Une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n 12 et p 0,3.

CALCUL MENTAL TS1 SEMAINE DU 8 AU 12 JUIN

CORRECTION

Lundi 08/06 :

Une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n 12 et p 0,3.

1) P( X 7) 0,029 d après la calculatrice 2) P( X 4) 0,724 d après la calculatrice

Pour les suivant s, l a calculatri ce ne donne pas di rect em ent l e résult at. On doit trans form er l expres s ion pour l a cal cul er.

3) P( X 6) P (X 7 ) 0,991

4) P( X 8 ) 1 P (X 8 ) 1 0,998 donc P (X 8) 0,002 5) P( X 3 ) 1 P( X 2 ) 1 0,253 donc P(X 3) 0,747 6) P( X 0 ) 1 P (X 0 ) 1 0,014 donc P (X 0) 0,986

Rem arque : P (X 0) 0,7 ¹² car, si on fait un arbre à 12 niveaux avec 2 issues à chaque niveau, le chemin correspondant à X 0 est celui du bas, avec 0,7 sur chaque branche (voir calcul mental de mardi).

Mardi 09/06 :

Une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p 0,3.

On peut représenter la situation par l arbre suivant où S représente le succès et S l échec :

P( X 0) 1 P( X 0).

(X 0) correspond au chemin du bas donc P (X 0) 0,7 ⁿ . On cherche donc n tel que 1 0,7 ⁿ 0,999.

1 0,7 ⁿ 0,999  0,7 ⁿ 0,001

 ln ( 0,7 ⁿ ) ln(0,001) car la fonction ln est strictement croissante sur +*.

 n ln(0,7) ln(0,001)

 n ln(0,001)

ln(0,7) car ln(0,7) 0 car 0 0,7 1.

ln(0,001)

ln(0,7) 19,4.

Le plus petit entier n tel que P(X 0) 0,999 est 20.

Mercredi 10/06 :

Pour tout entier n de , on note P _n l’événement : "une panne se produit le jour n ". On peut construire l arbre suivant (pour les jours n et n 1)

p n 1 P ( ^{P n 1} ) ^.

D après l arbre et la formule des probabilités totales : p n 1

3 5 p n

2

7 ( ^{1 p n} ) ³

5 p n

2 7

2 7 p n

11 35 p n

2 7 Jeudi 11/06 :

f est la fonction définie sur + par f (x) x 1 x 5 . On cherche la limite de f en .

On a une FI ( ) donc on transforme l expression de f( x). Pour cela, on utilise la quantité conjuguée.

Pour tout x de +, f( x) ( x 1 x 5 ) ( x 1 x 5 )

x 1 x 5

x 1 x 5 x 1 x 5

4 x 1 x 5 On pose X x 1. lim

x

X et lim

X

X donc lim

x

x 1 .

De meme, lim

x

x 5 donc lim

x

x 1 x 5 et donc lim

x

4

x 1 x 5 0, c est à dire lim

x

f (x ) 0.