V Douine – TS – Travail à distance 14 - CORRECTION
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Pile ou face
On joue à pile ou face cinq fois de suite. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois où on a obtenu face. Quelle loi suit la variable aléatoire X ? Donner ses paramètres.
X sui la loi binomiale de paramètres n=5 et p=1/2=0.5
Pour jouer à ce jeu, il faut payer 3€. On gagne 1€ à chaque fois qu’on obtient face lors des cinq lancers. On note Y la variable aléatoire représentant le gain algébrique. Exprimer Y en fonction de X. En déduire E(Y). Ce jeu est-il financièrement intéressant ? Quelle somme aurait-il fallu payer au départ pour que le jeu soit équitable ?
Y=X-3 car on reçoit 1 euro pour chaque « face » obtenu (ceci correspond à la variable aléatoire X qui compte le nombre de « face » au cours des 5 lancers) et qu’on a dépensé 3 euros au départ.
E(Y)=E(X)-3=5*0.5-3=2.5-3=-0.5<0
Pour qu’un jeu soit financièrement intéressant il faut que l’espérance de gain soit positive.
Ce n’est pas le cas donc le jeu n’est pas financièrement intéressant pour le joueur.
Pour qu’un jeu soit équitable il faut que l’espérance de gain ne soit ni positive ni négative c’est-à- dire nulle. Pour que cela arrive aurait fallu payer une somme égale à 2.5 euros.
Le tireur à l’arc
Un tireur à l’arc atteint sa cible neuf fois sur dix. Ce tireur participe à un concours primé. Il tire cinq flèches sur la cible. Pour chaque flèche, s’il atteint la cible, il gagne10€, sinon il perd 20€. On suppose que les tirs sont indépendants.
On appelle X le nombre de flèches ayant atteint la cible à l’issue des cinq tirs. Quelle loi suit la variable aléatoire X ? Donner ses paramètres. Déterminer la probabilité d’atteindre au moins deux fois la cible.
X suit une loi binomiale de paramètres n=5 et p=9/10=0.9 P(X>=2)=0.9995
On appelle Y la variable aléatoire égale au gain du joueur à l’issue des cinq tirs. Quelles sont les
valeurs prises par Y ? Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Y. Quel est le gain
moyen du tireur s’il participe un grand nombre de fois à ce concours ? Est-ce intéressant ?
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Y prend les valeurs -100 / -70 / -40 / -10 / 20 / 50
Deux façons de raisonner :
E(Y)=0*(-100)+0.0005*(-70)+0.0081*(-40)+0.0729*(-10)+0.3281*20+0.5905*50 E(Y)=34.999
Ou bien :
Y=10*X-20*(5-X) Y=10*X-100+20*X Y=30*X-100 Et donc :
E(Y)=30*E(X)-100 E(Y)=30*5*0.9-100 E(Y)=35
L’espérance de gain étant positive, oui ce jeu est intéressant.
Equitation
Lors d’un parcours d’équitation, un cavalier effectue un parcours de 1500 m à la vitesse de 10km/h et franchit sur ce parcours six obstacles indépendamment. Pour ce cavalier, la probabilité de franchir un obstacle sans faute est 2/3. Le passage d’un obstacle ne ralentit pas le cavalier, tandis qu’un passage avec faute lui fait perdre une minute.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre d’obstacles franchis sans fautes. Quelle est la loi de probabilité de X ? Calculer l’espérance de X. On appelle Y la variable aléatoire égale à la durée du parcours. Exprimer Y en fonction de X et donner son espérance. Interpréter ce résultat.
X suit une loi binomiale de paramètres n=6 et p=2/3 E(X)=6*2/3=12/3=4
On peut espérer franchir 4 obstacles sans faire de faute.
Sous –entendu on peut espérer faire 2 fautes sur les six obstacles.
La durée minimale du trajet est 9 minutes (1.5 km à la vitesse de 10 km/h).
Cela correspond à un trajet réalisé sans faire de faute.
Y=9+(6-X)*1=15-X E(Y)=15-E(X)=15-4=11
On peut espérer réaliser ce parcours en 11 minutes.
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Parier avec avantage Partie A – Avec un seul dé
On joue dans un premier temps avec un dé à six faces bien équilibré. On note X le nombre de six obtenus au cours des n lancers. Quel type de loi suit la variable aléatoire X ? Déterminer, en fonction de n, la probabilité d’obtenir au moins un six au cours des n lancers. Déterminer la valeur de n à partir de laquelle on pourra « parier avec avantage » sur l’obtention d’un six.
X suit une loi binomiale de paramètres n et p=1/6
1 1 0 1 5
6
n
p X p X
Je modélise la question par une inéquation d’inconnue n.
5 5 5
1 0, 5 0, 5 0, 5
6 6 6
ln 0, 5
ln 5 ln 0, 5 3,8
6 5
ln 6
n n n
n n n
A partir de 4 lancers on pourra parier avec avantage.
Partie B – Avec deux dés
On joue maintenant avec deux dés à six faces bien équilibrés. On note X le nombre de double six obtenus au cours des n lancers. Quel type de loi suit la variable aléatoire X ? Déterminer, en fonction de n, la probabilité d’obtenir au moins un double six au cours des n lancers. Déterminer la valeur n à partir de laquelle on pourra « parier avec avantage » sur l’obtention d’un double six.
X suit une loi binomiale de paramètres n et p=1/36
1 1 0 1 35
36
n
p X p X
Je modélise la question par une inéquation d’inconnue n.
35 35 35
1 0, 5 0, 5 0, 5
36 36 36
ln 0, 5
ln 35 ln 0, 5 24, 6
36 35
ln 36
n n n
