Analyse Num´ erique

(1)

E

cole

N

ationale d’

I

ng´enieurs de

T

unis 2008-2009

Analyse Num´ erique

S´erie d’exercices n^◦ : 1

Exercice 1

SoientA= (aij)1≤i,j≤n et B= (bij)1≤i,j≤n deux matrices triangulaires sup´erieures deMn(C).

1–Montrer que la matriceABest triangulaire sup´erieure.

2–Montrer que (AB)ii=aiibii, 1≤i≤n.

3–Montrer que detA=Qn i=1a_ii.

Exercice 2

Soientmet ndeux entiers v´erifiant 1≤m≤netri∈N, 1≤ri≤n, tels que Pm

i=1ri=n.

SoientA,B ∈ Mn(C) deux matrices triangulaires supérieures par blocs, admettant la même décomposition : A= (Aîj)1≤i,j≤m , Aîj ∈ Mri,rj(C)

B= (B^ij)_1≤i,j≤m , B^ij∈ Mr_i,r_j(C).

1–Montrer queABest triangulaire sup´erieure par blocs pour cette d´ecomposition par blocs.

2–Montrer que (AB)ⁱⁱ=AⁱⁱBⁱⁱ, 1≤i≤m.

3–Montrer que detA=Qm

i=1detAⁱⁱ.

Exercice 3

SoitT = (tij)1≤i,j≤n∈ Mn(R) une matrice inversible et triangulaire inf´erieure.

1–Soitb= (b_i)_1≤i≤n∈Rⁿ v´erifiant

∃k,2≤k≤n, tel quebi = 0 pouri < k On considère le système linéaire (S) :T x=b.

Trouver un algorithme pour d´eterminer la solutionx= (xi)1≤i≤n ∈Rⁿ du syst`eme (S) en fonction deb et de T.

Montrer quexi= 0 pouri < ket que xk = b_k tkk

.

2–En déduire queT⁻¹ est triangulaire inférieure. Quels sont ses éléments diagonaux?

Exercice 4

SoitA= (a_ij)_1≤i,j≤n∈ M_n(R) sym´etrique d´efinie positive.

1–Montrer que pour toutk∈ {1,· · ·, n},a_kk>0 et que

1≤i,j≤nmax |aij|= max

1≤k≤n|akk|

2– Montrer que l’on peut définir une matrice B ∈ M_n(R) symétrique définie positive telle que B² = A (on notera dans ce casB ≡A^1/2).

3–Soientk∈ {1,· · ·, n}etA^(k)la sous-matrice carrée d’ordrek, extraite deAen ne gardant que les coefficients situés sur leskpremières lignes et lesk premières colonnes.

Montrer queA^(k) est d´efinie positive.

Exercice 5

SoitA= (aij) une matrice `a coefficients complexes `anlignes etncolonnes.

1–Montrer que siλ∈Cest une valeur propre deA, alors il existe i∈ {1, . . . , n}tel que :

|aii−λ| ≤

n

X

j=1 j6=i

|aij|

Indication : On pourra choisirx∈Cⁿ vecteur propre deAassocié à la valeur propre λet considérer un indice itel que|xi|= max

1≤j≤n|xj|, oùxj désigne lajème composante dexdans la base canonique deCⁿ.

(2)

Analyse Num´erique – S´erie 1 2

2–On appelle spectre deAl’ensemble de toutes les valeurs propres deAnot´e Sp(A).

Montrer que

Sp(A)⊂ ∪ⁿ_i=1{z∈C; |z−aii| ≤

n

X

j=1 j6=i

|aij|}

3–Montrer que si la matriceAest `a diagonale dominante stricte, c’est `a dire si

|aii|>

n

X

j=1 j6=i

|aij| , i= 1 `an

alorsAest inversible.

Exercice 6

SoitA∈Mn(C) admettant la d´ecomposition par blocs suivante :

A=

G O O H

o`uG∈Mp(C) etH ∈Mq(C), avecp+q=n.

1–Montrer que Sp(A) = Sp(G)∪Sp(H).

2–Donner les valeurs propres de la matrice :

A=







2 1 0 0 0

1 2 0 0 0

0 0 2 1 0

0 0 1 2 1

0 0 0 1 2







Exercice 7

Soit A ∈ Mm,n(R), 1 ≤ n < m. On suppose qu’il existe une matrice orthogonale Q ∈ Mm(R) telle que la matriceQA=T = (Tij)1≤i≤m

1≤j≤n ∈ Mm,n(R) soit nulle en dessous de la diagonale principale :

T =







T₁₁ × · · · ×

0 × ...

... . .. . .. ... 0 · · · 0 Tnn

0 · · · 0

... ...

0 · · · 0







= R

O

, R∈ Mn(R), avec R_ij =T_ij, 1≤i, j≤n

où O est la matrice identiquement nulle de M_m−n,n(R). Soit b ∈ R^m, on dira que x ∈ Rⁿ est solution du systèmeAx=bau sens des moindres carréssixvérifie:

(P) ∀y∈Rⁿ, kAx−bk2,m≤ kAy−bk2,m

o`uk.k2,m d´esigne la norme euclidienne deR^m. 1. Montrer que

∀y∈Rⁿ, kAy−bk2,m=kT y−Qbk2,m

2. En d´eduire que sixest solution de (P), alors

∀y∈Rⁿ, kRx−ck2,n≤ kRy−ck2,n

o`uc ∈Rⁿ est le vecteur de composante c_i = (Qb)_i, 1≤i≤net k.k2,n d´esigne la norme euclidienne de Rⁿ.

3. En déduire que sixest solution de(P) et siRest inversible, alorsxest solution du système linéaireRx=c.

ENIT 2008/2009 ENIT 2008/2009

(3)

Analyse Num´erique – S´erie 1 3

Exercice 8

1–Soitn∈N^∗ etB= (bij)1≤i,j≤n une matrice à coefficients réels, vérifiant : b_ij≥0, 1≤i, j≤n

kBk∞≡ max

1≤i≤n(

n

X

j=1

bij)<1.

Montrer queI−Best inversible et que (I−B)⁻¹est à coefficients positifs ou nuls (Idésigne la matrice identité).

2–SoitA= (aij)_1≤i,j≤n une matrice à coefficients réels, vérifiant : aii>0, 1≤i≤n aij ≤0, 1≤i6=j ≤n

n

X

j=1

aij >0, 1≤i≤n

et soitD la matrice diagonale d´efinie par:

dii=aii, 1≤i≤n, dij= 0, 1≤i6=j≤n.

2–aMontrer queAest `a diagonale dominante stricte (i.e. |aii|>

n

X

j=1 j6=i

|aij|, ∀i= 1,· · ·, n).

2–bMontrer queD est inversible.

2–cOn poseC=D⁻¹A. Calculer les coefficients (cij)1≤i,j≤n deC.

2–dMontrer queC est inversible et queC⁻¹ est `a coefficients positifs ou nuls.

Exercice 9

SoitD= (d_ij)_1≤i,j≤n ∈ Mn(R) une matrice diagonale. Montrer que kDk1=kDk_∞=kDk2= max

1≤k≤n|dkk|

Exercice 10

SoitA∈ Mn(R) et soienttU, V ∈ Mn(R) deux matrices orthogonales. Montrer quekV AUk2=kAk2

Exercice 11

Soientk · kune norme vectorielle deRⁿ et||| · |||la norme matricielle subordonn´ee associ´ee.

1–SoitA∈ Mn(R) inversible et soitλune valeur propre deA. Montrer que

|||A||| ≥ |λ| ≥ 1

|||A⁻¹|||

2–Montrer que pour toutx∈Rⁿ\ {0}, on a 1

|||A⁻¹||| ≤ kAxk

kxk ≤ |||A|||

Exercice 12

SoitA∈ Mn(R) la matrice donn´ee par :

A=







4 1

1 4 1

. .. . .. . .. . .. . .. 1

1 4







1– En écrivant A sous la formeA = 4(In −N), où N est à déterminer, montrer que A est inversible et que kA⁻¹k_∞≤1

2. En d´eduire un majorant de Cond_∞(A).

2–Soitλune valeur propre deA. Montrer que 2≤ |λ| ≤6.

ENIT 2008/2009 ENIT 2008/2009