Exercice 2. Le sch´ ema de Lax-Wendroff

TD MA201 Calcul Scientifique

S´eance n ^o 9

Sch´emas pour l’´equation de transport

11 Janvier 2005

Dans les exercices 1 `a 3, on s’int´eresse `a l’approximation num´erique de l’´equation de transport

(1) ∂u

∂t +a∂u

∂x = 0 (a >0)

par des sch´emas aux diff´erences finies de pas de temps ∆t sur une grille spatiale r´eguli`ere de pas ∆x. On pose λ=a_∆x^∆t.

Exercice 1. Sch´ emas d’ordre un

On consid`ere les trois sch´emas suivants : Le sch´ema explicite centr´e

uⁿ⁺¹_j =uⁿ_j − λ

2 uⁿ_j+1−uⁿ_j

−1

,

le sch´ema implicite centr´e

uⁿ⁺¹_j =uⁿ_j − λ

2 uⁿ⁺¹_j+1 −uⁿ⁺¹_j−1 et le sch´ema explicite d´ecentr´e vers l’amont

uⁿ⁺¹_j =uⁿ_j −λ uⁿ_j −uⁿ_j−1 .

Vous avez vu en cours que le premier sch´ema est inconditionnellement instable.

1.1 - Dans les deux autres cas, ´etudier l’ordre du sch´ema, puis calculer le coefficient d’amplification et ´etudier la stabilit´e du sch´ema.

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1.2 - Etudier ensuite les erreurs d’amplitude et de phase du sch´ema (on obtiendra un

´equivalent de ces erreurs pour ξ∆x petit).

1.3 - Discuter des avantages et inconv´enients des diff´erents sch´emas.

Exercice 2. Le sch´ ema de Lax-Wendroff

Soit ¯u une solution r´eguli`ere de l’´equation de transport.

2.1 - Montrer que

¯

u(xj, tn+1) = ¯u(xj, tn)−a∆t∂u¯

∂x(xj, tn) + a²∆t² 2

∂²u¯

∂x² (xj, tn) +O(∆t³).

2.2 - Indiquer comment, `a partir de cette ´egalit´e, on peut construire le sch´ema suivant (Lax-Wendroff)

uⁿ⁺¹_j =uⁿ_j −λ

2 uⁿ_j+1−uⁿ_j

−1

+ λ²

2 uⁿ_j+1−2uⁿ_j +uⁿ_j

−1

,

et ´etudier son ordre en distinguant le cas λ= 1.

2.3 - Calculer le coefficient d’amplification et en d´eduire la stabilit´e du sch´ema sous condition CFL.

2.4 - Etudier l’erreur de phase et d’amplitude du sch´ema.

Exercice 3. Le sch´ ema saute-mouton

On consid`ere le sch´ema saute-mouton pour approcher l’´equation de transport uⁿ⁺¹_j =u_jⁿ⁻¹−λ uⁿ_j+1−uⁿ_j

−1

, o`un ≥1 et u⁰_j etu¹_j sont donn´es.

3.1 - Quel est l’ordre de ce sch´ema ?

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3.2 - On suppose que

u⁰_j =U0exp(iξj∆x) et u¹_j =U1exp(iξj∆x) ∀j . Montrer que la solution du sch´ema peut s’´ecrire sous la forme

uⁿ_j =U_nexp(iξj∆x) ∀j avec

U_n =A(r+)ⁿ+B(r₋)ⁿ ,

avecr+etr₋solutions d’une ´equation que l’on pr´ecisera. En d´eduire une condition n´ecessaire et suffisante de stabilit´e du sch´ema.

3.3 - On suppose λ ≤ 1. Montrer que la solution est la superposition d’une onde se propageant dans le mˆeme sens que la solution exacte et d’un onde se propageant en sens inverse (onde “parasite”). Comparer la vitesse de phase de ces ondes avec la vitesse de phase de la solution exacte.

3.4 - On suppose que U0 est donn´e et que le sch´ema d´ecentr´e amont est utilis´e pour calculerU1. CalculerAetB dans ce cas et montrer que l’onde parasite est de module petit devant celui de l’onde principale lorsque ξ∆x1.

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