Analyse Num´ erique

E

N

I

T

Analyse Num´ erique

S´erie d’exercices n^◦ : 6

Exercice 1

Illustrer graphiquement la m´ethode du point fixe pour r´esoudre l’´equation x=g(x), dans les 4 cas suivants : g⁰(α)<−1,−1< g⁰(α)<0, 0≤g⁰(α)<1 etg⁰(α)>1, o`uαest un point fixe deg.

Exercice 2

SoitA >0. Montrer que x0 donn´e, xn+1 = 1

2(xn+ A

x_n), pourn≥0, est une m´ethode de Newton permettant de calculer√

A. L’utiliser pourA= 3 avecx0= 1 (5it´erations). Remarque?

Exercice 3

Soitg: [a, b]→[a, b] (a, b∈R) une fonction de classeC¹ telle queM ≡ max

x∈[a,b]|g⁰(x)|<1.

1–On consid`ere la suite (x_n)_n≥0 d´efinie par :

x0∈[a, b], xn+1=g(xn), n≥0 Montrer que la suite (xn)_n≥0 converge vers l’unique point fixeαdeg.

2–Montrer que pour toutn∈N, il existeε_n tel que

en+1= (g⁰(α) +εn)en avec lim

n→+∞εn= 0 o`ue_n =x_n−α.

3–On consid`ere la suite (yn)_n≥0 d´efinie par :

y_n =x_n− (x_n+1−x_n)² xn+2−2xn+1+xn

, n≥0 Montrer que lim

n→+∞

y_n−α xn−α = 0

4–Comparer la vitesse de convergence des deux suites (xn)_n≥0 et (yn)_n≥0.

Exercice 4

SoitP(x) = (x−α₁)(x−α₂)· · ·(x−α_n), o`uα₁< α₂<· · ·< α_n sont des r´eels donn´es.

Soit x_o donn´e dans R tel que x_o > α_n et soit (x_k)_k≥0 la suite g´en´er´ee par la m´ethode de Newton pour la r´esolution de l’´equationP(x) = 0.

1–Montrer quexk > αn, pour k≥1, et que la suite (xk)_k≥0est d´ecroissante.

2–En d´eduire que la suite (xk)_k≥0 est convergente et que sa limite estαn.

Exercice 5

On suppose que l’´equation

(1) f(x) =g(x)

admet une unique solution simpleαsur [a, b],o`uf etg sont monotones et d´erivables.

1) D´emontrer que si |g⁰(α)

f⁰(α)|<1, alors la m´ethode it´erative x0 donn´e,f(xn+1) =g(xn),n≥0

est convergente.

2) Si la condition pr´ec´edente n’est pas satisfaite, proposer une m´ethode it´erative convergente.

Analyse Num´erique – S´erie 6 2

Exercice 6

On consid`ere l’´equation : f(x) = 0, o`uf est une fonction de classeC³ au voisinage d’une racine doublerdef (i.e. f(r) =f⁰(r) = 0 etf⁰⁰(r)6= 0).

1–Montrer que la m´ethode de Newton pour la recherche derest localement convergente et est d’ordre 1.

2–On propose alors de ”modifier” la m´ethode de Newton, en consid´erant la suite (x_k) d´efinie par : xk+1=xk−2f(xk)

f⁰(xk)

Montrer que la m´ethode de Newton ainsi ”modifi´ee” est localement convergente et est d’ordre 2.

Exercice 7

Pour r´esoudref(x) = 0, on dispose d’une m´ethode d’approximations successives qu’on suppose convergente et d’ordrep.

(1) x₀ donn´e;x_n+1=F(x_n) n≥0 On consid`ere la suite (yn) d´efinie par la m´ethode d’approximations successives

(2)







y0=x0 yn+1= Φ(yn) n≥0 avec Φ(y) =^yFF(F(y)−2F(y)+y^{(F(y))−(F(y))2}

D´emontrer que la m´ethode (2) est d’ordre 2p−1 au moins.

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