On peut interpr´eter g´eom´etrique- ment cette valeur comme ´etant la pente de la droite tangente `a la fonction au point (a, f(a

Examen 2 (solutions) 201-NYA Calcul Diff´erentiel

21 octobre 2019

Professeur : Dimitri Zuchowski

Question 1. (5%)

C’est le taux de variation instantan´e ;f⁰(a) = lim

∆x→0

f(a+ ∆x)−f(a)

∆x . On peut interpr´eter g´eom´etrique- ment cette valeur comme ´etant la pente de la droite tangente `a la fonction au point (a, f(a)).

Question 2. (10%)

f⁰(2) = lim

h→0

f(2 +h)−f(2)

h = lim

h→0

p2(2 +h) + 3−p

2(2) + 3

h = lim

h→0

√7 + 2h−√ 7 h

= lim

h→0

(√

7 + 2h−√ 7)(√

7 + 2h+√ 7) h(√

7 + 2h+√

7) = lim

h→0

7 + 2h−7 h(√

7 + 2h+√

7) = lim

h→0

2h h(√

7 + 2h+√ 7)

= lim

h→0

√ 2

7 + 2h+√

7 = 2 2√

7 =

√ 7 7

Question 3. (10%)

f⁰(x) = 1

x²−1 0

= (x²−1)⁻¹0

=−(x²−1)⁻²(2x) = −2x (x²−1)²

et donc f⁰(2) = −4

(3)² = −4

9 . L’´equation de la droite a donc la forme y = −4

9x+b et passe par le point

2,1 3

. D’o`u 1 3 =−4

9(2) +b=⇒b= 1 3 +8

9 = 11

9 . L’´equation de la droite est

y=−4 9x+11

9

Question 4. (35%) a) f⁰(x) = 21x⁶−28

3 x¹³ + 21x⁻⁴+ 0

b) f⁰(x) = 10x⁴p

3x⁵+x+(2x⁵−2)(15x⁴+ 1) 2√

3x⁵+x

c) f⁰(x) = (2x−3)(2x−5)−(x²−3x)(2) (2x−5)²

d) f⁰(x) = 50(8x³−6x)⁴⁹(24x²−6)

1

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e) f⁰(x) =

(12x²+ 5)(x²−5)√³

x⁷+ 2−(4x³+ 5x)

2x√³

x⁷+ 2 + (x²−5) ^7x6

3√³

(x⁷+2)²

(x²−5)²p³

(x⁷+ 2)²

Question 5. (20%) a)

f⁰(x) = 7(x²−2)⁶(2x)(5x−7)⁹+ (x²−2)⁷9(5x−7)⁸(5) = 14x(x²−2)⁶(5x−7)⁹+ 45(x²−2)⁷(5x−7)⁸

= (x²−2)⁶(5x−7)⁸ 14x(5x−7) + 45(x²−2)

= (x²−2)⁶(5x−7)⁸ 70x²−98x+ 45x²−90

= (x²−2)⁶(5x−7)⁸ 115x²−98x−90

b)

f⁰(x) =

1 2√

x(√

x+ 1)−₂^√1_x(√ x−1) (√

x+ 1)² = (√

x+ 1)−(√ x−1) 2√

x(√

x+ 1)² = 2 2√

x(√

x+ 1)² = 1

√x(√ x+ 1)²

Question 6. (10%)

2(x³y²)⁰− 3x

y 0

= (5)⁰−(y³)⁰

2(3x²y²+x³2yy⁰)−3y−3xy⁰

y² = 0−3y²y⁰ 2y²(3x²y²+x³2yy⁰)−3y−3xy⁰ =−3y⁴y⁰

6x²y⁴+ 4x³y³y⁰−3y−3xy⁰=−3y⁴y⁰ (4x³y³−3x+ 3y⁴)y⁰ = 3y−6x²y⁴

y⁰ = 3y−6x²y⁴ 4x³y³−3x+ 3y⁴

Question 7. (10%)

f⁰(x) = 1

2(x²−3)⁻¹²(2x) =x(x²−3)⁻¹² f⁰⁰(x) = (x²−3)⁻¹² +x

−1

2(x²−3)⁻³²(2x)

= (x²−3)⁻¹² −x²(x²−3)⁻³²

f⁰⁰⁰(x) =

−1

2(x²−3)⁻³²(2x)

−2x(x²−3)⁻³² −x²

−3

2(x²−3)⁻⁵²(2x)

=−x(x²−3)⁻³² −2x(x²−3)⁻³² + 3x³(x²−3)⁻⁵²

=−3x(x²−3)⁻³² + 3x³(x²−3)⁻⁵²

Calcul Diff´erentiel – 201-NYA – Automne 2019