DE LA LOI BINOMIALE A LA LOI NORMALE. I.

TS

DE LA LOI BINOMIALE A LA LOI NORMALE.

I. A la main.

Une urne contient 3 jetons numérotés de 1 à 3. On choisit successivement et avec remise 4 jetons dans l urne. On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de jetons numérotés 1 obtenus.

1.

a. Déterminer la loi de X. Justifier.

b. Compléter le tableau suivant (arrondir à 10 ³ ) : k

P (X k )

c. Calculer l espérance de X et l écart type np (1 p) .

On construit le diagramme en bâtons de la variable aléatoire X puis on construit un histogramme à partir de ce diagramme en bâtons, chaque rectangle ayant pour aire la probabilité correspondante.

L aire totale de l histogramme est 1.

2. On pose Y X E( X).

a. Compléter le tableau suivant (arrondir à 10 ³ ) : k

P( Y k)

b. Déterminer l espérance de Y. On admet que l écart-type de Y est le même que celui de X.

On construit le diagramme en bâtons de la variable aléatoire Y et un histogramme, chaque rectangle ayant pour aire la probabilité correspondante.

L aire totale de l histogramme est 1.

3. On pose Z Y

a. Compléter le tableau suivant (arrondir à 10 ³ ) : k

P( Z k)

b. Déterminer l espérance de Z. On admet que l écart-type de Z est 1.

On veut construire, comme précédemment, un histogramme, chaque rectangle ayant pour aire la probabilité correspondante.

c. Quelle sera l aire de l histogramme ?

d. Quelle est la largeur de chacun des rectangles ? Quelle sera la hauteur du 1er rectangle ?

1 2 3 4

0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

-1 0

0 0,05 2 3 4 0

-1 0,2 0,3

0 1

0,1

x y

= 1,0 % 0.1 0.2 0.3

2 3

-1 -2

-3 0 1 x

y

= 1,0 % 0.1 0.2 0.3

2 -1

-2 0 1 x

y

TS On donne ci-dessous le diagramme en bâtons et l histogramme :

II. Avec un logiciel.

Soit X une variable suivant la loi binomiale de paramètres n et p.

On pose Y X E( X) et Z Y

, où est l écart type de X.

1. A l aide du logiciel géogébra, on construit comme dans le I. les histogrammes des lois de X, Y et Z.

On fait varier n et p. Commenter.

2. On trace la courbe représentative de la fonction définie sur par ( x) 1

2 e

x²

2 . Que

constate-t-on ?