Analyse Num´ erique

E

N

I

T

Analyse Num´ erique

S´erie d’exercices n^◦ : 3

Exercice 1

On se propose de r´esoudre num´eriquement le syst`eme lin´eaire : Ax=b.

Etudier la convergence des m´ethodes de Jacobi et de Gauss-Seidel dans les deux cas suivants :

A=





1 2 −2

1 1 1

2 2 1



 A=





2 −1 −1

2 2 2

−1 −1 2



.

Exercice 2

Soit le syst`emeAx=b, avecA=





1 2 0 1 1 0 1 1 1



.

Etudier la convergence des m´ethodes de Jacobi et de relaxation.

Exercice 3

Soitα∈Ret soit le syst`eme lin´eaireAx=b, avec

A=





1 α α

α 1 α α α 1



.

1–Pour quelles valeurs deα, la matriceAest-elle d´efinie positive ?

2–Montrer que pour toutα∈]−1/2,1[, la m´ethode de relaxation converge pour toutω∈]0,2[.

3–Ecrire la matriceJ de la m´ethode de Jacobi correspondante. Pour quelles valeurs deα, la m´ethode de Jacobi converge-t-elle ?

4–Ecrire la matriceL1 de la m´ethode de Gauss-Seidel correspondante. Calculerρ(L1).

5–Pour quelles valeurs deα, la m´ethode de Gauss-Seidel converge-t-elle plus vite que celle de Jacobi ?

Exercice 4

SoitA= (aij) une matrice carr´e d’ordren. On suppose queAest `a diagonale dominante stricte :

|aii|>

n

X

j=1 j6=i

|aij| , i= 1 `an

On veut r´esoudre le syst`eme lin´eaire : (S) Ax=b o`u b∈Rⁿ, par la m´ethode it´erative de Jacobi.

1– Calculer la matriceJ de la m´ethode de Jacobi . 2–Montrer que la m´ethode de Jacobi est convergente.

Exercice 5

SoientA∈ M_n(C),A= (a_ij)_1≤i,j≤n, une matrice `a diagonale strictement dominante, etb∈C<sup>n</sup>. On consid`ere le syst`eme lin´eaire (S) :Ax=b.

On d´ecompose la matriceAsous la forme A=D−E−F, o`uD= diag(aii)<sub>1≤i≤n</sub> et o`u les coefficients des matricesE= (eij)_1≤i,j≤n etF = (fij)_1≤i,j≤n sont donn´es par :

eij =

−aij, i > j

0, i≤j , fij=

−aij, i < j 0, i≥j

SoitL1= (D−E)⁻¹F la matrice de la m´ethode it´erative de Gauss-Seidel, pour la r´esolution de (S).

1–Soitλ∈Cune valeur propre de la matriceL₁. Montrer que det[λ(D−E)−F] = 0.

2– Montrer que, si l’on suppose que µ ∈ C v´erifie |µ| ≥ 1, alors la matrice µ(D −E)−F est `a diagonale strictement dominante.

3–En d´eduire que la m´ethode de Gauss-Seidel, pour la r´esolution de (S), est convergente.

Analyse Num´erique – S´erie 3 2

Exercice 6

1`ere partie :

SoitA= (aij)_1≤i,j≤n ∈ Mn(R) une matrice sym´etrique telle queaii= 1, 1≤i≤n, qui se d´ecompose sous la forme :

A=I−E−F,

o`uI d´esigne la matrice identit´e deMn(R),E= (eij)<sub>1≤i,j≤n</sub> est une matrice triangulaire inf´erieure `a diagonale nulle et v´erifiant eij = −aij, 1 ≤ j < i ≤ n, et F = (fij)_1≤i,j≤n est une matrice triangulaire sup´erieure `a diagonale nulle et v´erifiantfij =−aij, 1≤i < j≤n.

Pourbdonn´e dansRⁿ, on cherchex∈Rⁿ solution de :

(1) Ax=b

`

a l’aide de la m´ethode it´erative suivante :

(2)















x⁽⁰⁾ donn´e dansRⁿ

(I−E)x^(k+1/2)=F x^(k)+b, k≥0 (I−F)x^(k+1)=Ex^(k+1/2)+b, k≥0 1.1–Mettre la m´ethode (2) sous la forme :

x^(k+1)=Bx^(k)+c, k≥0 o`uB ∈ Mn(R) etc∈R<sup>n</sup> sont `a d´eterminer.

1.2–On poseM = (I−E)(I−F) etN =EF. Montrer que la matriceM^T+N est sym´etrique d´efinie positive.

1.3–En d´eduire, que siAest de plus d´efinie positive, alors la suite g´en´er´ee par la m´ethode it´erative (2) converge vers la solutionxde (1).

2`eme partie :

SoitAeune matrice sym´etrique d´efinie positive.

2.1–Montrer qu’il existe une matrice diagonale D= diag(d_i)_1≤i≤n avecd_i>0, 1≤i≤n, telle que la matrice D^−1/2ADe ^−1/2 soit `a diagonale unit´e.

[D^1/2 d´esigne la matrice diagonale d´efinie par (D^1/2)ii=√

dietD^−1/2est la matrice inverse deD^1/2].

2.2– Comment peut-on adapter la m´ethode it´erative (2), donn´ee dans la 1`ere partie, `a la matrice Ae pour r´esoudre le syst`eme lin´eaireAxe =eb, o`ueb∈Rⁿ ?

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