Outils mathématiques Analyse de Fourier E. Ouvrard

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Outils mathématiques

Analyse de Fourier

E. Ouvrard

PC CPGE Lycée Dupuy de Lôme - LORIENT

19 septembre 2017

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1 Cas des signaux périodiques Mesures associées

Décomposition en série de Fourier

Termes à connaitre

Du modèle mathématique à l’étude physique Spectre

2 Cas des signaux non périodiques : Transformée de Fourier Transformée de Fourier

Étendue temporelle/spectrale

Quelques exemples

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Cas des signaux périodiques Mesures associées

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Cas des signaux périodiques Mesures associées

Signal périodique

Un signals(t)est périodique s’il se reproduit identiquement à lui-même au bout d’une duréeT, nommée période, indéfiniment.

Période : T en secondes Fréquence :f = 1

T ens⁻¹ ou en Hertz (Hz) Pulsation :ω= 2.π

T enrad.s⁻¹ Valeur moyenne :

⟨s(t)⟩ = 1

T.∫⁰^Ts(t).dt Valeur efficace :

S_{ef f} =√

⟨s²(t)⟩

Valeur efficace de la composante alternative :

S_{ef f(ac)}=√

⟨(s(t) − ⟨s(t)⟩)²⟩

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Cas des signaux périodiques Décomposition en série de Fourier

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Cas des signaux périodiques Décomposition en série de Fourier

Décomposition en série de Fourier

Toute fonction s(t) périodique, de périodeT = 1 f0

peut s’écrire sous la forme

s(t) =S0+ ∑^∝n=1(a_n.cos(2.π.n.f0.t) +b_n.sin(2.π.n.f0.t)) Avec nentier

S0= ⟨s(t)⟩

Forme alternative : s(t) =S0+ ∑^∝n=1A_n.cos(n.ω0.t+ϕ_n)

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Cas des signaux périodiques Décomposition en série de Fourier Termes à connaitre

Tout signal périodique peut donc être vu comme une somme de signaux sinusoïdaux dont le signal de fréquencef0 est nommé fondamentalet les signaux de fréquencen.f0 les harmoniques de rang n.

La connaissance de l’amplitude de l’ensemble des harmoniques fournit le spectredu signal.

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Cas des signaux périodiques Décomposition en série de Fourier Du modèle mathématique l’étude physique

En théorie, la somme des signaux sinusoïdaux est infinie. En pratique, la connaissance des premières harmoniques (une dizaine) permet de bien décrire le signal.

Voici en exemple la décomposition en série de Fourier s’un signal créneau n_{M ax}=1 n_{M ax} =3 n_{M ax} =7 n_{M ax}=15

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Cas des signaux périodiques Décomposition en série de Fourier Spectre

Spectre en amplitude

C’est la représentation des amplitudes de chacune des composantes fréquentielles de rangn en fonction de la fréquence n.f0 de cette harmonique, ainsi que de la composante continue

An

fn

f0 3.f0 5.f0 7.f0 9.f0

Théorème de Parseval

Pour un signal périodique décomposable en série de Fourier :

- b S_{ef f}² =S0²+ ∑^∞n=1S²_{n,ef f}

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Cas des signaux non périodiques : Transformée de FourierTransformée de Fourier

f(t) est un signal temporel non nécessairement périodique.

f(t) périodique f(t) non périodique

f(t) = ∑^∞n=0.A_n.cos(n.ω.t+ϕ_n) f(t) = ∫⁰^∞.dA(ω).cos(ω.t+ϕ(ω))

Transformée de Fourier

Pour une fonctionf(t) non périodique dans le domaine temporel, la transformée de Fourier F(ω) est du type :

F(ω) = 1

√2.π.∫^−∞^+∞f(t).e^−iωt.dt

On a de même une relation entre ces deux grandeurs, nommée transformée de Fourier inverse :

f(t) = 1

√2.π.∫_−∞^+∞F(ω).e^iωt.dω

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Cas des signaux non périodiques : Transformée de FourierÉtendue temporelle/spectrale

Largeurs spectrale et temporelle

Pour un signal temporel d’une durée d’existence τ, la largeur spectrale associée ∆ω est telle que

∆ω.τ ≡2.π

Étendue temporelle Étendue spectrale

t f(t)

τ

ω a(ω)

∆ω

t f(t)

τ

ω a(ω)

∆ω

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Cas des signaux non périodiques : Transformée de FourierÉtendue temporelle/spectrale Quelques exemples

f(t) =f0.cos(2.π.t T +ϕ)

t f(t)

T0

ν F(ν)

ν0

−ν0

Avec ν0= _T¹0

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f(t) =f0

t f ( t )

ν F ( ν )

0

(14)

f(t) =RRRRR RRRRR RRRRR R

−τ0

2 <t<τ0

2 ∶ f0

∣t∣ >τ0

2 ∶ 0

t f(t)

τ0

ν F(ν)

2.ν0

ν0=_T¹0

(15)

f(t) =RRRRRRRRRR RRRRR R

t< ∣τ0

2∣∶ f0.[1+cos(2.π.t T +ϕ)]

∣t∣ > τ 2 ∶ 0

t f(t)

T0

τ0

ν F(ν)

0 ν1

ν₋1

ν1=−ν₋1 =_T¹0

(16)

f(t) =f(t+T) =RRRRR RRRRR RRRRR

t<τ0∶ f0

τ0<t<T 0

t f(t)

T0

ν F(ν)

0 ν1 ν2

ν_i =_Tⁱ0