Examen final analyse num´erique

Examen final analyse num´erique

Exercice 1 : D´eterminer la meilleure approximation d’ordre 1 pour la norme de la convergence uniforme, de la fonction

f(x) = x+x^1/2 sur l’intervalle [0,1].

Exercice 2 : Montrer que sif ∈ C¹([0,4]) il existe un et un seul polynome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 4 ou nul tel que

P_f(1) =f(1), P_f(2) =f(2), P_f(3) =f(3) P_f⁰(1) =f⁰(1), P_f⁰(2) =f(2)

On d´efinit P_i pour i = 1,2,3 et Q_j pour j = 1,2 comme les polynomes de degr´e inf´erieur ou´egal `a 5 tels que pour i= 1,2,3

Pi(j) = δ_i^j, j ∈ {1,2,3}P_i⁰(1) =P_i⁰(2) = 0 Q_j(i) = 0, i∈ {1,2,3}, Q⁰_j(k) =δ_j^k, k = 1,2, j = 1,2 o`u on rappelle la d´efinition du symbole de Kronecker

δ^j_i = 1,si i=j, = 0 sinon

Exprimer le polynome P_f en fonction des P_i et Q_j et de f(1), f(2), f(3), et f⁰(1) et f⁰(2).

Exercice 3 :

On consid`ere l’´equation diff´erentielle (1)

y⁰(t) = y(t)t 1 +y(t)²+t²

1

sur ]0,1[

y(0) = 1

Montrer que la fonctonf(t, y) = _1+y^yt2+t² satisfait|∂_yf|(t, y)≤ ¹₂. En d´eduire qu’elle est Lipschitzienne par rapport `a la deuxi`eme variable, uniform´ement par rapport `a t∈[0,1].

On consid`ere l’approximation par diff´erences finies : N ∈IN, h = _N+1¹ , n ∈ {1,2,· · ·N},

y^h_n+1−y^h_n=h nhy_n^h

1 + (y^h_n)²+ (nh)²+h²/2 (1 + (y^h_n)²)²y_n^h+ (nh)²(1−(y_n^h)²)y^h_n (1 + (y_n^h)²+ (nh)²)³

!

y^h₀ = 1 +h²

D´eterminer φ telle que le sch´ema puisse s’crire y_n+1^h = y^h_n +hφ(tn, y_n^h, h), o`u t_n = nh. Montrer que le sch´ema est consistant et stable (on pourra

´

etudier^∂φ_∂y(t, y, h).

Montrer que le sch´ema est d’ordre 2. En d´eduire en utilisant le cours une majoration de l’erreur

e^h_n =y(nh)−y_n^h de la forme

e_n =O(h^α) avec un α `a pr´eciser le meilleur possible.

2