Analyse Num´ erique

E

N

I

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Analyse Num´ erique

S´erie d’exercices n^◦ : 7

Exercice 1

Soient f : [a, b] ⊂ R→ R une fonction de classe Cⁿ et P son polynˆome d’interpolation de Lagrange aux pointsx0, . . . , xn de [a, b] (n∈N^∗,xi6=xj pouri6=j).

1–Montrer qu’il existeξ∈[a, b] tel quef⁽ⁿ⁾(ξ) =P⁽ⁿ⁾(ξ).

2–En d´eduire que

f[x0,· · ·, xn] = f⁽ⁿ⁾(ξ) n!

o`uf[x0,· · ·, xn] d´esigne la diff´erence divis´ee def aux pointsx0, . . . , xn.

Exercice 2

On se donne une fonction f d´efinie surRet (n+ 2) points distinctsx0, . . . , x_n−1, a, bdeR.

Soient P_a et P_b les deux polynˆomes d’interpolation de Lagrange de f respectivement aux points x₀, . . . , x_n−1, aetx₀, . . . , x_n−1, b:

Pa(xi) = f(xi) i= 0, . . . , n−1 Pa(a) = f(a)

Pb(xi) = f(xi) i= 0, . . . , n−1 Pb(b) = f(b)

SoitP le polynˆome d’interpolation de Lagrange def aux pointsx0, . . . , x_n−1, a, b.

Donner l’expression deP en fonction deP_a,P_b,aetb.

Exercice 3

Soientf et ¯f deux fonctions continues sur [a, b] `a valeurs r´eelles etx0, ..., xn, (n+ 1) points distincts de [a, b]

(n∈N^∗). On note parP_n (respectivement ¯P_n) le polynˆome d’interpolation de Lagrange def (respectivement f¯) aux pointsx₀, ..., x_n.

1. Rappeler l’expression deP_n(respectivement ¯P_n) en fonction deL_i(x) etf(x_i) (respectivement ¯f(x_i)), o`u L_i(x) =

n

Y

j= 0 j6=i

x−xj

x_i−x_j, i= 0, ....n.

2. Montrer que

||Pn−P¯n||_∞≤Λn||f−f¯||_∞ o`u Λn =||

n

X

i=0

|Li| ||∞. 3. En d´eduire que

||f−Pn||∞≤(1 + Λn) inf

q∈Pn

||f−q||∞

(Notation: ||g||∞= max

x∈[a,b]|g(x)|; Pn = l’ensemble des polynˆomes de degr´e≤n).

Analyse Num´erique – S´erie 7 2

Exercice 4

Soitaet bdeux r´eels etf : [a, b]→Rune fonction de classeC³. On souhaite approcherD2f ≡f⁰⁰(^a+b₂ ) par une expression du type :

∆2f ≡λ0f(a) +λ1f(a+b

2 ) +λ2f(b) de telle sorte queE(f)≡D2f−∆2f v´erifie :

(1) ∀P ∈ P2, E(P)≡D2P−∆2P = 0

On supposera dans toute la suite que les r´eelsλ0, λ1 etλ2sont tels que la propri´et´e (1) soit v´erifi´ee.

1– Montrer que f[a,^a+b₂ , b] = ¹₂∆2f, o`u f[a,^a+b₂ , b] d´esigne la diff´erence divis´ee d’ordre 2 de f aux points a,^a+b₂ , b.

2–SoitP_f le polynˆome d’interpolation de Lagrande def aux pointsa,^a+b₂ , bet r(x) =f(x)−P_f(x).

2–aMontrer qu’il existec∈[a, b] tel quer⁰⁰(c) = 0.

2–bMontrer queE(f) =r⁰⁰(^a+b₂ ).

2–cEn d´eduire que

|E(f)| ≤ b−a

2 sup

x∈[a,b]

|f⁰⁰⁰(x)|

3–Calculer les r´eels λ0, λ1, λ2en fonction deaetb pour que la propri´et´e (1) soit v´erifi´ee.

Exercice 5

Soientn∈N^∗ ett0, t1, . . . , tn (n+ 1) points distincts de [−1,1].

Soient f une fonction d´efinie sur [−1,1] de classeC²ⁿ⁺² etP son polynˆome d’interpolation d’Hermite aux pointst0, t1, . . . , tn v´erifiant : ∀i= 0, . . . , n, P(ti) =f(ti) , P⁰(ti) =f⁰(ti)

1– Montrer que pour tout t ∈ [−1,1], il existe ξt ∈ [−1,1] (d´ependant de t) tel que l’erreur d’interpolation E(t) =f(t)−P(t) soit donn´ee par :

E(t) = f⁽²ⁿ⁺²⁾(ξt)

(2n+ 2)! Π2n+2(t), o`u Π2n+2(t) =

n

Y

i=0

(t−ti)².

Indication : On pourra consid´erer, pourtfix´e ett6=ti, i= 0, . . . , n, la fonctionF d´efinie pourx∈[−1,1] par :

F(x) =E(x)− E(t)

Π2n+2(t)Π2n+2(x)

2–On consid`ere les (2n+ 2) polynˆomesH_iet K_i, 0≤i≤n, d´efinis par :

H_i(t) = (t−t_i)L²_i(t) , K_i(t) = [1−2(t−t_i)L⁰_i(t_i)]L²_i(t) o`u les polynˆomes de LagrangeLi sont donn´es par :

Li(t) =

n

Y

j=0 j6=i

t−tj

t_i−t_j, i= 0,1, . . . , n 2–aCalculerHi(tj),Ki(tj),H_i⁰(tj),K_i⁰(tj), pouri, j= 0,1, . . . , n.

2–bSoitW le polynˆome d´efini par : W(t) =Pn

j=0f(tj)Kj(t) +Pn

j=0f⁰(tj)Hj(t)

Calculer W(ti) et W⁰(ti), pour i = 0, . . . , n. En d´eduire que W =P, o`u P est le polynˆome d’interpolation d’Hermite def aux pointst0, t1, . . . , tn.

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