Examen 1 (solutions) 201-NYA Calcul Diff´erentiel
18 septembre 2019 Professeur : Dimitri Zuchowski
Question 1. (12%)
a) On doit retirer les valeurs dexqui font en sorte quex−2 = 0 et 2x2+3x+1 = 0 du domaine. C’est-`a-dire, x= 2 etx= −3±√
9−8
4 . Donc dom(f) =R/
−1,−1 2,2
b) L’int´erieur du radical doit ˆetre positif, donc 4−x≥0 qui est ´equivalent `ax≤4 d’o`u dom(g) =−∞,4].
Question 2. (6%)
(f◦g)(x) =p
x2−5 + 12
−p
x2−5 + 1 + 3 Question 3. (40%)
a) lim
x→2x3−6x2+ 4 = 8−24 + 4 =−12 b) lim
x→∞3−x = lim
x→∞
1 3x
1
∞= 0 c) lim
x→−3−
5
x2+ 6x+ 9 = lim
x→−3−
5
(x+ 3)2 =∞ et lim
x→−3+
5
x2+ 6x+ 9 = lim
x→−3+
5
(x+ 3)2 =∞ donc lim
x→−3
5
x2+ 6x+ 9 =∞ d) lim
x→−5
x+ 5
25−x2 = lim
x→−5
x+ 5
(5−x)(5 +x) = lim
x→−5
1
5−x = 1 10 e) lim
x→1
4x4−4x3−x2+ 7x−6 3x3−8x2+ 6x−1 = lim
x→1
(4x3−x+ 6)(x−1) (3x2−5x+ 1)(x−1) =−9 f) lim
x→3
1 x+1 −14
x2−2x−3 = lim
x→3
4
4(x+1) −4(x+1)x+1 (x−3)(x+ 1) = lim
x→3
4−(x+ 1)
4(x−3)(x+ 1)2 = lim
x→3
−(x−3) 4(x−3)(x+ 1)2
= lim
x→3
−1
4(x+ 1)2 =− 1 64 g) lim
x→6
2x2−10x−12
√6−√
x = lim
x→6
2(x2−5x−6)(√ 6 +√
x)
6−x = lim
x→6
2(x−6)(x+ 1)(√ 6 +√
x)
−(x−6)
= lim
x→6−2(x+ 1)(√ 6 +√
x) =−28√ 6 h) lim
x→∞
3x4−5x2+ 7
2x4−4x3+x−1 = lim
x→∞
x4 3− x52 + x74
x4 2−x4 +x13 −x14 = 3 2
1
page 2 Examen 1 (solutions)
Question 4. (18%) Pour x=−2 :
1) −2∈dom(f) car f(−2) = 3(−2)−7 =−13 2) lim
x→−2−f(x) = lim
x→−2−−x2+ 5 = 1 et lim
x→−2+f(x) = lim
x→−2+3x−7 =−13 Puisque lim
x→−2−f(x)6= lim
x→−2+f(x) la fonction n’est pas continue en x=−2 Pour x= 0 :
1) 0∈dom(f) carf(0) =−7 2) lim
x→0−f(x) = lim
x→0−3x−7 =−7 et lim
x→0+f(x) = lim
x→0+
x2+ 14x
−2x = lim
x→0+
x+ 14
−2 =−7
3) Puisque lim
x→0−f(x) = lim
x→0+f(x) et que lim
x→0f(x) =f(0), la fonction est continue en x= 0 Pour x= 1 :
1) 1∈/ dom(f) carf(1) = 30−30 4−4 = 0
Donc la fonction n’est pas continue en0 x= 1
Question 5. (12%)
Pour les asymptotes horizontales
x→∞lim
(x−1)(x2+ 4)
(x+ 7)(2x−1)(3x−3) = lim
x→∞
x 1−1x
x2 1 +x42
x 1 +x7
x 2−1x
x 3− 3x = lim
x→∞
1−x1
1 +x42
1 +x7
2−1x
3−x3 = 1 6 et
x→−∞lim
(x−1)(x2+ 4)
(x+ 7)(2x−1)(3x−3) = lim
x→−∞
1−x1
1 +x42
1 +7x
2− 1x
3−x3 = 1 6 Donc il y a une asymptote horizontale eny= 1
Pour les asymptotes verticales, les candidats sont les valeurs de6 x qui rendent le d´enominateur z´ero, soit x=−7,1
2 et 1.
x→1lim
(x−1)(x2+ 4)
(x+ 7)(2x−1)(3x−3) = lim
x→1
(x−1)(x2+ 4)
(x+ 7)(2x−1)3(x−1) = lim
x→1
(x2+ 4)
3(x+ 7)(2x−1) = 5 24
x→−7lim−
(x−1)(x2+ 4)
(x+ 7)(2x−1)(3x−3) = lim
x→−7−
(x2+ 4)
3(x+ 7)(2x−1) = 53
3(0−)(−15) =∞ lim
x→12−
(x−1)(x2+ 4)
(x+ 7)(2x−1)(3x−3) = lim
x→12−
(x2+ 4) 3(x+ 7)(2x−1)=
17 4
3 152
(0−) =−∞
Donc il y a des asymptotes verticales en x=−7 etx= 1 2 .
Calcul Diff´erentiel – 201-NYA – Automne 2019
Examen 1 (solutions) page 3
Question 6. (12%)
Plusieurs graphes sont possible mais en voici un :
Calcul Diff´erentiel – 201-NYA – Automne 2019
