Cours de mathématiques
Chapitre 9
Variables aléatoires
Loi binomiale et loi de Poisson
Aymar de Saint-Seine
Année scolaire 2011–2012
1.
Variables aléatoires
Définition 1 : Variable aléatoire
Soit
Ω
l'ensemble des éventualités d'une expériene aléatoire.On appelle variable aléatoire toute fontion
X
deΩ
dans R qui, à tout éventu-alités de
Ω
, faitorrespondre un nombre réelx
.Exemple : On lane deux dés à quatre faes(tétraèdre régulier). Les éventualités sont :
P P P P
P P P P P
de 2
de 1
1 2 3 4
1
(1; 1) (2; 1) (3; 1) (4; 1)
2
(1; 2) (2; 2) (3; 2) (4; 2)
3
(1; 3) (2; 3) (3; 3) (4; 3)
4
(1; 4) (2; 4) (3; 4) (4; 4)
A ette expériene aléatoire,onpeut assoier diérentes variables aléatoires:
• X
qui àune éventualité faitorrespondre le maximum des deux valeurs obtenues.• Y
qui àune éventualité fait orrespondrele produit des deux valeurs obtenues.• Z
qui à une éventualité faitorrespondrela quotient de la premiervaleur par ladeux- ième valeur.Pour lavariablealéatoire
Z
, onobtient lestableaux de valeurssuivants :P P P P
P P P P
P
de 2
de 1
1 2 3 4
1
1 2 3 4
2
0.5 1 1.5 2
3
0 . 3 0 . 6 1 1 . 3
4
0.25 0.5 0.75 1
Lavariablealéatoire
Z
fait orrespondre2
3
à l'eventualité(2; 3)
. On litZ ((2; 3)) = 2 3
.C'est bien une fontion quia un élémentde
Ω
fait orrespondre un nombre.Définition 2 : Loi de probabilité
Laloi deprobabilitéd'unevariablealéatoire
X
estlafontionquiàhaquevaleurx
de la variable aléatoire fait orrespondre sa probabilité.Généralement, on donne son tableau de valeur pour l'expliiter.
Exemple : la probabilitéde lavaleur
2 3
est1
16
. On obtientle tableaude valeur suivant:z i
1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1 2/3 3/2 2 3 4p(Z = z i )
1/16 1/16 2/16 1/16 1/16 4/16 1/16 1/16 2/16 1/16 1/16Définition 3 : Espérance,Variance et écart-type d’une loi de probabilité
On onsidère une variable aléatoire
X
prenantm
valeursx i
ave les probabilitésp i = p ( X = x i )
.L'esperane de
X
est :E(x) = p 1 x 1 + p 2 x 2 + · · · + p m x m =
i=m
X
i=1
p i x i .
La variane de
X
est :V (x) = p 1 (x 1 − E(X)) 2 +p 2 (x 2 − E(X)) 2 + · · · +p m (x m − E(X )) 2 = E(X 2 ) − E (X) 2 .
L'éart type de
X
estσ ( x ) = p V ( X ) .
Remarque : L'espérane indique le degré d'équité d'un jeu de hasard puiqu'elle est égale
à lasommedes gains (etdes pertes)pondérés parlaprobabilité du gain(ou de laperte).
La variane aratérise la dispersion d'un éhantillon ou d'une population puisqu'elle
umuleles éartsde haque valeur ave la moyenne.
Exemple :
Pour laloi de probabilité de
Z
,on obtient :E ( Z ) = 1
4 × 1 16 + 1
3 × 1 16 + 1
2 × 2
16 + · · · + 4 × 1
16 = 1 , 26
Pour alulerla variane, ilfaut alulerauparavant
E ( Z 2 )
:z 2 i
1/16 1/9 1/4 4/9 9/16 1 4/9 9/4 4 9 16p ( Z = z 2 i )
1/16 1/16 2/16 1/16 1/16 4/16 1/16 1/16 2/16 1/16 1/16On adon
E(Z 2 ) = 1 16 × 1
16 + 1 9 × 1
16 + · · · + 16 × 1
16 = 2, 58 V ( Z ) = E ( Z 2 ) − E ( Z ) 2 = 2 , 58 − 1 , 26 2 = 1 , 32
etσ ( Z ) = √
1 , 32 = 1 , 15
.Remarque : L'utilisationde laalulatrie permet de gagner beauoup de temps.
2.
Fontion de répartition
On regardetoujours lavariable aléatoire
Z
,mais onherhe désormais à assoier à toutevaleurréelle
z
la probabilitéd'obtenir un tirage inférieurou égal àz
.Par exemple, la probabilité que
Z 6 2
3
estp ( Z 6 2
3 ) = 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 4 + 1
16 =
9 16
.De même, onobtient
p ( Z 6 1 , 4) = p ( Z 6 2 3 ) = 9
16
puisqu'auune valeur entre2
3
et1 , 4
n'est prise par
Z
.Formellement,ela onduit àla dénition :
Définition 4 : Fonction de répartition
La fontion de répartition d'une variable aléatoire
X
est la fontion qui à toutréel
x
assoieF (x) = P [X 6 x].
Exemple : Pour lavariable aléatoire
Z
,on obtient letableau de valeur suivant :z i
0 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1 2/3 3/2 2 3 4F (z) = p(z 6 z i )
0 1/16 1/16 2/16 1/16 1/16 4/16 1/16 1/16 2/16 1/16 1/16Grpahiquement,onobtient :
1
1 2 3 4 5
b b b b b b b b b b b
Théorème 1 :
La fontion de répartition possède lespropriétés suivantes :
• F
est roissante;• lim
x→−∞ F ( x ) = 0
;• lim
x→ + ∞
F X (x) = 1
.3. Loi binomiale
3.1. Épreuve de Bernoulli
Définition 5 :
Soit
p
un réeltel que0 6 p 6 1
.Une expériene de Bernoulli de paramètre
p
est une expériene aléatoire àdeux issues appelées suès (de probabilité
p
) et éhe de probabilité1 − p
.Théorème 2 :
Soit
X
la variable aléatoire dénie sur{ 0 ; 1 }
parP ( X = 1) = p
etP ( X = 0) = 1 − P (X = 1) = 1 − p
. L'espéranemathématique deX
estE(X) = p
. Lavarianede
X
estV (X) = p(1 − p)
.Démonstration :
E(X) = P i=2
i=1 p i x i = p × 1 + (1 − p) × 0 = p.
E(X 2 ) = P i=2
i=1 p i x i = p × 1 2 + (1 − p) × 0 2 = p.
V (X) = E(X 2 ) − E(X) 2 = p − p 2 = p(1 − p)
.σ(X) = p
V (X) = p
p(1 − p)
.3.2.
Shéma de Bernoulli
Définition 6 :
Soit
p
un réeltel que0 6 p 6 1
etn
un entier naturel non nul.Un shéma de Bernoulli de paramètre
(n; p)
onsiste en la suession den
épreuves de Bernoulli indépendantes et de même paramètre
p
.3.3.
Loi binomiale
Théorème 3 :
Soit une expériene aléatoire suivant le shéma de Bernoulli de paramètre
(n; p)
.Soit
X
lavariablealéatoireégaleaunombredesuèsobtenusauboutdesn
épreuvesrépétées onstituant leshéma. La loi de
X
est dénie parP ( X = k ) = C n k p k (1 − p ) n−k
où
k
est un entier tel que0 6 k 6 n
.Définition 7 :
Aveles notationspréédentes, ondit que
X
suit laloibinomiale de paramètre(n; p)
.Théorème 4 :
Si
X
suit laloi binmialede paramètre( n ; p )
, alorsE(X) = np ; V (X) = np(1 − p) ; σ(X) = p
np(1 − p).
4.
Loi de Poisson
Définition 8 :
Une variable aléatoire suit la loi de Poisson
P ( λ )
de paramètre positifλ
lorsque sa loi de probabilité est donnée par la formule
P (X = k) = e −λ λ k k ! ,
pour tout entier naturel
k
.Remarque :
•
Ce typede loiintervientdanslamodélisationd'événementsoùlefuturest indépendant du passé. Elle est notamment utilisée dans l'étude des les d'attentes, des pannes demahines, des appels téléphoniques à un standard, de la mortalité, de la gestion des
stoks ...
•
Leformulairedonnelesvaleurs numériquesdes probabilitésave laloide Poisson pour plusieursvaleurs dek
etλ
.Théorème 5 :
Si
X
est une variablealéatoire suivant laloi dePoissonP (λ)
de paramètreλ
alorsE(X) = λ ; V (X) = λ ; σ(X) = √
λ.
5.
Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
Théorème 6 :
On admet que si
n
est grand,p
prohe de0
etnp
pas trop grand, alorslaloibinomiale
B (n, p)
peut être approhéepar laloide PoissonP (λ)
deparamètreλ = np
.Remarque : Lesonditions d'approximationd'uneloibinomialeparune loide Poisson ne
sont pas à apprendre. Il faut par ontre se souvenir que dans le as d'une telle approxi-
mation, leparamètre de la loide Poisson est
np
.6. Exeries
6.1.
Variable aléatoire
9.1
Unemahine remplitautomatiquementdes sahets en mélangeant deux produitsA et B. Dans haque sahet, pour le produit A, lamahine introduit 50grammes ave uneprobabilité de 0,8ou51grammesave une probabilitéde 0,2etindépendammentpour le
produit B elleintroduit 50grammesave une probabilité de 0,6ou51grammesave une
probabilité de 0,4.
1
. Quellessontlesmasses possiblesX
d'unsahet? Établiretprésenter sousformedetableau laloide probabilité de
X
.2
. Quelle est la probabilité pour qu'un sahet ontienne auplus 101 grammes?3
. Calulerl'espérane mathématiquedeX
.4
. Les sahets sont vendus par groupes de deux, la onstitution des paires étant équiprobable. Caluler laprobabilité pour qu'un groupe de deux sahets ontienne202 grammes.
9.2
Uneentrepriseutilisedesmahinesde typeMonstituées haunede deux éléments E1etE2.Ladéfetuositéd'un seuldes deux élémentsE1etE2sutàmettrelamahinehors servie etonexlut toute autreéventualité de panne.
Soient
A1
etA2
les deux événements :A 1
: l'élément E1tombe en panne;A2
: l'élément E2tombe en panne.On suppose que
A1
etA2
sontdeux événementsindépendantsde probabilitésrespetivesp 1 = P (A1) = 0, 08
etp 2 = P (A2) = 0, 05
.1
. Caluler la probabilités
pour que les deux éléments soient simultanément hors servie.2
. Calulerla probabilitép
pour que lamahine M soiten panne.3
. On noteX
la variable aléatoireégale aunombre d'élémentshors servie.a
. Déterminerla loide probabilité deX
.b
. Vérier quel'espérane mathématiquedeX
est égale à0,13.9.3
Deux grossistes produisent des bulbesde tulipes :•
le premier,des bulbesà eurs rouges dont 90% donnent une eur;•
le seond, des bulbes àeurs jaunes dont 80% donnent une eur.Un hortiulteur ahète 70% des bulbes qu'il ultive au premier grossiste et le reste au
seond. Un bulbe de tulipe donne au plus une eur. L'hortiulteur plante un bulbe pris
au hasard.On notera :
G
: l'événement le bulbe provient du premier grossiste;G
: l'événement le bulbe provient du seond grossiste;F
: l'événement le bulbe donne une eur.1
. Déterminer lesprobabilités des événements suivants :a
. obtenirune eur rouge;b
. obtenirune eur jaune;c
. ne pas obtenirde eur.2
. L'hortiulteurgagne0,8eurospareurrougeobtenueet1eurospareurjaune.SoitX
lavariable aléatoireégale augain de l'hortiulteurpar bulbeplanté. Déterminerlaloide probabilité de
X
etson espéranemathématique.Quelleest l'espéranede gain de l'hortiulteurs'ilommande 10000 bulbes?9.4
Dansunesalledejeuxunappareil(onnusouslenomdeBanditmanhot)omporte quatre roues, haune portant à sa périphérie huit images de fruits diérents : ananas,bananes, erises,dattes, fraises, groseilles,poires,raisins.
Une mise de 1 euro délenhe le fontionnement de l'appareil pour une partie. Chaune
des quatre roues ahe au hasard dans une fenêtre un de es fruits. On admettra que
tous les événements élémentaires sont équiprobables.
1
. Calulerla probabilité des événements suivants :E
: on obtient quatre fruitsidentiques;F
: on obtienttrois fruitsidentiques et trois seulement;G
: on obtientquatre fruitsdistints.2
. Certains résultats permettent de gagner de l'argent :•
50euros pour quatre fruitsidentiques;•
5 eurospour trois fruitsidentiques;•
1 euro pour quatre fruitsdistints;•
0 euro pour les autresrésultats.Soit
X
la variablealéatoire quià haque résultat assoiele gain indiqué i-dessus.a
. Quelleest laprobabilité de l'événement obtenirun gain non nul?b
. Déterminerl'espérane mathématiquedeX
,notéeE ( X )
.9.5
Une urne ontient 3 boules vertes portantle numéro 0, deux boules rouges portantle numéro 5 et une boule noire portant le numéro
a
(a
est un entier naturel non nul,diérent de 5 et de 10). Toutes les boules sont indisernables autouher. Un joueur tire
simultanémenttrois boules de l'urne.
1
. Quelle est la probabilité pour qu'iltire :a
. trois boules de lamême ouleur?b
. trois boules de ouleurs diérentes?c
. deux bouleset deux seulement de la même ouleur?2
. Lejoueur reçoit, en euros,lasomme desnumérosmarqués sur lesboules tirées.Les gains possibles du joueur sont don :0; 5; 10; a; 5 + a; 10 + a.
a
. SoitX
lavariablealéatoireégaleaugain du joueur, déterminerlaloi de prob-abilitéde
X
.b
. Calulerl'espéranemathématique deX
en fontiondea
.c
. Calulera
pour quel'espérane de gain du joueur soit de 20.1
. On hoisit trois boules indisernables simultanément. Les tirages sont don non ordonnésetsans répétition.C'estdonuneombinaisonde3élémentshoisisparmi6. Il y a
C 6 3 = 20
tirages possibles.a
. Ilyauneseulepossibilitéd'avoirtroisboulesdemêmeouleur(lestroisvertes).La probabilité est don de
1 20
.b
. Pour avoirtroisboules de ouleurs diérentes, il fautla boule noire, une boule rouge (2 hoix possibles) et une boule verte (3 hoix possibles). Il y a donombinaisons possibleset la probabilité est de
6 20
.c
. Soit on a les deux boules rouges et une autre ouleur ensuite (4 hoix pour ette derniere boule) soit on hoisit 2 boules vertes parmi les trois (C 3 2 = 3
ombinaisonspossibles) et une autre ouleur (3 hoix possibles). La probabilité
est don de
4 + 3 × 3 20 = 13
20
On remarque que la somme des proba trouvées fait 1, e qui est ohérent puisque
l'on a onsidérer toutes les issues possibles.
2
.a
. Le tableau suivant présente la loi de probabilité deX
. La ligne intermédiaireindique les ombinaisons realisant la valeur
x i
. La probabilité est obtenue en dénombrant lesas favorables à l'aide de ombinaison.x i
0 5 10a a
+5a + 10
Combinaison V-V-V R-V-V R-R-V N-V-V N-R-V N-R-R
P (X = x i ) 1 20
6 20
3 20
3 20
6 20
1
20
b
. l'esperane estE(X) = X p i x i
= 0 × 1
20 + 5 × 6
20 + · · · + ( a + 10) × 1 20
= 0 × 1 + 5 × 6 + 10 × 3 + a × 3 + ( a + 5) × 6 + ( a + 10) × 1 20
= 100 + 10 a 20
c
. Le gain moyen du joueur est de 20 siet seulement si l'esperane du jeu est de20, 'est à dire :
100 + 10 a 20 = 20 100 + 10a = 400
10a = 300 a = 30
9.6
Un établissement est omposé de deux sas, notés 1 et2, et de six salles de travail, notées A, B, C, D, E et F. Lesommuniations entre es diérentes salles se font par lemoyen de
12
portes représentées par le shéma suivant :Sas 2
Sas 1
A B C
D E
F
On remarquera queles salles B et Ene ommuniquentpas diretement.
•
Un robot, rangé dans le sas 1, est programmé pour nettoyer exatement trois sallesdiérentes parmi lessalles A, B, C, D, E etF.
•
Le robotommene toujours son parours par l'une des salles A, B ouC.•
Dès que lerobot entre dans une salle, il lanettoie systématiquement.•
Il lui est impossible de franhirla mêmeporte plus d'une fois oude nettoyer deux foisla mêmesalle.
•
Une foisles trois salles nettoyées, lerobotressort :⋄
soitpar le sas1;⋄
soit par le sas 2. Dans e as, il retourne plus tard dans le sas 1 par un ouloir nonreprésenté sur leshéma.
On appelletrajetunesuiteordonnée de3sallesonstituantunparours possiblepour
le robot.
Exemples :
•
ABC et BCD sont des trajets.•
CBA et ABC sontdeux trajets diérents.•
ABE n'est pas un trajet (les salles B et Ene ommuniquent pas diretement).•
DEF n'est pas un trajet (lerobotne peut pas ommenerpar la salle D).1
. Déterminer lessix trajets possibles (on pourra s'aider d'un arbre).Dans toute lasuite, on admetque lessix trajetsobtenussont équiprobables.
2
.a
. Caluler la probabilitép 1
de l'évènement la salle E est la troisième salle nettoyée par lerobot.b
. Calulerla probabilitép 2
de l'évènement le robot sort par le sas2.3
. Le tableau suivant donne le temps de nettoyage du robot dans haune des salles en minutes :Salles A B C D E F
Temps de
nettoyage du
robot
20min 24min 30min 14min 22 min 14 min
On désigne par X la variable aléatoire qui, à haque trajet, assoie le temps de
nettoyage des
3
salles exprimé en minutes.a
. Déterminerles valeurs prises par lavariablealéatoireX.b
. Déterminerla loide probabilité de X.c
. Calulerl'espéraneE(X)delavariablealéatoireX.Quereprésenteenombre?d
. Calulerlaprobabilitép 3
de l'évènement leroboteetue lenettoyage des3
salles en moins de
60
minutes?4
. On appelleσ
(X) l'éarttype de la variable aléatoireX.a
. Déterminerla valeur arrondieau entième deσ
(X)b
. Le roboteetue un parours par jour,7
jours sur7
. Soitn
un entier naturelnonnul.Onadmetqu'ilestaeptabled'utiliserlerobotdurant
n
joursd'aléesans révision si lenombre :
n ×
E(
X) + 1, 5 × σ(
X) × √ n
est inférieur à
500
heures. Est-ilaeptable de ne faire réviser le robotqu'unefois par an?
9.7
Le personnage virtuel d'un jeu életronique doit franhir un torrent en sautant de roher en roher.Le torrent seprésente de lamanièresuivante(les disques R
1
, R2
,..., R17
,R18
,représen-tent lesrohers) :
A
R
1
R8
R
2
R9
R10
R11
R
3
R4
R5
R12
R13
R
6
R14
R15
R R
R
R RIVE
9
Le personnage virtuelpart de A pour aller en B. Il ne peut hoisir quelestrajetsmatéri-
alisés par des pointillésetavaneruniquement dansle sens des èhes. On appellepar-
ours une suite ordonnée de lettres représentant un trajet possible.
Par exemple :AR
1
R2
R3
R6
R7
B est un parours qui néessite6
bonds.Toute probabilité demandée sera donnée sous forme de fration.
1
. Déterminer lessix parours possibles.2
. Le joueur hoisit auhasard un parours. On admetque lesdiérents parours sont équiprobables.a
. Quelleest laprobabilitép 1
de l'évènementle personnage virtuelpasse par leroher R
7
?b
. Quelleest laprobabilitép 2
de l'évènementle personnage virtuelpasse par leroher R
14
?3
. Chaque bond du personnage virtuel néessite 2 seondes.On noteXlavariablealéatoirequi,àhaque parours,assoiesaduréeenseondes.
a
. Déterminerles valeurs prises par lavariablealéatoireX.b
. Donner la loide probabilité de la variable aléatoireX.c
. Calulerl'espéranemathématique E(X) de lavariablealéatoire X.4
. Quelle devrait être la durée d'un bond du personnage virtuel pour que la durée moyenne d'un parours soitégale à 10seondes?6.2.
Loi binomiale
9.8
On s'intéresse aux inq expérienes aléatoires dérites i-dessous et aux variables qui y sont dénies.1
. Un voyageur prend le train haque jour de travail. Le train arrive en retard à la gare de destinationave une probabilitép = 0, 27
.On noteX 1
lavariablealéatoireassoiant àune semaine de travail de 5 joursle nombre de retards du train.
2
. Une personne joue aujeu de artes suivant. Il tire une arte d'un jeu de 52 artes.S'il obtient une gure (valet, dame ou roi), il gagne 15 euros, sinon il en perd 5.Il
remet ensuitelaarte tirée dansle paquet.Lapartie est terminée quand ila joué6
fois. On note
X 2
la variablealéatoireassoiantà haque partie omplète legain dujoueur.
3
. Une entreprisede fabriationd'airbags pour automobilesteste un éhantillonde sa prodution.Unoussintestén'estplusutilisableetn'estpasremisdansl'éhantillon.Les tests sont eetués sur un lot de 200 airbags, dont 4 sont défetueux. On note
X 3
lenombre de oussinsdéfetueux parmi une série de 20 test suessifs.4
. Danslarue,un saltimbanquepropose auxpassantsde joueraufameuxjeudu palet ahé. Un paletest plaé sous un gobelet opaque retourné parmitrois. Auours demanipulationsrapideset omplexes, lesaltimbanquedéplae(ou ne déplaepas) le
paletdans unautre gobelet.Al'issuedes manipulations,lejoueur doittrouversous
quelgobeletsetrouvelepalet. S'illetrouve,ilgagne40euros.Leprixd'insription
pour un oup est 15 euros. On suppose qu'il est tellement diile de suivre les
manipulationsdu saltimbanqueque lehoixsefaitauhasardetquehaque gobelet
a autant de hanes d'être hoisi. On note
X 4
le gain algébrique moyen que peutespérer le saltimbanqueaprès 10 parties.
5
. Un (très) mauvais laneur de éhettes joue au jeu d'argent suivant. S'ilatteint le entre de la ible,il gagne 50 euros.S'il touhe laible àun autre endroit(ela luiarrive 7 fois sur quarante), il ne gagne rien et ne perd rien. Enn, s'il ne parvient
pas àatteindre laible,e quiest leas 32foissur 40,ilperd10euros. Onnote
X 5
le gain algébriquedu joueur après 8laners.
1
. Repérer parmies inq expérienes elles où lavariable aléatoiresuit une loi bino- miale. Préiser leas éhéant lesvaleursdes paramètresn
etp
.2
. Pour haune des variables aléatoires suivant une loi binomiale, aluler sa loi de probabilité sous la formed'un tableau.3
. Caluler l'espérane mathématique de la variable dans haun des as de loi bino- miale, etinterpréter lerésultat.4
. Caluler l'éart-type de haune de haque variable aléatoire suivant une loi bino- miale.9.9
Uneboîteontientquatreboulesrouges,troisboulesvertesetseptboulesjaunes.On tiresimultanémentdeuxboulesdelaboîteetonsupposequelestiragessontéquiprobables.On onsidère lesévénements suivants :
•
A : obtenir deux boules de mêmeouleur;•
B : obtenir deux boulesde ouleurs diérentes1
. Calulerles probabilitésP (A)
etP (B)
.2
. On répète dix fois l'épreuve préédente en remettant les deux boules tirées dans la boîte après haque tirage. Les dix épreuves aléatoires élémentaires sont donindépendantes.
On note X la variable aléatoire qui, à haque partie de dix épreuves, assoie le
nombre de foisoù l'événement A est réalisé.
Expliquer pourquoi Xsuit une loibinomiale.Donner les paramètres de ette loi.
3
. Donner laloi de probabilité de X en donnant lesrésultats sous forme d'un tableau dans lequel on fera gurer des valeurs approhées arrondie ave un seul hire dif-férent de zéro.
4
. Calulerl'espérane mathématiqueE(X) de X. Que représente E(X)?1
. Les tirages sont simultanés don il n'y a ni remise, ni ordre. On utilise des om- bianaisons pour déterminer qu'il y aC 1 4 2
tirages possibles.Pour avoir deux boules de même ouleur, on a soit deux rouges, soit deux jaunes,
soit deux vertes.
p(A) = C 4 2 + C 3 2 + C 7 2 C 1 4 2 = 30
91
.p(B) = 1 − p(A) = 61 91 2
.X
suit une loi binomiale ar :•
L'experiene dérite est un shéma de Bernouilli. En eet :⋄
On repète plusieurs fois et de façon indépendantela même épreuve.⋄
Chaque épreuven'a que deux issues possibles : suès ou éhe•
X est lavariable aléatoire qui omptabilise lenombre de suès DonX ∼ B(10, 30
91
3
. En utilisant le tableau de valeur de la alulatrie, on obtient :x i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P (X = x i )
0.02 0.09 0.20 0.26 0.23 0.13 0.05 0.01 0.00 0 04
.X
suit une loi binomiale don l'esperane estE(X) = np = 10 30
91 = 300
91 = 3.296
.9.10
Unélèveserendàson lyéeenvélodistantde3km.Ilrouleàunevitesse supposée onstanteetégaleà 15km.h−1
. Surleparours, ilrenontre 5feuxtrioloresnonsynhro-
nisés. Pour haque feu, la probabilité qu'il soitvert est de 0,7et la probabilité qu'il soit
rouge est de 0,3. Un feu vert ne ralentit pas le yliste, un feu rouge lui fait perdre une
minute.
1
. Soit Xlavariablealéatoirequi,àhaqueparours, assoielenombre defeux rouges renontré par l'élève.Justier que Xsuit une loibinomialedont onpréisera les paramètres.
2
. Donner, en fontionde X, letemps T(enminutes)mispar leyliste pour faireson trajet.3
. S'il part 13 minutes avant la sonnerie marquant le début des ours, aluler la probabilité qu'ilarriveen retard.4
. Donner l'espérane mathématiquede T.En déduirela vitesse moyenne (en km.h
−1
) pratiquéepar e yliste sur e trajet.
9.11
Une usine fabrique des pièesdont1, 8
%sont défetueuses. Leontrle des pièes s'eetue selon lesprobabilités onditionnellessuivantes :•
sahant qu'une pièe est bonne, onl'aepte ave une probabilité de 0,97;•
sahant qu'une pièe est mauvaise, on larefuse ave une probabilité de 0,99.1
. Quelle est la probabilité qu'unepièe soit défetueuse?2
.a
. Montrer que la probabilité que la pièe soit défetueuse et aeptée est de0, 00018
.b
. Montrer que laprobabilité que lapièe soitbonne etrefusée est de0, 02946
.c
. Calulerla probabilitéqu'il y aitune erreur dans le ontrle.3
. Si on ontrle5
pièes, les ontrles étant onsidérés omme indépendants, quelle est laprobabilité qu'ily ait:a
. exatement une erreurde ontrle;b
. exatement deux erreursde ontrle;c
. aumoins une erreur de ontrle;d
. plus d'une erreurde ontrle;e
. auplus une erreur de ontrle;6.3.
Loi de Poisson
9.12
Une entreprise fabrique des omposants életroniques. On sait que 2% des om-posants fabriqués sont défetueux. Soit
X
la variable aléatoire qui à tout ensemble de100 omposants hoisis auhasardassoiele nombre d'élémentsdéfetueux qu'ilontient.
On admet que la variable aléatoire
X
suit une loide Poisson de paramètre 2.Donner laprobabilité des événements suivants :
1
. l'ensemblene ontient pas de omposant défetueux;2
. l'ensembleontient 2 omposants défetueux;3
. l'ensembleontient 5 omposants défetueux.9.13
SoitX
une variablealéatoiresuivantlaloide Poissonde paramètre 5.Déterminerla probabilité des événements suivants :
1
.X = 5
;2
.X 6 4
;3
.X > 8
;4
.7 6 X 6 9
.9.14
SoitX
une variablealéatoiresuivantlaloide Poissonde paramètre 7.Déterminerla plus petite valeur de
k
telle queP (X 6 k) > 0, 8
.9.15
On a observé la fréquentation d'une abine téléphonique au ours d'une journée.Onaremarquéquelenombred'utilisateursen1heure,représentéparlavariablealéatoire
X
, suit une loi de Poisson de paramètre 5.1
. Établir laloi de probabilité deX
.2
. Représenter graphiquement ette loi par un diagramme en bâtons à une éhelle onvenable.3
. Donner l'espérane mathématique,la varianeet l'éart-type deX
.4
. Sahant qu'un oup de téléphone passé depuis ette abine rapporte en moyenne 3,5 euros,quel est le gain que peut espérer l'opérateurtéléphonique en une heure?En une journée (on pourra onsidérer qu'il n'y a pas d'utilisateurs de 1h à 5h du
matin)? Enun an?
5
. Le oût de revient annuel de la onstrution et la maintenane d'une abine télé- phoniques'élèveà50000euros.Ceservieest-ilsouredebénéepourl'opérateur?9.16
Dans une entreprise de vente par orrespondane, une étude statistiquea montré qu'il y avait 5 % de bons de ommande portant au moins une erreur. On onstitue auhasard un éhantillonde 100 bons de ommandesparmi eux traitésun jour donné.
Lenombredeommandestraitédansettejournéeestsusammentimportantpourqu'on
puisse l'assimilere prélèvement àun tirageave remise de 100 bons de ommande.
OndésigneparXlavariablealéatoirequiassoieàtoutéhantillonde100bonslenombre
de bons erronés. On admet queX suit une loide Poisson de paramètre 5.
1
. Détermineràl'aideduformulairelaprobabilitédehaundesévénementssuivants:• E 1
il y aexatement 7 bons erronés parmiles 100;• E 2
il y amoins de 7bons erronésparmi les100 ;• E 3
il y aau moins 7bons erronésparmi les 100.2
. Déterminer le plus petit entierk
tel que la probabilité d'avoir au moinsk
erreurssoitsupérieure à 0,9.
9.17
Pendant une journée de lasse, le nombre d'élèves fréquentant l'inrmerie en 20 minutes suit une loide Poisson de paramètre 7.1
. Quelle est la probabilité qu'auun élève ne se présente entre 14h00 et14h20.2
. Uneinrmièredélareêtresûre à80%de reevoirplusde 5élèvesde 10h10à10h30.Cette armation est-ellefondée?
3
. Combien d'élèves se rendent en moyenne àl'inrmerie en 20minutes?4
. Parmi tous les élèves visitant l'inrmerie, 85% sont réellement malades. SoitY
lenombre de maladesreçus en 20 minutes. Déterminerlaloi de probabilité de
Y
.5
. Calulerl'espérane deY
et interpréter lerésultat, puis alulerl'éart-type.6.4.
Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
9.18
En une année, un mélomane fait l'aquisition d'environ 300 disques ompats.Quandilen ahète un, laprobabilitépour queledisque soitrayé etquesahaîne hi-ne
le lisepas onvenablement est 0,02. On note
X
lenombre de disques rayés ahetés en unan.
1
. Quelle loisuit la variable aléatoireX
?2
. Quel est leparamètre de la loide Poisson par laquelle onpeut l'approher?3
. Caluler la probabilité qu'il ahète moins de 5 disques rayés en utilisant les deux loiset vérierla onordane des résultats.4
. Caluler l'éart-type de deux façons. La diérene entre les deux résultats est-elle négligeable?9.19
Dans et exerie, haque probabilité sera alulée à10 −2
près.Une petite entreprise emploie vingtpersonnes. Une étude statistique permet d'admettre
qu'un jour donné la probabilité qu'un employé donné soit absent est 0,05. On admet
que les absenes des employés survenue un jour donné sont indépendantes les unes des
autres. On note X la variablealéatoire qui,à un jour hoisi auhasard, assoiele nombre
d'employés absents.
1
. Expliquer pourquoi Xsuit une loibinomiale.Donner les paramètres de ette loi.2
. Calulerla probabilité des événements suivants :• E 1
un jourdonné, ily a exatement trois absents;• E 2
un jourdonné, ily a aumoins trois absents;• E 3
un jour donné,le nombre d'absentsest omprisentre trois etsix (bornesomprises).
3
. Caluler l'espérane mathématique notéeE ( X )
de la variable aléatoireX
. Quereprésente
E ( X )
?4
. On approhe laloibinomialedu 1.par une loide Poissonde paramètrenp
, oùn
etp
sont lesparamètres de ette loi binomiale.a
. En utilisant laloi de Poisson, déterminer les probabilités respetives des troisévénements
E1
,E2
etE3
de laquestion 1.b
. Vérier queles résultatsobtenus au4.dièrent de moins de 1% des résultats obtenus au1.9.20
Une entreprise fabriquant des meubles possède un par de mahines fontionnant sans arrêt. La probabilité pour une mahine déterminée de tomber en panne au oursd'une journée est
p = 0, 001
.1
. Calulerlaprobabilité pour une mahine déterminéede tomberen panneau moins une fois sur une période de trente jours.2
. Caluler la probabilité pour ette mahine de tomber en panne plus d'une fois au ours d'un mois de trente jours.3
. Leparest omposé den = 200
mahinesetlaprobabilitépourunede esmahines de tomberen panne au moinsune foisau ours du mois est de0, .03
.Soit X le nombre de mahines tombant au moins une fois en panne au ours du
mois.
a
. Déterminerla loide probabilité de X.b
. CalulerP (X = k)
,k ∈ 0, 1, 2
.c
. L'approximation par laloi de Poisson est-elle justiée? Quelleest laprobabilité pour que X soitinférieur à 3?Déterminerl'espérane mathématiqueet lavariane de X.
9.21
Un magasinde vente d'appareils de télévision assurependantdeux ans un servie après-vente gratuitUne statistiqueétablie sur 100 postes donneles résultatssuivants :Nombre d'interventions 0 1 2 3 4
Nombre de postes onernés 68 25 5 2 0
1
. Calulerl'espéranemathématiquedelavariablealéatoireXayantlesmêmesvaleursde 0à 4etpour probabilitéslesfréquenes assoiéesaunombre de postes(0,68;
· · ·
).
2
. Traer la représentation graphique de la fontion de répartition de X.3
. Comparerlesvaleursobtenues àellesdéduites d'uneloide Poissondemêmevaleur moyenne. CalulerlavarianeV(X); omparer àE(X).1 Variablesaléatoires . . . 1
2 Fontionde répartition . . . 2
3 Loibinomiale . . . 3
3.1 Épreuve de Bernoulli . . . 3
3.2 Shéma de Bernoulli . . . 4
3.3 Loi binomiale . . . 4
4 Loide Poisson . . . 4
5 Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson . . . . 5
6 Exeries. . . 5
6.1 Variablealéatoire . . . 5
6.2 Loi binomiale . . . 10
6.3 Loi de Poisson . . . 12
6.4 Approximation d'uneloi binomialepar une loide Poisson . . . 14