes salles se font par le

moyen de

12

^portes représentées par le shéma suivant :

Sas 2

Sas 1

A B C

D E

F

On remarquera queles salles B et Ene ommuniquentpas diretement.

•

^{Un robot, rangé dans le sas 1, est programmé pour nettoyer exatement trois salles}

diérentes parmi lessalles A, B, C, D, E etF.

•

^{Le robotommene toujours son parours par l'une des salles A, B ouC.}

•

^{Dès que lerobot entre dans une salle, il lanettoie} systématiquement.

•

^{Il lui est impossible de franhirla mêmeporte plus d'une fois oude nettoyer deux fois}

la mêmesalle.

•

^{Une foisles trois salles nettoyées, lerobotressort :}

⋄

^{soitpar le sas1;}

⋄

^{soit par le sas 2. Dans e as, il retourne plus tard dans le sas 1 par un ouloir non}

représenté sur leshéma.

On appelletrajetunesuiteordonnée de3sallesonstituantunparours possiblepour

le robot.

Exemples :

•

^{ABC et BCD sont des trajets.}

•

^{CBA et ABC sontdeux trajets diérents.}

•

^{ABE n'est pas un trajet (les salles B et Ene} ommuniquent pas diretement).

•

^{DEF n'est pas un trajet (lerobotne peut pas ommenerpar la salle D).}

1

. Déterminer lessix trajets possibles (on pourra s'aider d'un arbre).

Dans toute lasuite, on admetque lessix trajetsobtenussont équiprobables.

2

.

a

. Caluler la probabilité

p 1

^de l'évènement la salle E est la troisième salle nettoyée par lerobot.

b

. Calulerla probabilité

p 2

^de l'évènement le robot sort par le sas2.

3

. Le tableau suivant donne le temps de nettoyage du robot dans haune des salles en minutes :

Salles A B C D E F

Temps de

nettoyage du

robot

20min 24min 30min 14min 22 min 14 min

On désigne par X la variable aléatoire qui, à haque trajet, assoie le temps de

nettoyage des

3

^{salles exprimé en minutes.}

a

. Déterminerles valeurs prises par lavariablealéatoireX.

b

. Déterminerla loide probabilité de X.

c

. Calulerl'espéraneE(X)delavariablealéatoireX.Quereprésenteenombre?

d

. Calulerlaprobabilité

p 3

^de l'évènement leroboteetue lenettoyage des

3

salles en moins de

60

^minutes?

4

. On appelle

σ

^{(X) l'éarttype de la variable aléatoireX.}

a

. Déterminerla valeur arrondieau entième de

σ

^(X)

b

. Le roboteetue un parours par jour,

7

^{jours sur}

7

^{. Soit}

n

^{un entier naturel}

nonnul.Onadmetqu'ilestaeptabled'utiliserlerobotdurant

n

^joursd'alée

sans révision si lenombre :

n ×

^E

(

^X

) + 1, 5 × σ(

^X

) × √ n

est inférieur à

500

^{heures. Est-ilaeptable de ne faire réviser le robotqu'une}

fois par an?

9.7

Le personnage virtuel d'un jeu életronique doit franhir un torrent en sautant de roher en roher.

Le torrent seprésente de lamanièresuivante(les disques R

1

^{, R}

2

^{,..., R}

17

^,R

18

^,représen-

tent lesrohers) :

A

R

1

^R

8

R

2

^R

9

^R

10

^R

11

R

3

^R

4

^R

5

^R

12

^R

13

R

6

^R

14

^R

15

R R

R

R RIVE

9

Le personnage virtuelpart de A pour aller en B. Il ne peut hoisir quelestrajetsmatéri-

alisés par des pointillésetavaneruniquement dansle sens des èhes. On appellepar-

ours une suite ordonnée de lettres représentant un trajet possible.

Par exemple :AR

1

^R

2

^R

3

^R

6

^R

7

^{B est un parours qui néessite}

6

^bonds.

Toute probabilité demandée sera donnée sous forme de fration.

1

. Déterminer lessix parours possibles.

2

. Le joueur hoisit auhasard un parours. On admetque lesdiérents parours sont équiprobables.

a

. Quelleest laprobabilité

p 1

^de l'évènementle personnage virtuelpasse par le

roher R

7

^?

b

. Quelleest laprobabilité

p 2

^de l'évènementle personnage virtuelpasse par le

roher R

14

^?

3

. Chaque bond du personnage virtuel néessite 2 seondes.

On noteXlavariablealéatoirequi,àhaque parours,assoiesaduréeenseondes.

a

. Déterminerles valeurs prises par lavariablealéatoireX.

b

. Donner la loide probabilité de la variable aléatoireX.

c

. Calulerl'espéranemathématique E(X) de lavariablealéatoire X.

4

. Quelle devrait être la durée d'un bond du personnage virtuel pour que la durée moyenne d'un parours soitégale à 10seondes?

6.2.

Loi binomiale

9.8

On s'intéresse aux inq expérienes aléatoires dérites i-dessous et aux variables qui y sont dénies.

1

. Un voyageur prend le train haque jour de travail. Le train arrive en retard à la gare de destinationave une probabilité

p = 0, 27

^{.On note}

X 1

^{lavariablealéatoire}

assoiant àune semaine de travail de 5 joursle nombre de retards du train.

2

. Une personne joue aujeu de artes suivant. Il tire une arte d'un jeu de 52 artes.

S'il obtient une gure (valet, dame ou roi), il gagne 15 euros, sinon il en perd 5.Il

remet ensuitelaarte tirée dansle paquet.Lapartie est terminée quand ila joué6

fois. On note

X 2

^{la variablealéatoireassoiantà haque partie omplète legain du}

joueur.

3

. Une entreprisede fabriationd'airbags pour automobilesteste un éhantillonde sa prodution.Unoussintestén'estplusutilisableetn'estpasremisdansl'éhantillon.

Les tests sont eetués sur un lot de 200 airbags, dont 4 sont défetueux. On note

X 3

^{lenombre de oussinsdéfetueux parmi une série de 20 test suessifs.}

4

. Danslarue,un saltimbanquepropose auxpassantsde joueraufameuxjeudu palet ahé. Un paletest plaé sous un gobelet opaque retourné parmitrois. Auours de

manipulationsrapideset omplexes, lesaltimbanquedéplae(ou ne déplaepas) le

paletdans unautre gobelet.Al'issuedes manipulations,lejoueur doittrouversous

quelgobeletsetrouvelepalet. S'illetrouve,ilgagne40euros.Leprixd'insription

pour un oup est 15 euros. On suppose qu'il est tellement diile de suivre les

manipulationsdu saltimbanqueque lehoixsefaitauhasardetquehaque gobelet

a autant de hanes d'être hoisi. On note

X 4

^{le gain algébrique moyen que peut}

espérer le saltimbanqueaprès 10 parties.

5

. Un (très) mauvais laneur de éhettes joue au jeu d'argent suivant. S'ilatteint le entre de la ible,il gagne 50 euros.S'il touhe laible àun autre endroit(ela lui

arrive 7 fois sur quarante), il ne gagne rien et ne perd rien. Enn, s'il ne parvient

pas àatteindre laible,e quiest leas 32foissur 40,ilperd10euros. Onnote

X 5

le gain algébriquedu joueur après 8laners.

1

. Repérer parmies inq expérienes elles où lavariable aléatoiresuit une loi bino- miale. Préiser leas éhéant lesvaleursdes paramètres

n

^et

p

^.

2

. Pour haune des variables aléatoires suivant une loi binomiale, aluler sa loi de probabilité sous la formed'un tableau.

3

. Caluler l'espérane mathématique de la variable dans haun des as de loi bino- miale, etinterpréter lerésultat.

4

. Caluler l'éart-type de haune de haque variable aléatoire suivant une loi bino- miale.

9.9

Uneboîteontientquatreboulesrouges,troisboulesvertesetseptboulesjaunes.On tiresimultanémentdeuxboulesdelaboîteetonsupposequelestiragessontéquiprobables.

On onsidère lesévénements suivants :

•

^{A : obtenir deux boules de mêmeouleur;}

•

^{B : obtenir deux boulesde ouleurs diérentes}

1

. Calulerles probabilités

P (A)

^et

P (B)

^.

2

. On répète dix fois l'épreuve préédente en remettant les deux boules tirées dans la boîte après haque tirage. Les dix épreuves aléatoires élémentaires sont don

indépendantes.

On note X la variable aléatoire qui, à haque partie de dix épreuves, assoie le

nombre de foisoù l'événement A est réalisé.

Expliquer pourquoi Xsuit une loibinomiale.Donner les paramètres de ette loi.

3

. Donner laloi de probabilité de X en donnant lesrésultats sous forme d'un tableau dans lequel on fera gurer des valeurs approhées arrondie ave un seul hire dif-

férent de zéro.

4

. Calulerl'espérane mathématiqueE(X) de X. Que représente E(X)?

1

. Les tirages sont simultanés don il n'y a ni remise, ni ordre. On utilise des om- bianaisons pour déterminer qu'il y a

C 1 4 ²

^{tirages possibles.}

Pour avoir deux boules de même ouleur, on a soit deux rouges, soit deux jaunes,

soit deux vertes.

p(A) = C ₄ ² + C ₃ ² + C ₇ ² C 1 4 ² = 30

91

^.

p(B) = 1 − p(A) = 61 91 2

.

X

^{suit une loi binomiale ar :}

•

L'experiene dérite est un shéma de Bernouilli. En eet :

⋄

^{On repète plusieurs fois et de façon} indépendantela même épreuve.

⋄

^{Chaque épreuven'a que deux issues possibles : suès ou éhe}

•

^{X est lavariable aléatoire qui} omptabilise lenombre de suès Don

X ∼ B(10, 30

91

3

. En utilisant le tableau de valeur de la alulatrie, on obtient :

x i

^{0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}

P (X = x i )

^{0.02 0.09 0.20 0.26 0.23 0.13 0.05 0.01 0.00 0 0}

4

.

X

^{suit une loi binomiale don l'esperane est}

E(X) = np = 10 30

91 = 300

91 = 3.296

^.

9.10

Unélèveserendàson lyéeenvélodistantde3km.Ilrouleàunevitesse supposée onstanteetégaleà 15km.h

−1

. Surleparours, ilrenontre 5feuxtrioloresnonsynhro-

nisés. Pour haque feu, la probabilité qu'il soitvert est de 0,7et la probabilité qu'il soit

rouge est de 0,3. Un feu vert ne ralentit pas le yliste, un feu rouge lui fait perdre une

minute.

1

. Soit Xlavariablealéatoirequi,àhaqueparours, assoielenombre defeux rouges renontré par l'élève.

Justier que Xsuit une loibinomialedont onpréisera les paramètres.

2

. Donner, en fontionde X, letemps T(enminutes)mispar leyliste pour faireson trajet.

3

. S'il part 13 minutes avant la sonnerie marquant le début des ours, aluler la probabilité qu'ilarriveen retard.

4

. Donner l'espérane mathématiquede T.

En déduirela vitesse moyenne (en km.h

−1

) pratiquéepar e yliste sur e trajet.

9.11

Une usine fabrique des pièesdont

1, 8

^%sont défetueuses. Leontrle des pièes s'eetue selon lesprobabilités onditionnellessuivantes :

•

^{sahant qu'une pièe est bonne, onl'aepte ave une} probabilité de 0,97;

•

^{sahant qu'une pièe est mauvaise, on larefuse ave une} probabilité de 0,99.

1

. Quelle est la probabilité qu'unepièe soit défetueuse?

2

.

a

. Montrer que la probabilité que la pièe soit défetueuse et aeptée est de

0, 00018

^.

b

. Montrer que laprobabilité que lapièe soitbonne etrefusée est de

0, 02946

^.

c

. Calulerla probabilitéqu'il y aitune erreur dans le ontrle.

3

. Si on ontrle

5

^{pièes, les ontrles étant onsidérés omme} indépendants, quelle est laprobabilité qu'ily ait:

a

. exatement une erreurde ontrle;

b

. exatement deux erreursde ontrle;

c

. aumoins une erreur de ontrle;

d

. plus d'une erreurde ontrle;

e

. auplus une erreur de ontrle;

6.3.

Loi de Poisson

9.12

Une entreprise fabrique des omposants életroniques. On sait que 2% des om-

posants fabriqués sont défetueux. Soit

X

^{la variable aléatoire qui à tout ensemble de}

100 omposants hoisis auhasardassoiele nombre d'élémentsdéfetueux qu'ilontient.

On admet que la variable aléatoire

X

^{suit une loide Poisson de paramètre 2.Donner la}

probabilité des événements suivants :

1

. l'ensemblene ontient pas de omposant défetueux;

2

. l'ensembleontient 2 omposants défetueux;

3

. l'ensembleontient 5 omposants défetueux.

9.13

Soit

X

^{une variablealéatoiresuivantlaloide Poissonde paramètre 5.Déterminer}

la probabilité des événements suivants :

1

.

X = 5

^;

2

.

X 6 4

^;

3

.

X > 8

^;

4

.

7 6 X 6 9

^.

9.14

Soit

X

^{une variablealéatoiresuivantlaloide Poissonde paramètre 7.Déterminer}

la plus petite valeur de

k

^{telle que}

P (X 6 k) > 0, 8

^.

9.15

On a observé la fréquentation d'une abine téléphonique au ours d'une journée.

Onaremarquéquelenombred'utilisateursen1heure,représentéparlavariablealéatoire

X

^{, suit une loi de Poisson de paramètre 5.}

1

. Établir laloi de probabilité de

X

^.

2

. Représenter graphiquement ette loi par un diagramme en bâtons à une éhelle onvenable.

3

. Donner l'espérane mathématique,la varianeet l'éart-type de

X

^.

4

. Sahant qu'un oup de téléphone passé depuis ette abine rapporte en moyenne 3,5 euros,quel est le gain que peut espérer l'opérateurtéléphonique en une heure?

En une journée (on pourra onsidérer qu'il n'y a pas d'utilisateurs de 1h à 5h du

matin)? Enun an?

5

. Le oût de revient annuel de la onstrution et la maintenane d'une abine télé- phoniques'élèveà50000euros.Ceservieest-ilsouredebénéepourl'opérateur?

9.16

Dans une entreprise de vente par orrespondane, une étude statistiquea montré qu'il y avait 5 % de bons de ommande portant au moins une erreur. On onstitue au

hasard un éhantillonde 100 bons de ommandesparmi eux traitésun jour donné.

Lenombredeommandestraitédansettejournéeestsusammentimportantpourqu'on

puisse l'assimilere prélèvement àun tirageave remise de 100 bons de ommande.

OndésigneparXlavariablealéatoirequiassoieàtoutéhantillonde100bonslenombre

de bons erronés. On admet queX suit une loide Poisson de paramètre 5.

1

. Détermineràl'aideduformulairelaprobabilitédehaundesévénementssuivants:

• E 1

^{il y aexatement 7 bons erronés parmiles 100;}

• E 2

^{il y amoins de 7bons erronésparmi les100 ;}

• E 3

^{il y aau moins 7bons erronésparmi les 100.}

2

. Déterminer le plus petit entier

k

^{tel que la} probabilité d'avoir au moins

k

^erreurs

soitsupérieure à 0,9.

9.17

Pendant une journée de lasse, le nombre d'élèves fréquentant l'inrmerie en 20 minutes suit une loide Poisson de paramètre 7.

1

. Quelle est la probabilité qu'auun élève ne se présente entre 14h00 et14h20.

2

. Uneinrmièredélareêtresûre à80%de reevoirplusde 5élèvesde 10h10à10h30.

Cette armation est-ellefondée?

3

. Combien d'élèves se rendent en moyenne àl'inrmerie en 20minutes?

4

. Parmi tous les élèves visitant l'inrmerie, 85% sont réellement malades. Soit

Y

^le

nombre de maladesreçus en 20 minutes. Déterminerlaloi de probabilité de

Y

^.

5

. Calulerl'espérane de

Y

^et interpréter lerésultat, puis alulerl'éart-type.

6.4.

Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson

9.18

En une année, un mélomane fait l'aquisition d'environ 300 disques ompats.

Quandilen ahète un, laprobabilitépour queledisque soitrayé etquesahaîne hi-ne

le lisepas onvenablement est 0,02. On note

X

^{lenombre de disques rayés ahetés en un}

an.

1

. Quelle loisuit la variable aléatoire

X

^?

2

. Quel est leparamètre de la loide Poisson par laquelle onpeut l'approher?

3

. Caluler la probabilité qu'il ahète moins de 5 disques rayés en utilisant les deux loiset vérierla onordane des résultats.

4

. Caluler l'éart-type de deux façons. La diérene entre les deux résultats est-elle négligeable?

9.19

Dans et exerie, haque probabilité sera alulée à

10 ⁻²

^près.

Une petite entreprise emploie vingtpersonnes. Une étude statistique permet d'admettre

qu'un jour donné la probabilité qu'un employé donné soit absent est 0,05. On admet

que les absenes des employés survenue un jour donné sont indépendantes les unes des

autres. On note X la variablealéatoire qui,à un jour hoisi auhasard, assoiele nombre

d'employés absents.

1

. Expliquer pourquoi Xsuit une loibinomiale.Donner les paramètres de ette loi.

2

. Calulerla probabilité des événements suivants :

• E 1

^{un jourdonné, ily a exatement trois absents;}

• E 2

^{un jourdonné, ily a aumoins trois absents;}

• E 3

^{un jour donné,le nombre d'absentsest omprisentre trois etsix (bornes}

omprises).

3

. Caluler l'espérane mathématique notée

E ( X )

^{de la variable aléatoire}

X

^{. Que}

représente

E ( X )

^?

4

. On approhe laloibinomialedu 1.par une loide Poissonde paramètre

np

^{, où}

n

^et

p

^{sont lesparamètres de ette loi binomiale.}

a

. En utilisant laloi de Poisson, déterminer les probabilités respetives des trois

événements

E1

^,

E2

^et

E3

^{de laquestion 1.}

b

. Vérier queles résultatsobtenus au4.dièrent de moins de 1% des résultats obtenus au1.

9.20

Une entreprise fabriquant des meubles possède un par de mahines fontionnant sans arrêt. La probabilité pour une mahine déterminée de tomber en panne au ours

d'une journée est

p = 0, 001

^.

1

. Calulerlaprobabilité pour une mahine déterminéede tomberen panneau moins une fois sur une période de trente jours.

2

. Caluler la probabilité pour ette mahine de tomber en panne plus d'une fois au ours d'un mois de trente jours.

3

. Leparest omposé de

n = 200

^mahinesetlaprobabilitépourunede esmahines de tomberen panne au moinsune foisau ours du mois est de

0, .03

^.

Soit X le nombre de mahines tombant au moins une fois en panne au ours du

mois.

a

. Déterminerla loide probabilité de X.

b

. Caluler

P (X = k)

^,

k ∈ 0, 1, 2

^.

c

. L'approximation par laloi de Poisson est-elle justiée? Quelleest laprobabilité pour que X soitinférieur à 3?

Déterminerl'espérane mathématiqueet lavariane de X.

9.21

Un magasinde vente d'appareils de télévision assurependantdeux ans un servie après-vente gratuitUne statistiqueétablie sur 100 postes donneles résultatssuivants :

Nombre d'interventions 0 1 2 3 4

Nombre de postes onernés 68 25 5 2 0

1

. Calulerl'espéranemathématiquedelavariablealéatoireXayantlesmêmesvaleurs

de 0à 4etpour probabilitéslesfréquenes assoiéesaunombre de postes(0,68;

· · ·

).

2

. Traer la représentation graphique de la fontion de répartition de X.

3

. Comparerlesvaleursobtenues àellesdéduites d'uneloide Poissondemêmevaleur moyenne. CalulerlavarianeV(X); omparer àE(X).

1 Variablesaléatoires . . . 1

2 Fontionde répartition . . . 2

3 Loibinomiale . . . 3

3.1 Épreuve de Bernoulli . . . 3

3.2 Shéma de Bernoulli . . . 4

3.3 Loi binomiale . . . 4

4 Loide Poisson . . . 4

5 Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson . . . . 5

6 Exeries. . . 5

6.1 Variablealéatoire . . . 5

6.2 Loi binomiale . . . 10

6.3 Loi de Poisson . . . 12

6.4 Approximation d'uneloi binomialepar une loide Poisson . . . 14