Physique des ondes Onde transmise par un objet diffractant E. Ouvrard

Physique des ondes

Onde transmise par un objet diffractant

E. Ouvrard

PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT

7 janvier 2021

Superposition deN ondes Vibration de l’onde résultante enM

sN−1

sk

s0

bM

On s’intéresse à un cas très particulier d’une superposition deN ondes cohérentes (avecN ≫1) interférant en un pointM, de même amplitude et dont les phases sont en progression arithmétique.

b s(M, t) =s0(M, t).∑^N0 ⁻¹e^j.k.ϕ

Superposition deN ondes Condition d’interférences constructives

ϕ=0^○

I I0

=90.00%

360 180

b

Superposition deN ondes Condition d’interférences constructives

ϕ

s0 s1 s²

s³ s⁴

s5s6 7s 8s 9s

Interférences destructives

b N.ϕ=2.π[2.π]

0 [2.π]<N.ϕ<2.π [2.π]

s0 s¹

s²

s3

4s 5s s 6

s7

s8

s9 s0 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9

Interférences constructives

b ϕ=0 [2.π]

b b

b b b b ϕ

I

0 2.π

Condition d’interférences constructives

b Interférences constructives: ϕ=2.π (2.π) b Demi-largeur des franges brillantes: ∆ϕ= 2.π

N

Superposition deN ondes Intensité diffractée par un réseau Définitions

Qu’est-ce qu’un réseau ?

C’est un système constitué d’un grand nombre de fentes diffractantes de dimensions toutes identiques.

Il existe des réseaux par transmission ou par réflexion.

On se place dans les conditions de Fraunhofer.

Le goniomètre permettra d’exploiter un réseau dans ces conditions

Caractéristiques du réseau

Les caractéristiques d’un réseau plan sont Le pas adistance entre deux fentes voisines Le nombre total de fenteN

a

Superposition deN ondes Intensité diffractée par un réseau Différence de marche

On observera en M la résultante des interférences deN ondes. On peut exprimer δ la différence de marche entre deux ondes consécutives, engendrant un déphasageϕ= 2.π.δ

λ0

entre ces deux ondes.

i

θ H1

H2

Sp

Sp+1

H1Sp=−a.sini(car sini<0) S_pH2=+a.sinθ

On a, en supposant la propagation dans l’air assimilé au vide

δ=H1S_p+S_PH2

δ=a.(sinθ−sini)

Superposition deN ondes Intensité diffractée par un réseau Formule du réseau

I

2.π

−2.π

p=0 p=1 p=2 p=3

p=−1 p=−2

Interférences constructives

On considèrera l’éclairement non nul pour les seuls états d’interférences constructives des N ondes. On obtient alors différents ordres p de diffraction.

Superposition deN ondes Minimum de déviation pour une raie

D_m=(θ−i)^min dD_m=0 Ð→ dθ=di d(sini−sinθ)=0

Ce qui amène àcosθ=cosi soit θ=±i

D_m≠0 donc θ=−i

La formule du réseau s’écrit alors 2.sinD_m

2 = p.λ a

Minimum de déviation

On peut relier, pour un ordre p, le minimum de déviation et la longueur d’onde par la relation sinD_m

2 = p.λ 2.a

D

Superposition deN ondes Pouvoir de résolution

δ p.λ0 p.(λ0+δλ)

λ0

N ϕ=

2.π

N → s_tot=0

ϕ

Critère de Rayleigh pour le réseau

Deux longueurs d’onde pourront être séparées à l’ordre p si λ0

δλ ⩽p.N

Optique de Fourier Vecteur d’onde

z x

α

OPPH

Une onde plane progressive monochromatique de longueur d’ondeλ0 se propage dans la directionÐ→u dans un milieu d’indicen. On écrit alors la vibration lumineuse en M

s(M, t)=S0.e^i(ωt−Ð

→k⋅ÐÐ→OM) avec Ð→ k = 2.π

λ0

.Ð→u Ð→

k =k_x.Ðe→_x+k_y.Ðe→_y+k_z.Ðe→_z = n.ω

c .(sinα.Ðe→_x+cosα.Ðe→_z)

Optique de Fourier Fréquences spatiales

OPPH :s(M, t)=S0.cos[2.π.( ω

2.π.t− kx

2.π.x− kz

2.π.z)]

Évolution temporelle spatiale

Période T = 2.π

ω Périodes spatiale 2.π k_x ;2.π

k_z Fréquence f= 1

T Fréquence spatialeu= k_x

2.π;v= k_z 2.π Fréquence spatiale

La fréquence spatiale selon une direction Ðe→_i a pour expression

- b

Ð→k ⋅Ðe→_i 2.π

Objet diffractant Transparence

Coefficient de transmission

Pour un objet diffractant dans le planY OZ, on caractérise sa transparence par le coefficient t(P).

En notantA_i l’amplitude de la vibration lumineuse en amont de l’objet diffractant et A_t en sortie au pointP, on aura :

A_t(P)=t(P).A_i(P)

Objet diffractant Plan de Fourier

Plan de Fourier

On nomme plan de Fourier le plan focal image de la lentille de projection permettant l’observation de la figure de diffraction

Toute analyse des figures de diffraction se fera dans le plan de Fourier

Réseau sinusoïdal Observation

Observation de la figure de diffraction dans le plan de Fourier

Réseau sinusoïdal Observation

Observation de la figure de diffraction dans le plan de Fourier

Objet diffractant étudié t(x)

Réseau sinusoïdal Observation

Observation de la figure de diffraction dans le plan de Fourier

Objet diffractant étudié t(x)

x

Réseau sinusoïdal Observation

Observation de la figure de diffraction dans le plan de Fourier

Objet diffractant étudié t(x)

Réseau sinusoïdal Observation

Observation de la figure de diffraction dans le plan de Fourier

Objet diffractant étudié t(x)

x

Réseau sinusoïdal Observation

Observation de la figure de diffraction dans le plan de Fourier

Objet diffractant étudié t(x)

Réseau sinusoïdal Observation

Observation de la figure de diffraction dans le plan de Fourier

Objet diffractant étudié t(x)

x

Décomposition en OPPH

L’onde transmise par cet objet peut être décomposée en 3 OPPH de directions différentes

Réseau sinusoïdal Décomposition en ondes planes

Décomposition en OPPH

L’onde transmise par cet objet peut être décomposée en 3 OPPH de directions différentes

Amplitude de l’onde enx P

z A0.e^i(ωt)

bP

O

t(P).A0.e^i(ωt)

≡ P^b

A1.e^i(ωt−

Ð→k1⋅Ð→OP)

α

1

A₃.e^{i(ωt−Ð→k3⋅Ð→OP)}

A2.e^i(ωt−

Ð→k2⋅Ð→OP) 2 α

Vecteur d’onde Ð→ k_i = 2.π

.(sinα_i.Ð→e_x+cosα_iÐe→_z)

Réseau sinusoïdal Décomposition en ondes planes

Amplitude de l’onde enx P

z A0.e^i(ωt)

bP

O

t(P).A0.e^i(ωt)

≡ P^b

A1.e^i(ωt−

Ð→k1⋅Ð→

OP)

α

1

A₃.e^{i(ωt−Ð→k3⋅Ð→OP)}

A2.e^i(ωt−

Ð→k2⋅Ð→OP)

α

2

Amplitude de l’onde transmise enP (d’abscisse x) A_t=t(P).A0=A0.[1+cos(2.π.x

a )]

Réseau sinusoïdal Décomposition en ondes planes

Amplitude de l’onde enx P

z A0.e^i(ωt)

bP

O

t(P).A0.e^i(ωt)

≡ P^b

A1.e^i(ωt−

Ð→k1⋅Ð→

OP)

α

1

A₃.e^{i(ωt−Ð→k3⋅Ð→OP)}

A2.e^i(ωt−

Ð→k2⋅Ð→OP)

α

2

Amplitude de l’onde transmise enP (d’abscisse x) A_t=t(P).A0=A0.[1+cos(2.π.x

a )]

Amplitude de la superposition de 3 OPPH en un pointP

Réseau sinusoïdal Décomposition en ondes planes

L’identification des deux expressions de l’amplitude en P donne :

A0.⎛

⎝1+e^i.2.π.xa +e^−i.2a.π.x 2

⎞

⎠=A3+A1.e

−i.2.π.x.sinα1

λ0 +A2.e

−i.2.π.x.sinα2 λ0

A2=A1=1 2.A3

sinα1=−sinα2= λ0

a Direction des OPPH

Les OPPH se propagent dans les directions telles que b sinα= p.λ0

a p=−1,0,1

Réseau sinusoïdal Interprétation dans le plan de Fourier

x t(x)

a L

Objet diffractant

Transformée de Fourier

F(u)

u

1 a

Observation dans le plan de Fourier

Observation dans le plan de Fourier

Observation dans le plan de Fourier

L’observation dans le plan de Fourier de l’onde transmise par un objet diffractant peut être reliée au spectre de Fourier du coefficient de

transmission de cet objet éclairé par une OPPH de longueur d’onde λ0 en incidence normale

A une fréquence spatialeu du spectre de Fourier correspond à une OPPH transmise dans la directionα avec

sinα=u.λ0

L’intensité transmise dans la directionα est proportionnelle au carré du coefficient du spectre de Fourier pour la fréquence spatialeu

Réseau deN traits parallèles Spectre de la mire Déviation à l’ordrep

x t(x)

a L

Réseau deN traits parallèles Spectre de la mire Déviation à l’ordrep

x t(x)

a L

u

∣F(u)∣²

0 u1 u2

avecup= ^p_a

Réseau deN traits parallèles Spectre de la mire Déviation à l’ordrep

x t(x)

a L

u

∣F(u)∣²

0 u1 u2

avecup= ^p_a

Déviation à l’ordre p

Une mire de pasaéclairée en incidence normale à une longueur d’onde λ0

diffracte essentiellement dans des directions θ_p à l’ordre p telles que λ

Réseau deN traits parallèles Spectre de la mire Importance du nombre de

u

∣F(u)∣²

0 u1 u2

avecu_p= ^p_a

Réseau deN traits parallèles Spectre de la mire Importance du nombre de

u

∣F(u)∣²

0 u1 u2

avecu_p= ^p_a

u

1 N.a

u_p avecup= ^p_a

Réseau deN traits parallèles Spectre de la mire Importance du nombre de

u

∣F(u)∣²

0 u1 u2

avecu_p= ^p_a

u

1 N.a

u_p avecup= ^p_a

Pouvoir de séparation

Une raie diffractée à l’ordre p sera d’autant plus fine que le nombre de traits du réseau N sera grand

Filtrage spatial Diaphragme dans le plan de Fourier

Filtrage spatial Diaphragme dans le plan de Fourier

Diaphragme

Tâche uniforme

Filtrage spatial par un diaphragme

Un diaphragme placé dans le plan de Fourier se comporte comme un filtre passe-bas pour les fréquences spatiales caractéristiques de l’objet.

Le spectre de l’image sera alors appauvri

Filtrage spatial Exemple de filtrage

Filtrage spatial Exemple de filtrage

Diffraction

Des traits périodiques très rapprochés (de grande fréquence spatiale) entrainent un phénomène de diffraction

Filtrage spatial Exemple de filtrage

Filtrage spatial Exemple de filtrage

Filtrage des hautes fréquences

Un diaphragme éliminera de l’image les hautes fréquences spatiales de l’objet

Filtrage spatial Exemple de filtrage

Filtrage des basses fréquences

Un cache central éliminera de l’image les parties non périodiques de l’objet