SL1: Qu’est-ce qu’un signal ?

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SL1: Qu’est-ce qu’un signal ?

1. Les différents types de signaux

1. définition

Un signal s(t) est une grandeur physique variable dans le temps, permettant de véhiculer une information. Cette grandeur peut être mécanique (ex : pression acoustique), thermodynamique (ex : température) ou électrique (courant  u(t) ou tension  i(t))

Remarque : différence entre les deux ??

 La tension entre deux points A est B d’un circuit est notée UAB . Elle représente la différence entre deux états électriques, chaque état étant caractérisé par un potentiel exprimé en volts (V)

U_AB = V_A - V_B

 L’intensité électrique I se mesure en Ampères (A). Elle correspond à la quantité de charges électriques qui traversent un conducteur par seconde.

2. notations

 une lettre majuscule désignera un signal constant E = 10V

 une minuscule un signal variable i(t) = I₀ sin(ωt)

 une lettre soulignée désignera un signal complexe 𝑢 = 𝑈₀𝑒^𝑗𝜑

3. signal analogique/numérique

Un signal analogique est défini à tout instant, et peu prendre une infinité de valeurs

Un signal échantillonné ne prend ses valeurs qu’à certains instants, séparés par la fréquence d’échantillonnage Te (le temps est discret, mais la tension est continue)

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Un signal quantifié ne peut prendre qu’un certain nombre de valeurs. (le temps est continu, mais la tension est discrète)

Un signal numérique est à la fois échantillonné et quantifié.

Ex 13 p 14

2. grandeurs associées à un signal variable

1. cas des signaux périodiques

La période T d'un signal s est la plus petite durée au bout de laquelle un phénomène périodique se répète:

s(t) = s(t+T) T s’exprime en secondes.

• fréquence f :

La fréquence est le nombre de répétition du phénomène par seconde. Elle se calcule par : f = 1

T  T en secondes

 f en Hertz (Hz)

• pulsation  :

Pour un signal sinusoïdal, il est plus commode d'utiliser la pulsation:  = 2f = 2π T Elle s'exprime en radians par seconde.

3 2. retard et déphasage

calculer la période de ces 2 signaux

évaluer le retard τ de u2 (rouge) sur u₁ (bleu)

en déduire le déphasage φ de u₂ par rapport à u₁ 2π ↔ T

φ ? ↔ τ  𝜑 = 2𝜋 _𝑇^𝜏

Pour un signal en retard, la phase est négative.

expression d'une tension sinusoïdale:

Un signal sinusoïdal u(t) a pour expression mathématique : u(t) = UM sin(t + ) UM: amplitude du signal

ω : pulsation (ω = 2πf)

: déphasage (= décalage temporel)  s'exprime en radians

 Pour un signal sinusoïdal, on peut aussi utiliser la notation complexe : u = 𝑈₀𝑒^𝑗𝜑 exemples sous Regressi....

3. valeur moyenne

notée <u> ou 𝑢

< 𝑢 > = 1

𝑇 𝑢 𝑡 𝑑𝑡

𝑇

0

méthode de calcul : l'intégrale représente l'aire sous la courbe entre t=0 et t=T

Pour calculer la moyenne, il suffit de calculer l’aire sous la courbe et de diviser par la valeur de la période.

Remarques :  pour un signal périodique symétrique et centré, la moyenne est donc nulle

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 tout signal périodique peut se décomposer comme en une composante continue et une composante alternative centrée sur 0. La composante continue correspond à la moyenne du signal : on peut la mesurer à l’aide d’un multimètre en mode DC

4. valeur efficace

notée Ueff. 𝑈_𝑒𝑓𝑓 = < 𝑢² > = _𝑇¹ 𝑢₀^{𝑇 2} 𝑡 𝑑𝑡

méthode de calcul : à partir de la courbe de u(t), on construit la courbe u²(t), puis on en détermine graphiquement la moyenne comme vu précédemment.

remarques :  la valeur efficace est liée à la puissance moyenne du signal (rappel: P = ^{𝑼𝒆𝒇𝒇𝟐}_𝑹 )

 avec un multimètre (TRMS), elle est donnée par le mode AC+DC

ex: déterminer les valeurs moyennes et efficaces d'une tension sinusoïdale u(t) = U₀ sin(t) ( rappel: sina.sinb = ¹₂(cos(a-b)–cos(a+b)) )

Ex 14-15-16 p14-15

5. rapport cyclique (pour un signal carré)

Le rapport cyclique α correspond au rapport antre la durée du signal à l'état haut et la durée totale

d'une période: α = t

T exemple: calculer la moyenne et la valeur efficace d'un signal carré de rapport cyclique α

<u> = tE = α E

U_eff ²= tE² = α E²  U_eff = 𝛼 E

Ex18 p15

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3. Puissance en régime sinusoïdal

1. rappel sur la puissance instantanée (vu au chap SL0)

La puissance instantanée fournie au récepteur AB est égale au produit de la tension à ses bornes par l’intensité qui le traverse :

p(t) = uAB(t)i(t)



La puissance électrique P consommée par le dipôle (appelée aussi puissance active) correspond à la moyenne de la puissance instantanée sur une période: P = ¹

𝑇 𝑝 𝑡 𝑑𝑡₀^𝑇

 cas d'une tension continue :

Si U et I sont constants, alors on a directement : P = U×I 2. cas d'une tension sinusoïdale

u(t) = U sin ωt

Pour une charge quelconque, le courant est décalé d'un déphasage φ : i(t) = I sin(ωt+φ) On calcule alors la puissance P par la moyenne de la puissance instantanée p(t) :

P = ¹

𝑇 𝑝 𝑡 𝑑𝑡₀^𝑇 P = ¹

𝑇 𝑝 𝑡 𝑑𝑡₀^𝑇 = ¹

𝑇 𝑢 𝑡 ₀^𝑇 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 = ¹_𝑇 𝑈𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 × 𝐼𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 − 𝜑 𝑑𝑡₀^𝑇 or sin (a)×sin(b) = ½ (cos (a-b)-cos (a+b))

 P = _𝑇¹𝑈𝐼 ₀^𝑇1₂ cos 𝜑 − cos 2𝜔𝑡 − 𝜑 𝑑𝑡

= ^𝑈𝐼₂ (¹_𝑇 𝑐𝑜𝑠₀^𝑇 𝜑 𝑑𝑡 −¹_𝑇 𝑐𝑜𝑠₀^𝑇 2𝜔𝑡 − 𝜑 𝑑𝑡)  P = UI 2 cos φ cosφ est appelé le facteur de puissance

 La puissance active P s'exprime en W

remarques: • la puissance active peut aussi s'exprimer à l'aide des valeurs efficaces:

(en régime harmonique, on rappelle que Ueff = ^𝑈

2 et Ieff = ^𝐼

2 ) on a alors :

P = Ueff Ieff cosφ

• on peut aussi définir la puissance réactive Q qui définit le caractère inductif d'un système : Q = ^𝑈𝐼₂ 𝑠𝑖𝑛𝜑

u(t) i(t)

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4. analyse fréquentielle

1. Théorème de Fourier

Tout signal périodique u(t) peut être décomposé comme une somme de signaux sinusoïdaux dont les fréquences sont des multiples de la fréquence de u(t).

Pour retrouver les harmoniques dont est composé un signal périodique, on utilise la décomposition en série de Fourier.

soit u(t) un signal de pulsation ω. Sa décomposition en série de Fourier est la suivante :

u(t) = U0 + U1sin(ωt+φ1) + U2sin(2ωt+φ2) + U3sin(3ωt+φ3) +…

 U0 correspond à la moyenne du signal

 U₁ est l’amplitude du fondamental (harmonique de même fréquence que u(t))

 la fréquence des autres harmoniques sont des multiples de la fréquence fondamentale

Un signal peut donc se représenter en fonction de l'amplitude de ses harmoniques : le graphe de l’amplitude des harmoniques en fonction des fréquences est appelé spectre du signal.

Le spectre d’un signal périodique est donc un spectre de raies.

calcul des harmoniques (HORS PROGRAMME)

La décomposition en séries de Fourier peut aussi s’écrire sous la forme : u(t) = A₀ + (A₁cos(ωt) + B₁sin(ωt)) + (A₂cos(2ωt) + B₂sin(2ωt)) + …

les coefficients se calculent par les intégrales suivantes :

 A₀ = ¹

𝑇 𝑢 𝑡 𝑑𝑡₀^𝑇 (on retrouve l’expression de la moyenne)

 A_n = ²

𝑇 𝑢 𝑡 𝑐𝑜𝑠⁡(𝑛𝜔𝑡)𝑑𝑡₀^𝑇

 B_n = ²

𝑇 𝑢 𝑡 𝑠𝑖𝑛⁡(𝑛𝜔𝑡)𝑑𝑡₀^𝑇

règles de simplification :

 si le signal est pair ( u(-t) = u(t)  symétrie par rapport à l’axe des ordonnées) alors tous les B_i = 0

 si le signal est impair ( u(-t) = -u(t)  symétrie par rapport à l’origine) alors tous les A_i = 0 (et A₀ = 0)

• si le signal est symétrique par rapport à T/2 ( u(t) = -u(t-T/2) ), alors toutes les harmoniques paires sont nulles

7 2. Exemple du signal carré

On considère un signal carré e(t) symétrique variant entre +E et – E, de pulsation ω.

Le calcule de ses différentes harmoniques donne.

e(t) = E1 sin(ωt) + E3 sin(3ωt) + E5 sin(5ωt) + … avec En

=

Remarque: ici, les harmoniques de rang impair sont nulles exemple : reconstitution inverse sous regressi…

4. applications

u(t) = U0 + U1sin(ωt+φ1) + U2sin(2ωt+φ2) + U3sin(3ωt+φ3) +…

valeur efficace du signal :

La puissance d'un signal périodique est égale à la somme des puissances délivrées par chacune de ses harmoniques (y compris la composante continue).

En conséquence, la valeur efficace du signal se calcule à partir des amplitudes de ses harmoniques :

Ueff = 𝑈₀²+^𝑈₂¹²+^𝑈₂²²+ ^𝑈₂³²+ ⋯

remarque : cette valeur efficace est appelée TRMS. Certains voltmètres indiquent seulement la valeur efficace du signal sans sa valeur moyenne (mode AC). Cette valeur, appelée RMS, correspond alors à U_RMS = ^𝑈12

2 +^𝑈₂²²+ ^𝑈₂³²+ ⋯ : il manque la composante continue !

exemple : en se limitant aux 5 premiers harmoniques, calculer la valeur efficace du signal carré précédent - retrouve-t-on le résultat du 2.5 ?

8 taux de distorsion harmonique :

Le taux de distorsion harmonique permet de quantifier la façon dont un signal se rapproche de sa forme sinusoïdale. Il revient à comparer la valeur efficace de ses harmoniques non

fondamentales à la valeur efficace du fondamental :

D(%) =

𝑈 22

2+ ^{𝑈 3}₂²+⋯

𝑈 1 2

=

𝑈_{2𝑒𝑓𝑓}² +𝑈_{3𝑒𝑓𝑓}² +⋯

𝑈_{1𝑒𝑓𝑓}

 la composante continue U0 n’est pas prise en compte

 pour un signal purement sinusoïdal, on retrouve bien D=0%

exemple : en se limitant aux 5 premiers harmoniques, calculer le taux de distorsion du signal carré précédent.

5. cas des signaux non périodiques

Les signaux non périodiques peuvent aussi être représentés de façon fréquentielle (on utilise alors la transformée de Fourier¹)

Dans ce cas, leur spectre n'est pas un spectre de raies, mais un spectre continu.

exemple:

spectre voix d'homme spectre voix de femme

1 La transformée de Fourier permet une décomposition en fréquence de tout type de signal.

La transformée de Fourier Û(f) d'un signal temporel u(t) s'obtient par :

𝑈 𝑓 = 𝑢(𝑡)𝑒₀^{∞ −2𝑗𝜋𝑓𝑡}𝑑𝑡

La méthode de calcul approché, pour un signal numérique x_k, utilise la FFT (Fast Fourier Transform) ( voir cours de Maths):