Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009
Analyse Num´ erique
TD 8
EXERCICE 1
Convergence de m´ethodes it´eratives lin´eaires
1.1 Relation entre le rayon spectral et les normes matricielles Soit Aune matrice carr´ee d’ordren >0,A= (aij)i,j=1,...,n.
Pour 1 ≤p ≤ +∞, on note par k kp la norme matricielle calcul´ee `a partir de la norme vectoriellek kp i.e.
kAkp = sup
kxkp=1
kAxkp= sup
kxkp≤1
kAxkp = sup
x6=0
kAxkp kxkp .
a. Montrer que son rayon spectralρ(A) v´erifie
ρ(A)≤ kAkp, ∀1≤p≤+∞.
b.Soitε >0. Montrer qu’il existe une norme matriciellek k d´ependant deεetA, tel que kAk ≤ρ(A) +ε .
c.Montrer que
m→+∞lim kAmk 1
m =ρ(A).
1.2 Suite et s´erie de matrices
D´efinition 1.1. Convergence d’une suite de matrices On dit qu’une suite de matrices (Am)m≥0 converge vers la matriceA si lim
m→+∞kAm−Akp = 0.
a. Montrer que
m→+∞lim Am = 0⇐⇒ρ(A)<1. b.Monter que
la s´erie
+∞
X
m=0
Am converge ⇐⇒ρ(A)<1.
Montrer dans ce cas que lim
m→+∞
+∞
X
m=0
Am = (I −A)−1.
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Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009
EXERCICE 2
Un exemple de m´ethode it´erative
Soit A une matrice carr´ee d’ordre n > 0, A = (aij)i,j=1,...,n r´eguli`ere et b ∈ Rn. On veut r´esoudre le syst`eme lin´eaire
Ax=b .
On note Dla matrice diagonale constitu´ee de la diagonale de A. Soit α6= 0, on ´etudie la m´ethode it´erative
xk+1 = (I−αD−1A)xk+αD−1b .
a. Montrer que la m´ethode est consistante i.e. si (xk)k≥0 converge vers x alors x est solution.
b.Exprimer les coefficients de la matriceD−1A en fonction de ceux deA.
c.On suppose que 0< α≤1 et que Asatisfait la propri´et´e suivante
∀i ,1≤i≤ n ,|aii|>
n
X
j=1 j6=i
|aij|.
Montrer que la m´ethode est bien d´efinie et
kI−αD−1Ak∞<1. En d´eduire que la m´ethode est convergente.
EXERCICE 3
M´ethodes it´eratives classiques sur une matrice tridiagonale
Soit A = (aij)i,j=1,...,n une matrice carr´ee d’ordre n > 0, du syst`eme lin´eaire Ax=b, d´efinie par
aii=i+ 1, i= 1, ..., n;ai+1i= 1, i= 1, ..., n−1 ;ai i+1=−i , i= 1, ..., n−1 , les autres termes ´etant nuls.
a. Calculer la matrice d’it´eration de Jacobi. Prouver que son rayon spectral est <1.
b.Calculer la matriceGd’it´eration de Gauss-Seidel. Montrer que le polynˆome caract´eristique de Gs’´ecrit
PG(λ) =λndet(I−L− 1 λU), et si |λ| ≥1 alors det(I−L− 1
λU)6= 0.
En d´eduire que la m´ethode est convergente.
c. Le fait d’avoir trouv´e une m´ethode it´erative (au moins) convergente prouve que la matriceA est inversible. Pourquoi ?
d.D´ecrire l’algorithme de Gauss-Seidel appliqu´e `a cet exemple.
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