Examen de Calcul diff´erentiel et Analyse num´erique - Session 2

L3 Math´ematiques 20 Juin 2016

Examen de Calcul diff´erentiel et Analyse num´erique - Session 2

Dur´ee: 3h. Aucun document ni calculatrice autoris´e.

Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme faux.

Le barˆeme suivant est donn´e `a titre indicatif : 7+6+7=20.

Exercice 1. Soit f : [0,2] → R de classeC⁴. On notera R³[X] l’ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a3.

a)Montrer que l’applicationϕ: R³[X]→ R⁴ d´efinie parϕ(P) = (P(0), P⁰(0), P⁰⁰(0), P(2))est un isomorphisme.

b)En d´eduire qu’il existe un unique polynˆomeP_f ∈R3[X]tel que

P_f(0) =f(0), P_f⁰(0) =f⁰(0), P_f⁰⁰(0) =f⁰⁰(0) et P_f(2) =f(2).

c)Soitx∈]0,2[fix´e. On d´efinit les fonctionsR,ΠetF sur[0,2]par

R(t) = f(t)−P_f(t), Π(t) =t³(t−2) et F(t) =R(t)Π(x)−R(x)Π(t).

i) CalculerF⁰(0)etF⁰⁰(0).

ii) Montrer queF s’annule en3points distincts que l’on pr´ecisera.

iii) En d´eduire que F⁰ s’annule en 3 points distincts, puis que F⁰⁰ s’annule ´egalement en 3 points distincts et enfin qu’il existeξ ∈]0,2[tel queF⁽⁴⁾(ξ) = 0.

iv) Montrer queR(x) = _4!¹f⁽⁴⁾(ξ)Π(x).

d)Montrer que|Π(t)| ≤ ²⁷₁₆ pour toutt ∈[0,2]. En d´eduire la majorationkf −P_fk∞ ≤ 9M4

128 o`u M₄ = max

t∈[0,2]|f⁽⁴⁾(t)|.

e)Montrer quekf −P_fk₁ ≤ M₄ 15. f)On prend la fonctionf(x) = x⁴.

i) Calculer le polynˆomeP_f.

ii) Calculerkf−P_fk∞etkf −P_fk₁. Que peut-on en conclure sur les majorations obtenues au d) et au e).

Exercice 2. Soitf :R² →Rla fonction d´efinie parf(x, y) = x²+ 2xy.

a)Montrer quef poss`ede un unique point critique et d´eterminer sa nature (minimum local, maxi- mum local ou point selle).

SoientD={(x, y)∈R²|2x²+y² ≤3}etΓ ={(x, y)∈R²|2x²+y² = 3}.

b)Montrer quef admet un minimum et un maximum global surD.

c)En utilisant le r´esultat de la question a), justifier que ces extrema sont atteints sur l’ensembleΓ.

d)Enoncer le th´eor`eme des extremas li´es.

e)D´eterminer le minimum et le maximum global def surΓ(et donc surD).

TSVP

Exercice 3. On consid`ere l’espaceE = C⁰([0,1]) des fonctions continues sur [0,1] muni de la normekfk∞= sup

x∈[0,1]

|f(x)|. On consid`ere l’applicationϕ:E →Rd´efinie par

ϕ(f) = Z 1

0

sin(xf(x)) dx.

a)Montrer que pour tousaettdansRon a

|sin(a+t)−sin(a)−tcos(a)| ≤ t² 2.

b)Soitf ∈E. Montrer queϕest diff´erentiable enf de diff´erentielle l’application L:h7→L(h) =

Z 1

0

xh(x) cos(xf(x)) dx.

c)Montrer queϕest de classeC¹. Indication: on pourra appliquer l’in´egalit´e des accroissements finis `a la fonctioncos.