Analyse Num´erique
Examen M´edian Automne 2003
Bar`eme provisoire: 6 6 8.
1. Applications lin´eaires
Soit B = {e−t,2te−t,t2e−t}, une base d’un espace vectoriel de fonctions F. Soit D l’op´erateur diff´erentiel qui `a un ´element f de F associe ∂f∂t ´egalement dansF.
(a) D´emontrer que la matriceA associ´ee `a l’application lin´eaireD dans la baseB est :
A=
0 0 0 0 0 0 0 0 0
(b) D´emontrer que l’applicationDest bijective.
(c) D´eterminer si l’application D est diagonalisable ou non, et le cas ´ech´eant, en d´eduire la base E={ei} telle que :
D(ei) =λiei, ∀i
(d) Citer une m´ethode permettant de trouver le pr´eimage d’une fonctionf donn´ee dansF. En d´eduire le pr´eimage def =e−t+ 2te−t+t2e−t.
2. Projection et Applications lin´eaires
SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels deE tels queE =F+GetF∩G={0}.
Montrez que si x∈E, alors il existe deux vecteurs uniques y∈F etz∈F tels que x= y+ z. Soit l’applicationu:E −→F telle que u(x) =y:
- Montrez que u est une application lin´eaire.
- Calculez le noyau et l’image deu.
- Donnez leur dimension et v´erifier le r´esultat dimE= dim(Ker(u))+dim(Im(u))
3. Vecteurs Propres, Valeurs propres
Soit A∈ Mn,p etB ∈ Mp,n deux matrices `a ´el´ements dans Retn≤p:
(a) Montrer queλest valeur propre non nulle deAB si et seulement siλest valeur propre non nulle deBA. Expliciter les relations entre les vecteurs propres
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(b) Montrer que siλ= 0 est valeur propre de AB alorsλ= 0 est valeur propre de BA. (On distinguera le cas Bx 6= 0 et le cas Bx= 0. Pour ce dernier cas, on distinguera ´egalement le cas ImA=Rn etImA6=Rn).
(c) En d´eduire les conditions et les justifications pour lequel le spectre de BA est
´egal `a celui de AB.
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