Analyse Num´ erique

E

N

I

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Analyse Num´ erique

S´erie d’exercices n^◦ : 4

Exercice 1

SoitA∈ Mn(R) une matrice sym´etrique d´efinie positive. Soient b∈Rⁿ et le syst`eme (S) :Ax=b.

Soient 0< λ₁≤λ₂≤. . .≤λ_n les valeurs propres de A.

1–Montrer que l’algorithme du gradient `a pas constantα, pour la r´esolution de (S) converge (pour tout choix dex⁽⁰⁾) si et seulement si : 0< α < 2

λ_n.

2–En d´eduire que si il existeM >0 tel quekAxk2≤Mkxk2,∀x∈Rⁿ, alors l’algorithme pr´ec´edent converge siα∈]0, 2

M[.

3–D´eterminer la valeur optimaleα^∗ deαqui assure la convergence la plus rapide de l’algorithme pr´ec´edent et v´erifer que :

ρ(I−α^∗A) = Cond2(A)−1 Cond₂(A) + 1

Exercice 2

Soit (S) :Ax=b, avec :

A=





2 0 1 0 2 0 1 0 2



 et b=



 3 2 3





1–On consid`ere l’algorithme du gradient `a pas constantαappliqu´e `a (S).

1–aPour quelles valeurs deαl’algorithme converge-t-il ?

1–bD´eterminer la suite (x^(k))k g´en´er´ee par l’algorithme, lorsquex⁽⁰⁾= (0,0,0)^tet α=1 2.

2–Faire 3 it´erations de l’algorithme du gradient `a pas optimal pour la r´esolution de (S) avecx⁽⁰⁾= (0,0,0)^t. 3–R´esoudre (S) par la m´ethode du gradient conjugu´e.

Analyse Num´erique – S´erie 4 2

Exercice 3

SoientA∈ Mn(R) une matrice inversible etb∈Rⁿ. On consid`ere le syst`eme lin´eaire

(1) Ax=b

dont on notera ¯xsa solution.

1–V´erifier que le syst`eme (1) est ´equivalent au syst`eme :

(2) A^TAx=A^Tb

2–Montrer que la matriceA^TAest sym´etrique d´efinie positive.

3–Pour r´esoudre le syst`eme (1), on consid`ere la m´ethode du gradient `a pas constant appliqu´ee au syst`eme (2) : (3)

x⁽⁰⁾∈Rⁿ

x^(k+1)=x^(k)−r∇J(x^(k)), k≥0 o`ur∈R^∗+ etJ(·) est la fonctionnelle d´efinie surRⁿ par :

J(x) = 1

2(A^TAx, x)−(A^Tb, x) (·,·) d´esigne le produit scalaire euclidien dansRⁿ.

3–aDonner l’expression de∇J(x) en fonction deA,A^T et b.

3–bMontrer que la m´ethode du gradient `a pas constant (3) est convergente, si et seulement si 0< r < 2 kAk<sup>2</sup><sub>2</sub>, o`uk · k₂ d´esigne la norme matricielle subordonn´ee `a la norme vectorielle k · k₂. Quelle est dans ce cas la limite de la suite (x^(k))_k≥0 d´efinie par (3) ?

3–cOn noteg^(k)=∇J(x^(k)). Soitε >0, montrer que kg^(k)k2

kA^Tbk2

≤ε=⇒ kx^(k)−xk¯ 2

k¯xk2

≤ε[cond2(A)]² o`u cond2(A) =kAk2kA⁻¹k2 et ¯xd´esigne la solution de (2) (ou de (1)).

3–dEcrire l’algorithme de la m´ethode du gradient `a pas constant appliqu´ee au syst`eme (2).

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