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coleN
ationale d’I
ng´enieurs deT
unis 2008-2009Analyse Num´ erique
S´erie d’exercices n◦ : 5
Exercice 1
SoitA ∈ Mn(R) et (λ, u) un ´el´ement propre de A : Au=λu, tel que u1 = 1. Soit B la matrice d´efinie par B=A−uat, o`uatest la premi`ere ligne deA.
1. Montrer queatu=λ.
2. Montrer que la premi`ere ligne deB est identiquement nulle et queBu= 0.
3. Soit (β, v) un ´el´ement propre deAtel queβ6=λetv1= 1. Montrer que (β, v−u) est un ´el´ement propre de B.
4. En d´eduire que les ´el´ements propres deB sont (0, u) et (β, w), o`u w=v−u.
5. SoitBe∈ Mn−1(R) etwe∈Rn−1 donn´es par : B =
0 O
∗ Be
, w= 0
we
Montrer que (β,w) est un ´e el´ement propre deB.e
6. Soient (λi, u(i))1≤i≤n les ´el´ements propres deAv´erifiantu(i1)= 1 et|λ1| ≤ · · · ≤ |λn−1|<|λn|.
En utilisant ce qui pr´ec`ede, donner une m´ethode qui permet de calculerλn−1 etλn ainsi queu(n−1)et u(n).
Exercice 2
SoientAet B deux matrices carr´ees d’ordren`a coefficients r´eels. On d´efinit l’ensemble S ={λ∈C/il existe x∈Cn\{0}, Ax=λBx}
On d´esire d´eterminer l’´el´ement de S, not´es(A, B), le plus petit en module.
1–Montrer que siAest non inversible, alorss(A, B) = 0.
2–Dans la suite, on supposera queAetB sont inversibles.
En utilisant la m´ethode de la puissance, donner un algorithme permettant de d´eterminers(A, B) et pr´eciser les hypoth`eses permettant d’assurer la convergence de cet algorithme.
Exercice 3
SoitA∈ Mn(R) une matrice sym´etrique dont on connait une valeur propre λet un vecteur propre associ´eu de normekuk2= 1, o`uk · k2d´esigne la norme euclidienne deRn.
SoitB∈ Mn(R) la matrice d´efinie parB=A−λuut.
1–Montrer que 0 est une valeur propre deB de vecteur propre associ´eu.
2–Soitβ une autre valeur propre deA(β6=λ) de vecteur propre associ´ev.
Montrer queβ est une valeur propre deB de vecteur propre associ´ev.
3–Soientλ1, λ2, . . . , λn les valeurs propres deA, compt´ees avec leur ordre de multiplicit´e, v´erifiant :
|λ1| ≤ |λ2| ≤ · · · ≤ |λn|
En utilisant la m´ethode de la puissance, donner une m´ethode qui permet de calculerλn etλn−1et pr´eciser les hypoth`eses sous lesquelles la m´ethode propos´ee converge.
