Chapitre 8
ONDES ELASTIQUES DANS LES SOLIDES ISOTROPES
APPLICATION AU CONTROLE NON DESTRUCTIF PAR ULTRASONS
Onde mécanique (1/5)
La particule d'eau au centre bouge et transmet son mouvement aux autres z Une onde mécanique est un mouvement oscillatoire qui se
transmet de proche en proche dans un milieu matériel, par voisinage, comme une information, un changement de position que l'on transmet à son voisin.
http://www.kettering.edu/~drussell
Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University
molécule
Représentation schématique de matière constituée de molécules (de masses données) en interactions élastiques.
Onde mécanique (2/5) Onde mécanique : onde de compression (3/5)
dans un gaz
dans un ressort http://www.kettering.edu/~drussell
Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University
Onde mécanique : onde de cisaillement (4/5)
système discret
système continu : propagation d'une impulsion le long d'un ressort. Les sections du ressort se déplacent de haut en bas à mesure que le pulse se déplace de la gauche vers la droite
Onde mécanique : onde de flexion (5/5)
ondes de flexion dans une corde vibrante http://www.kettering.edu/~drussell
Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University
GAZ LIQUIDE SOLIDE
V air= 340 m/s V eau= 1500 m/s V métal≅6000 m/s
Vitesse de propagation
Aspect schématique des trois états fondamentaux de la matière et ordre de grandeur de la vitesse propagation des ondes de compression pour chacun d'eux
Seul mouvement
autorisé Aucune information n'est transmise
L'information est transmise d'autant plus vite que la raideur des ressorts est grande
ONDE DE CISAILLEMENT
ONDE DE COMPRESSION De la matière discontinue...
polarisation propagation
polarisation propagation
particule λ
λ
... à la matière continue
http://www.ens-lyon.fr/Planet-Terre/Infosciences/Geodynamique/Structure-interne/Sismologie/pendulum.html
Différents types d'onde
→F L
L'
M N
M' N'
∆x
u(x+∆x) - u(x) + ∆x u(x)
u(x+∆x)
x x+∆x
x + u(x) x + ∆x + u(x+∆x)
( )x =M →M' ur
déplacement particulaire :
variation relative de longueur du petit élément MN :
( ) ( )
[ ]
x u x
x x x u x x u
∆
=∆
∆
∆
−
∆ +
−
∆
+ ∆u=u(x+∆x) ( )−u x 0
u=
∆ 0 u≠
∆
simple translation déformation
Allongement d'un fil extensible
O
x1
x2 x3
M ( )M M ' ur
( ) ( )
( )
( 1 2 3)
3 3 2 1 2
3 2 1 1
x , x , x u
x , x , x u
x , x , x u ' M M M u
B
= r =
DILATATION
( )
N M
N M ' N ' limM n , M
S N M
= −
→
r
M ' N '
M N →n
O x1 x2
x3
( )
2 1 1 2
0 x d
0 x 2 d
1 x
u x u lim 2
n , n , M
2
1 ∂
+∂
∂
≈∂
π−α
≈ γ
→→
r r
CISAILLEMENT (distorsion ou glissement)
M N1 →n1 N2 →n2
M '
N'1 N'2
α
P1
P2
dx1
dx2 dx1+du1
Vecteur déplacement particulaire
N ' M '
M N
O x1 x2
x3
( ) ( )
( )
( 1 2 3)
3 3 2 1 2
3 2 1 1
x , x , x u
x , x , x u
x , x , x u ' M M M u
B
= r =
( )
3 3
2 2
1 1
u d u
u d u
u d u ' N N N u
+ + +
=
= B r
(
gradu)
dOMx x d x u x d x u x d u u
d 3 1
3 1 2 2 1 1 1 1
1 = ⋅
∂ +∂
∂ +∂
∂
=∂
(
gradu)
dOMx x d x u x d x u x d u u
d 3 2
3 2 2 2 2 1 1 2
2 = ⋅
∂ +∂
∂ +∂
∂
=∂
(
gradu)
dOM xx d x u x d x u x d u u
d 3 3
3 3 2 2 3 1 1 3
3 = ⋅
∂ +∂
∂ +∂
∂
=∂
( )
gradu dOMu dr= r⋅
( ) ( )r
( )
14 24r 4 34r
ru d
M O d u grad M u N
u = + ⋅
Déplacement
Ω +
=S u gradr
( )
gradu dxx x d x u x d x u x d u u
d 3
3 2 2 1 1
r r r
r
r r = ⋅
∂ +∂
∂ + ∂
∂
= ∂ avec
symétrique antisymétrique
∂
−∂
∂
− ∂
∂
−∂
∂
− ∂
∂
−∂
∂
∂
∂
−∂
∂
− ∂
∂
−∂
∂
∂
∂
−∂
∂
∂
= Ω
x 0 u x u 2 1 x u x u 2 1
x u x u 2 0 1 x u x u 2 1
x u x u 2 1 x u x u 2 0 1
2 3 3 2 1 3 3 1
2 3 3 2 1
2 2 1
1 3 3 1 1 2 2 1
( j j) ( )i j ij j ij j
ix dx u x S dx dx
u + = + +Ω
∂ +∂
∂
= ∂
i j j i j
i x
u x u 2 S 1
( ) ( )N uM du
u r r
r = +
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂
∂
=
3 3 2 3 3 2 1 3 3 1
2 3 3 2 2 2 1 2 2 1
1 3 3 1 1 2 2 1 1 1
x u x u x u 2 1 x u x u 2 1
x u x u 2 1 x u x u x u 2 1
x u x u 2 1 x u x u 2 1 x u
S
M N
u dr
M'
N' r( )N r( )M u
u
( ) ( )N uM dOM SdOM u =r +Ω⋅ + ⋅ r
Tenseur des déformations S
( ) ( )N uM dOM SdOM ur =r +Ω⋅ + ⋅
=0
Ω S=0
z Si et alors ur( ) ( )N=urM
simple translation M
N
M' N'
O
OM OM+dOM
r r( )N u( )M u = OM d simple translation M
N
M' N'
O
OM OM+dOM r r( )N u( )M u = OM d M
N
M' N'
O
OM OM+dOM r r( )N u( )M ur( )N=ur( )M u = OM d OM d
0 S=
z Si et alorsur( )M=0r ur( )N=Ω⋅dOM
( ) MN
x d
x d
x d x
d x d
x d 0 0 0 u d
u d
u d N u
3 2 1
3 2 1
3 2 1
1 2
1 3
2 3
3 2 1
∧ ω
=
∧ ω ω ω
=
ω ω
−
ω
− ω
ω ω
−
=
= r
r
B B B B
M=M ' N'
N
ω ω→
simple rotation
( )M dOM
ur +Ω⋅ : déplacement du solide au sens mécanique z Si et alorsur( )M=0r Ω=0 ur( )N =S⋅dOM déformation
( ) ( )N uM dOM S dOM
u =r +Ω⋅ + ⋅
r
translation rotation déformation pure mécanique
Interprétation (1/3)
simple translation
M N
N" dur N' M'
M
N
M' N'
x dr
O xr
x d
x r
r+ r r( )N u( )M u =
translation + déformation translation + rotation
translation + déformation + rotation
M N
N"'
N"
u dr
M'
N'
NIV ur d S
uΩ
dr
r( )N u
M N
N' N"
u dr
M'
r( )N u
ur d r r( )N u( )M u = +dur
S+durΩ
r( )N u
Interprétation (2/3) : déplacement local de deux points
Interprétation (3/3)
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂ +∂
∂
∂
∂
∂
=
3 3 2 3 3 2 1 3 3 1
2 3 3 2 2 2 1 2 2 1
1 3 3 1 1 2 2 1 1 1
x u x u x u 2 1 x u x u 2 1
x u x u 2 1 x u x u x u 2 1
x u x u 2 1 x u x u 2 1 x u
S
Sii: déformation dans la direction xi Sij: demi distorsion dans les directions xiet xj
M Ni →xi
Nj
xj
→
N'i N'j
α
(1 u1 x1 u2 x2 u3 x3)
V '
V≈ +∂ ∂ +∂ ∂ +∂ ∂ (V'−V)V≈divur=traceS
( )
2 1 1 2 0
x d
0 x 2 d
1 x
u x u lim 2
n , n , M
2
1 ∂
+∂
∂
=∂
π−α
= γ
→
→
r r
a b
c x1 x2
x3
M
c b a
V= a'
b' c'
M V'=a'b'c' déformation supposée sans
cisaillement
solide (E) M section droite (S)
(E1)
(E2)
(P) plan de coupure fictif (P)
partie (E1)à gauche de la coupure
partie (E2)à droite de la coupure
M (E1)
MI II
→n
dS
→T d F→
G M →σ →n
→t
→τ
T ( M , n )→
→
(P)
MI II
→n
dS
→T d F→
( ) T.n
S d
F lim d n , M
T dS 0
r
r = =
→
→
→
k k i
i=T n
T
x3
x2
x1 ∆S2
∆→F3
∆→F2
∆→F1
∆→F cisaillement
traction ou compression
i k k i 0 k s
i T
S lim F T
k
∆ =
= ∆
→
∆
=
33 32 31
23 22 21
13 12 11
T T T
T T T
T T T T
( )
32 22 12 x
x
T T T e
T e , M
T 2 2
B
=
⋅
→ r = r
Tenseur des contraintes T (1/2)
x3
x2
x1
O M
A1
A2 A3
dS2 T12
T22 T32
dS3
dS1 T11
T21 T31
T13
T23
T33
Tenseur des contraintes T (2/2)
T ( M , n→1)
→
T ( M , n→2)
→ n1
→
n2
→ τ12
τ21
T ( M , n→1)
→
T ( M , n→2)
→ n1
→ n2 τ12 →
τ21 x3
x2
x1 d S2
d F→3
d F→2 d F→1
dF→
cisaillement
traction ou compression O
M M1
M'3
M3
M2 M'1
M'2 d l1
d l2
d l3
→n1
→n2
→n3
- n→1
- n→2
- n→3
(M,n)n T(M,n)n ,i j T i⋅ j=→ j⋅ i ≠
→ r r r r
21 12=τ τ
I II 0
III rupture σ = FS
ε = ∆LL
0
zone I Elasticité linéaire zone II Elasticité non linéaire zone III Plasticité
L0
L
S0 A AA
A
A A
A A
B B
A A
BB L
Lu - F→
→F
→F - F→
AA
AA
AA section
sectionS≈S0
S <
section S0 sectionS≈S0
section Su<< S0
Eprouvette non sollicitée
Eprouvette sollicitée avant l'apparition de la striction
Eprouvette sollicitée après l'apparition de la striction
Eprouvette reconstituée après rupture
Essai de traction
z Contraintes normales :
z Contraintes tangentielles :
∂ +∂
∂ µ ∂
=
i j j i
x u x u
Ti i= λ(S11+ S22+ S33) + 2 µ Sii i étant fixé
i i 3
3 2 2 1 1
x 2 u x u x u x u
∂ µ∂
+
∂ +∂
∂ +∂
∂ λ ∂
=
Ti j= 2 µ Sij i ≠ j
V u V div S S
S11+ 22+ 33= r=∆ λ, µ : coefficients de Lamé avec
Loi de Hooke en milieu isotrope
x1 x2
x3 o
l s
→F
( )ES
=F
∆ll
( )ES F d
d =−ν∆ =−ν
∆ ll
1 1 1
1 T
E S =1
1 1 3 3
22 T
S E S = =−ν 0
T22= T33=0 avec et
(11 22 33) 11 1
1 S S S 2 S
T =λ + + + µ
(11 22 33) 22 2
2 S S S 2 S
T =λ + + + µ
z Loi de Hooke pour les contraintes normales :
1 1 1 1 2
2 T
E T 2 E 2 E
T 1 − µν
− ν λ
=
(λ+µ)
= λ ν 2
1 1 1 1 1
1 T
E T 2 E 2 E
T 1 µ
+
ν
− λ
=
(− ν)+ µ λ
= 1 2 2
E
