L3 Math´ematiques 6 Mai 2015
Examen de Calcul diff´erentiel et Analyse num´erique
Dur´ee: 4h. Aucun document ni calculatrice autoris´e.
Tout r´esultat non justifi´e sera consid´er´e comme faux.
Le barˆeme suivant est donn´e `a titre indicatif : 3+5+3+3+6=20.
Exercice 1. SoitE = C0([0,1]) l’ensemble des fonctionsf continues sur[0,1]. On munitE du produit scalaire
hf, gi= Z 1
0
f(x)g(x) dx.
On note (Pn)n la suite de polynˆomes unitaires orthogonalis´es `a l’aide de la m´ethode de Gram- Schmidt, en partant de la base canonique deRn[X].
a)Calculer les polynˆomesP0,P1 etP2.
b)D´eterminer le polynˆome de meilleure approximation de degr´e au plus de2de la fonctionf(x) =
√xpour la norme deEissue du produit scalaire consid´er´e.
Exercice 2. On consid`ere l’´equation diff´erentielle
y0(t) = sin(t2+y(t)), y(0) = 1.
a)Montrer que la fonction ∂f
∂y(t, y)est born´ee et donner un majorant de sa valeur absolue.
b)En d´eduire l’existence et l’unicit´e d’une solution maximale `a l’´equation diff´erentielle. Sur quel intervalle cette solution est-elle d´efinie? Justifier votre r´eponse.
Etant donn´eT >0, on consid`ere sur[0, T]le sch´ema num´erique (
yn+1h −ynh = hsin
tn+h22
+ynh+h2 sin(t2n+ynh)
, n = 0, . . . , N −1, y0h = 1 +h,
o`uh = NT ettn =nh,n= 0, . . . , N −1.
c)Donner la fonctionφ(t, y, h)d´efinissant le sch´ema sous la formeyhn+1 =yhn+hφ(tn, yhn, h).
d) Montrer que ce sch´ema est consistant et stable. On pr´ecisera une valeur de la constante de stabilit´eS (on pourra noter qu’on a toujours0≤h≤T).
e)Montrer que ce sch´ema est d’ordre au moins2.
f) Donner une majoration de l’erreur de discr´etisation sup
n=0,...,N
|y(tn) −ynh| en O(hp) o`u p est `a pr´eciser.
TSVP
Exercice 3.
a)Soit(E,k · k)un espace de Banach etF un sous-espace vectoriel deE. Montrer que(F,k · k) est un espace de Banach si et seulement siF est ferm´e.
Dans la suite on noteE =C0([0,1])l’espace des fonctions continues sur[0,1], muni de la norme kfk∞= sup
x∈[0,1]
|f(x)|, et on rappelle que(E,k · k∞)est un espace de Banach.
b)SoitF ={f ∈E|f(0) = 0}. Montrer que(F,k · k∞)est un espace de Banach.
c)SoitGle sous-espace vectoriel deEform´e par les fonctions polynˆomes. Montrer que(G,k·k∞) n’est pas un espace de Banach. Indication: penser au th´eor`eme de Weierstrass.
Exercice 4. Montrer que l’´equationx3+y3−3xy= 1d´efinit implicitement une fonctiony =g(x) de classeC2au voisinage du point(0,1)et donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 degen0.
Exercice 5. On note E =C0([0,2]) l’espace des fonctions continues sur[0,1], muni de la norme kfk∞ = sup
x∈[0,2]
|f(x)|, et on rappelle que (E,k · k∞) est un espace de Banach. On s’int´eresse `a l’´equation
y(x)+
Z x
0
s
4y(s) +y(s)2
ds=g(x), ∀x∈[0,1], (1)
o`ug ∈ E est donn´ee ety ∈ E est l’inconnue. Le but de cet exercice est de montrer que si kgk∞
est assez petite alors l’´equation ci-dessus admet au moins une solution dans E. On consid`ere l’applicationΦ :E → E suivante. Etant donn´ef ∈ E, Φ(f) : [0,2] → Rest la fonction d´efinie par
Φ(f) :x7→f(x) + Z x
0
s
4f(s) +f(s)2 ds.
a)Justifier rapidement que sif ∈E on a bienΦ(f)∈E.
b)Soitf ∈ E. Montrer queΦest diff´erentiable enf de diff´erentielle l’applicationL:h 7→L(h) o`u, pour touth∈E,L(h) : [0,2]→Rest la fonction donn´ee par
L(h) :x7→h(x) + Z x
0
s
4h(s) + 2f(s)h(s) ds.
c)Montrer queΦest de classeC1 surE.
d)Enoncer le th´eor`eme d’inversion locale.
e)ExpliciterDΦ(0)et montrer que|||DΦ(0)−IdE||| ≤ 12, o`uIdE d´esigne l’application identit´e deE.
f)Donner la valeur deΦ(0). A l’aide du th´eor`eme d’inversion locale, montrer qu’il existeε > 0 tel que pour toutg ∈Ev´erifiantkgk∞ < εl’´equation(1)poss`ede une solutiony∈E.
g)Montrer qu’on a en fait|||DΦ(0)−IdE|||= 1 2.
