1 M´ ethode d’Euler

(1)

X. Résolution approchée d’une équation différentielle

1 M´ ethode d’Euler

1.1 Méthode d’Euler pour une équation différentielle du premier ordre

Définition 1. La méthode d’Euler d’approximation de la solution y d’une équation différentielle d’ordre 1 de la variable t avec condition initiale y(t₀) = y₀ consiste à construire des approximations successives(y0;y^′₀),(y1;y₁^′),(y2;y^′₂), . . . ,(yn;y^′_n)des valeurs du couple(y;y^′)aux points t0, t1, t2, . . . , tn

selon le sch´ema suivant :

• On écrit l’équation différentielle au point t_k, on remplace y(t_k) par la valeur approchée y_k et y^′(tk) par la valeur approchée y_k^′ puis on en déduit une expression de y_k^′ en fonction detk et yk.

• On pose y_k+1 =y_k+ (t_k+1−t_k)y^′_k.

Exercice 1. On considère l’équation différentielle

y^′+ty = 0 y(t₀) = 1 .

1. Expliciter le schéma d’Euler d’approximation de la solution de cette équation différentielle.

2. Écrire une fonction euler gaussienne de paramètre t qui retourne le tableau des valeurs ap- prochées y_k aux pointst_k pour k∈J0; longueur(t)−1K.

Exercice 2. On considère le système différentiel









x^′ = y

y^′ = −x x(t0) = 0 y(t₀) = 1

.

2. Écrire une fonction euler circulairede paramètre t qui retourne le tableau des valeurs appro- chéesxkainsi que le tableau des valeurs approchéesykaux pointstkpourk∈J0; longueur(t)−1K.

Exercice 3.

1. Écrire une équation différentielle linéaire d’ordre 1 avec condition initiale en t = 0 admettant pour solution la fonction exponentielle.

3. Écrire une fonction euler exponentielle de paramètre n qui retourne le tableau des valeurs approchées yk aux points tk= ^k_n pour k∈J0;nK.

(2)

1.2 Méthode d’Euler pour une équation différentielle du second ordre

Définition 2. La méthode d’Euler d’approximation de la solution y d’une équation différentielle d’ordre 2 de la variable t avec condition initiale (y(t0) = y0;y^′(t0) = y₀^′) consiste à construire des approximations successives (y₀;y₀^′;y^′′₀),(y₁;y^′₁;y^′′₁),(y₂;y^′₂;y^′′₂), . . . ,(yn;y_n^′;y^′′_n) des valeurs du tri- plet (y;y^′;y^′′) aux pointst₀, t₁, t₂, . . . , t_n selon le schéma suivant :

• On écrit l’équation différentielle au pointt_k, on remplacey(t_k)par la valeur approchée y_k,y^′(t_k) par la valeur approchée y^′_k ety^′′(t_k) par la valeur approchée y^′′_k puis on en déduit une expression dey^′′_k en fonction de tk, yk ety^′_k.

• On pose y_k+1 =y_k+ (t_k+1−t_k)y^′_k.

• On pose y_k+1^′ =y_k^′ + (t_k+1−t_k)y^′′_k.





y^′′+ty^′+y = 0 y(t₀) = 1 y^′(t₀) = 0

.

2. Écrire une fonction euler gaussienne de paramètre t qui retourne le tableau des valeurs ap- prochées y_k aux pointst_k pour k∈J0; longueur(t)−1K.

Exercice 5.

1. Écrire une équation différentielle linéaire d’ordre 2 avec condition initiale en t = 0 admettant pour solution la fonction sinus.

3. Écrire une fonction euler sinus de paramètre n qui retourne le tableau des valeurs approchées y_k aux points t_k= ^k_n pour k∈J0;nK

2 M´ ethodes de Runge-Kutta

Définition 3. Les méthodes de Runge-Kutta d’approximation de la solution y d’une équation dif- férentielle d’ordre 1 de la variable t avec condition initiale y(t₀) = y₀ consistent à construire des approximations successives y₁, y₂, . . . , yn des valeurs de y aux points t₁, t₂, . . . , tn au moyen d’une relation de récurrence obtenue par calcul approché de l’intégrale

Z tk+1

tk

y^′(t) dt=y(t_k+1)−y(t_k).

Remarque 1. La méthode d’Euler est une méthode de Runge-Kutta basée sur la méthode des rec- tangles.

y^′+ty = 0 y(t0) = 1 .

1. Montrer que la méthode de Runge-Kutta basée sur la méthode du point milieu conduit à l’approximation y_k+1=yk+ (t_k+1−tk)y_k+^′ 1

2

avec y^′_k+1 2

une valeur approch´ee de y^′ _t

k+tk+1

2

. 2. Utiliser le sch´ema d’Euler pour exprimer une valeur approch´ee y_k+¹

2

dey _t

k+tk+1

2

en fonction det_k,t_k+1 ety_k puis une valeur approch´eey^′

k+¹₂ dey^′_t

k+tk+1

2

en fonction det_k,t_k+1ety_k+¹

2

. 3. ´Ecrire une fonction runge gaussienne de param`etre t qui retourne le tableau des valeurs ap-

proch´ees yk aux pointstk pour k∈J0; longueur(t)−1K.

(3)

Exercices suppl´ ementaires

Exercice 7. La méthode d’Euler implicite d’approximation de la solution y d’une équation différen- tielle d’ordre 1 de la variable tavec condition initiale y(t₀) =y₀ consiste à construire des approximations successives y₁, y₂, . . . , y_n des valeurs dey aux points t₁, t₂, . . . , t_n selon le schéma suivant :

• On écrit l’équation différentielle au pointt_k+1, on remplacey(t_k+1)par la valeur approchéey_k+1 et y^′(t_k+1) par la valeur approchée y_k+1^′ puis on en déduit une expression de y^′_k+1 en fonction det_k+1 et y_k+1.

• On pose y_k+1 =y_k+ (t_k+1−t_k)y^′_k+1.

• On en d´eduit une expression de y_k+1 en fonctiont_k,t_k+1 et y_k.

Expliciter le schéma d’Euler implicite d’approximation de la solution de l’équation différentielle

y^′+ty = 0 y(t₀) = 1 . Exercice 8. On considère l’équation différentielle

y^′−y² = 1 y(0) = 0 .

2. Écrire une fonctioneuler tangente de paramètre n qui retourne le tableau des valeurs appro- chées y_k aux pointst_k=−1 +_n^k pour k∈J0; 2nK

Exercice 9.

1. Écrire une équation différentielle linéaire d’ordre 2 avec condition initiale en t = 0 admettant pour solution la fonction cosinus.

3. Écrire une fonctioneuler cosinusde paramètrenqui retourne le tableau des valeurs approchées y_k aux points t_k= ^k_n pour k∈J0;nK

y^′+ty = 0 y(t₀) = 1 .

1. Montrer que la méthode de Runge-Kutta basée sur la méthode des trapèzes conduit à l’approxi- mationy_k+1=yk+ (t_k+1−tk)y^′_k+yg^′_k+1

2 avec yg^′_k+1 une valeur approch´ee temporaire dey^′(t_k+1).

2. Utiliser le schéma d’Euler pour exprimer une valeur approchée temporaire yg_k+1 de y(t_k+1) en fonction det_k, t_k+1, y_k ety_k^′ puis une valeur approchée temporaire yg^′_k+1 dey^′(t_k+1) en fonction detk, t_k+1 etyg_k+1.

3. Écrire une fonction heun gaussienne de paramètre t qui retourne le tableau des valeurs ap- prochées y_k aux pointst_k pour k∈J0; longueur(t)−1K.

(4)

R´ eponses

1) •





y₀ = 1 y_k^′ = −t_ky_k

y_k+1 = y_k+ (t_k+1−t_k)y^′_k

•

Fonction: euler gaussienne(t)

Action: Approximation de la fonction gaussienne par la m´ethode d’Euler aux pointstk

D´ebut

y : tableau de taillelongueur(t) y0←1

Pourkallant de1`alongueur(t)−1faire u← −tk−1yk−1

yk←yk−1+ (tk−tk−1)u FinPour

Renvoyery Fin

2) •











x₀ = 0 y₀ = 1 x^′_k = y_k

y^′_k = −x_k

x_k+1 = x_k+ (t_k+1−t_k)x^′_k y_k+1 = y_k+ (t_k+1−t_k)y^′_k

•

Fonction: euler circulaire(t)

Action: Approximation des fonctions circulaires par la m´ethode d’Euler aux pointstk

D´ebut

x: tableau de taillelongueur(t) y : tableau de taillelongueur(t) x0←0

y0←1

Pourkallant de1`alongueur(t)−1faire u←yk−1

v← −xk−1

xk←xk−1+ (tk−tk−1)u yk←yk−1+ (tk−tk−1)v FinPour

Renvoyerx, y Fin

3) •

y^′ = y y(0) = 1

•





y₀ = 1 y_k^′ = y_k

y_k+1 = yk+ (t_k+1−tk)y^′_k

•

Fonction: euler exponentielle(n)

Action: Approximation de la fonction exponentielle par la m´ethode d’Euler aux points ^k_n pourk∈J0;nK D´ebut

y : tableau de taillen+ 1 y0←1

Pourkallant de1`anfaire u←yk−1

yk←yk−1+n¹u FinPour

Renvoyery Fin

4) •











y₀ = 1 y₀^′ = 0

y^′′_k = −y_k−t_ky^′_k y_k+1 = yk+ (t_k+1−tk)y^′_k y_k+1^′ = y^′_k+ (t_k+1−t_k)y^′′_k

(5)

•

Fonction: euler gaussienne(t)

Action: Approximation de la fonction gaussienne par la m´ethode d’Euler aux pointstk

D´ebut

u←0

Pourkallant de1`alongueur(t)−1faire v← −yk−1−tk−1u

yk←yk−1+ (tk−tk−1)u u←u+ (tk−tk−1)v FinPour

Renvoyery Fin

5) •





y^′′+y = 0 y(0) = 0 y^′(0) = 1

.

•











y₀ = 0 y₀^′ = 1 y^′′_k = −yk

y_k+1 = y_k+ (t_k+1−t_k)y^′_k y_k+1^′ = y^′_k+ (t_k+1−t_k)y^′′_k

•

Fonction: euler sinus(n)

Action: Approximation de la fonction sinus par la m´ethode d’Euler aux points ^kn pourk∈J0;nK D´ebut

u←1

Pourkallant de1`anfaire v← −yk−1

yk←yk−1+n¹u u←u+n¹v FinPour Renvoyery Fin

6) • La m´ethode du point milieu conduit `a l’approximation : y(t_k+1)−y(t_k) =

Z tk+1

tk

y^′(t) dt≃(t_k+1−t_k)y^′

t_k+t_k+1 2

•











y₀ = 0 y_k^′ = −t_ky_k y_k+¹

2 = y_k+^t^k+1₂⁻^t^ky_k^′ y_k+^′ 1

2

= −^t^k^+t^k⁺¹

2 y_k+¹

2

y_k+1 = yk+ (t_k+1−tk)y_k+^′ 1 2

•

Fonction: runge gaussienne(t)

Action: Approximation de la fonction gaussienne par la m´ethode de Runge aux pointstk

D´ebut

v←yk−1+^t^k⁻₂^t^k⁻¹u w← −

t_k

−1+tk

2 v

yk←yk−1+ (tk−tk−1)w FinPour

Renvoyery Fin

7)

( y₀ = 1 y_k+1 = _1+(t ^y^k

k+1−tk)tk+1

(6)

8) •





y₀ = 1 y_k^′ = 1 +y²_k

y_k+1 = y_k+ (t_k+1−t_k)y^′_k

•

Fonction: euler tangente(n)

Action: Approximation de la fonction tangente par la m´ethode d’Euler aux points−1 +^k_n pourk∈J0; 2nK D´ebut

y : tableau de taille2n+ 1 yⁿ←0

Pourkallant de1`anfaire u←1 +y²_n+k

−1

yn+k←yn+k−1+_n¹u FinPour

Pourkallant de1`anfaire u←1 +y²n−k+1

yn−k←yn−k+1−¹_nu FinPour

Renvoyery Fin

9) •





y^′′+y = 0 y(0) = 1 y^′(0) = 0

.

•











y₀ = 1 y₀^′ = 0 y^′′_k = −y_k

y_k+1 = yk+ (t_k+1−tk)y^′_k y_k+1^′ = y^′_k+ (t_k+1−t_k)y^′′_k

•

Fonction: euler cosinus(n)

Action: Approximation de la fonction cosinus par la m´ethode d’Euler aux points ^kn pourk∈J0;nK D´ebut

u←0

Pourkallant de1`anfaire v← −yk−1

yk←yk−1+n¹u u←u+_n¹v FinPour Renvoyery Fin

10) • La méthode des trapèzes conduit à l’approximation : y(t_k+1)−y(t_k) =

Z tk+1

tk

y^′(t) dt≃(t_k+1−t_k)y^′(t_k) +y^′(t_k+1) 2

•











y₀ = 0 y_k^′ = −t_ky_k g

y_k+1 = y_k+ (t_k+1−t_k)y^′_k yg_k+1^′ = −t_k+1yg_k+1

y_k+1 = y_k+ (t_k+1−t_k)^y^′^k⁺₂^y^g^′^k+1

•

Fonction: heun gaussienne(t)

Action: Approximation de la fonction gaussienne par la m´ethode de Heun aux pointstk

D´ebut

v←yk−1+ (tk−tk−1)u w← −tkv

yk←yk−1+ (tk−tk−1)^u+w₂ FinPour

Renvoyery Fin