Analyse Num´ erique

E

N

I

T

Analyse Num´ erique

S´erie d’exercices n^◦ : 9

Exercice 1

On consid`ere l’´equation diff´erentielle : (E)

y⁰=f(x, y), x∈[a, b]

y(a) =Y0

o`u [a, b]⊂R,Y₀∈Retf : [a, b]×R→Rune fonction de classeC²sur [a, b]×Ret Lipschitzienne par rapport

`

a la deuxi`eme variable, i.e.

∃L >0 tel que∀x∈[a, b], ∀y, z ∈R, |f(x, y)−f(x, z)| ≤L|y−z|.

On noteraY(x) la solution exacte de (E).

Pour r´esoudre num´eriquement (E), on propose le sch´ema num´erique suivant : (S)







y₀=Y₀

y_n+1=y_n+αhf(x_n, y_n) +βhf(x_n+λh, y_n+λhf(x_n, y_n)), 0≤n≤N−1

o`u λ∈]0,1] est fix´e,α, β sont des r´eels `a choisir au mieux,h= (b−a)/N etxn =a+nh, 0≤n≤N (N ∈N fix´e),yn ´etant une approximation deY(xn).

1–Montrer que le sch´ema (S) est stable pour tout choix deαet β.

2–D´eterminer une condition surαetβ pour que le sch´ema (S) soit consistant avec l’´equation diff´erentielle (E).

3–En d´eduire une condition surαetβ pour que le sch´ema (S) converge.

4–D´eterminer αet β en fonction deλ, pour que le sch´ema (S) soit d’ordre 2 (au moins).

5–En d´eduire qu’il existe une constanteK >0 telle que : max

0≤n≤N|y_n−Y(x_n)| ≤Kh²

Exercice 2

On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E)

y⁰ =f(x, y), x∈[0, r]

y(0) =α

o`uf est une fonction continue sur [0, r]×Ret lipschitzienne par rapport `a la deuxi`eme variable, c’est `a dire

∃L >0; ∀(x, y, z)∈[0, r]×R², |f(x, y)−f(x, z)| ≤L|y−z|.

Pour approcher le probl`eme (E), on consid`ere le sch´ema num´erique suivant : (S)

y₀=α

yn+1=yn+hΦ(xn, yn, h), n≥0 avec Φ(x, y, h) =aV1+bV3, o`u

V1 = f(x, y)

V2 = f(x+^h₃, y+^h₃V1) V3 = f(x+^2h₃, y+^2h₃ V2) o`uaet bsont deux constantes qu’il faudra d´eterminer.

1–Quelle relation lieaetb pour que le sch´ema (S) soit consistant ? 2–Ce sch´ema est-il stable quelque soitaet bdansR?

3–D´eterminer aetbpour que ce sch´ema soit au moins d’ordre 2.

4–Montrer alors que ce sch´ema est en fait d’ordre 3.

Analyse Num´erique – S´erie 9 2

Exercice 3

On consid`ere l’´equation diff´erentielle :

y⁰(x) =p

y(x), x∈[0, b]

y(0) = 0

qui admet comme solution non trivialeY(x) = (^x₂)². Calculer les approximationsy_i deY(x_i) par la m´ethode d’Euler, o`ux_i=i_n^b. Expliquer le r´esultat obtenu.

Exercice 4

On consid`ere l’´equation diff´erentielle

(E) y⁰(x) =f(x, y(x)).

Etant donn´´ e un sch´ema num´erique `a un pas (pour approcher (E)) associ´e `a une fonction Φ1(x, y, h), on construit un autre sch´ema num´erique `a un pas associ´e `a la fonction Φ d´efinie par :

Φ(x, y, h) = 1

4f(x, y) +3 4f

x+2

3h, y+2

3hΦ1(x, y,2 3h)

1–Montrer que si le sch´ema num´erique associ´e `a Φ1 est d’ordre 2, alors le sch´ema num´erique associ´e `a Φ est d’ordre 3.

2–Choisir la fonction Φ1pour que le sch´ema num´erique associ´e `a Φ donn´ee par Φ(x, y, h) = 1

4(k1+ 3k3) soit d’ordre 3, o`u

k1 = f(x, y) k2 = f(x+h

3, y+h 3k1) k₃ = f(x+2h

3 , y+2h 3 k₂)

Exercice 5

Soit le probl`eme :

(P)







x⁰⁰(t) =− x

px²+y², x(0) = 4, x⁰(0) = 0 y⁰⁰(t) =− y

px²+y², y(0) = 0, y⁰(0) = 2.

Ecrire les m´ethodes d’Euler et de Rugne-Kutta (classique) pour la r´esolution du probl`eme (P) sur [0, T],T >0.

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