Les signaux sinusoïdaux en physique

Aabu

Les signaux sinusoïdaux en physique

27 juillet 2020

Table des matières

1. Introduction 3

1.1. Pourquoi s’intéresse-t-on aux signaux sinusoïdaux ? . . . 3

1.2. Rappels sur la notion de période et de fréquence . . . 4

1.2.1. Période . . . 4

1.2.2. Fréquence . . . 4

2. Les signaux sinusoïdaux 5 2.1. Les signaux sinusoïdaux à la loupe . . . 5

2.1.1. Définition . . . 5

2.1.2. Cas des signaux constants . . . 6

2.1.3. Effet des différents paramètres. . . 6

2.2. Exercices . . . 9

2.2.1. Exercice 1 . . . 9

2.2.2. Exercice 2 . . . 10

2.2.3. Exercice 3 (plus dur) . . . 11

2.3. Annexe : Définitions alternatives . . . 12

2.3.1. Forme alternative avec la période . . . 12

2.3.2. Forme alternative avec la pulsation . . . 12

2.3.3. Forme alternative avec un sinus . . . 13

Contenu masqué . . . 14

3. Déphasage et retard 16 3.1. Déphasage et retard entre deux signaux sinusoïdaux . . . 16

3.1.1. Déphasage entre deux signaux de même fréquence . . . 16

3.1.2. Cas particuliers de déphasage . . . 16

3.1.3. Déphasage et retard temporel . . . 18

3.1.4. Considérations pratiques . . . 19

3.2. Exercices . . . 20

3.2.1. Exercice 1 . . . 20

3.2.2. Exercice 2 . . . 22

3.2.3. Exercice 3 . . . 23

Contenu masqué . . . 24

4. Pour aller plus loin 26

5. Remerciements 27

Les signaux sinusoïdaux sont à la base de l’étude des phénomènes périodiques en physique, ce qui les rend indispensables dans la boîte à outils de tout scientifique.

Ce tutoriel enseigne l’essentiel sur les signaux sinusoïdaux. Il aborde toutes les notions fondamentales utiles notamment en acoustique et en électronique.

Il est destiné aux débutants sachant manipuler les fonctions sinus et cosinus, sachant optionnel- lement dériver ces fonctions et familiers avec les notions de période et de fréquence.

i

— forme générale d’un signal sinusoïdal,

— amplitude, fréquence, et phase à l’origine d’un signal sinusoïdal,

— cas particulier des signaux constants,

— déphasage entre deux signaux, avance et retard de phase,

— cas particulier des signaux en phase, en opposition de phase et en quadrature,

— correspondance entre déphasage et retard,

— forme alternative utilisant le sinus,

— reformulation avec la période et la pulsation.

!

— notions de période et de fréquence,

— fonctions sinus et cosinus.

1. Introduction

Avant d’entrer dans le vif du sujet, un peu de contexte et quelques rappels sont de rigueur.

1.1. Pourquoi s’intéresse-t-on aux signaux sinusoïdaux?

La physique étudie de nombreux phénomènes périodiques, qu’on modélise par des fonctions périodiques. Ces phénomènes se répètent régulièrement dans le temps et les fonctions périodiques en sont une modélisation naturelle, car elles se répètent régulièrement en fonction de leurs arguments. On rencontre ce type de modélisation dans tous les domaines de la physique, notamment en mécanique, acoustique, optique ou encore en électronique.

L’analyse mathématique des fonctions périodiques montre que la fonction sinus est une brique élémentaire des fonctions périodiques. En effet, sous certaines conditions généralement remplies en physique, n’importe quel signal périodique s’écrit sous la forme d’une somme (éventuellement infinie) de fonctions en forme de sinus. Ce résultat est issu de la théorie des séries de Fourier.

En physique, les fonctionsen forme de sinus, plus communément appelées sinusoïdes ou signaux sinusoïdaux, sont ainsi un outil de choix pour l’étude des phénomènes périodiques. En assurant la décomposition de phénomènes complexes en phénomènes élémentaires, les signaux sinusoïdaux permettent souvent de simplifier un problème et de mettre en valeur les propriétés essentielles du phénomène.

En fin de compte, l’étude des signaux sinusoïdaux est un sujet incontournable en physique et plus généralement en science.

Figure 1.1. – Exemple de décomposition en série de Fourier.

1.2. Rappels sur la notion de période et de fréquence

Avant d’entrer dans le vif du sujet, il convient de faire de petits rappels sur les notions de période et de fréquence.

1.2.1. Période

La période d’un signal périodique est la plus petite durée après laquelle le signal se répète identique à lui-même. Elle s’interprète aussi comme la durée de la plus petite portion du signal qui, en se répétant, permet de reconstituer le signal dans son ensemble.

Formellement, pour un signal s, la période est la plus petite valeur T telle que à chaque instant t :

s(t) =s(t+T) La figure ci-dessous montre la période sur un exemple.

Figure 1.2. – Période d’un signal périodique.

1.2.2. Fréquence

La fréquence d’un signal périodique est le nombre de répétitions du signal pendant une seconde.

Formellement, la fréquencef d’un signal est l’inverse de sa périodeT :

f = 1/T

Après cette brève introduction, il est temps d’aborder le sujet principal de ce tutoriel.

2. Les signaux sinusoïdaux

Dans cette partie, vous apprendrez l’essentiel sur l’objet de ce tutoriel : les signaux sinusoïdaux.

2.1. Les signaux sinusoïdaux à la loupe

2.1.1. Définition

Un signal sinusoïdal est un signal en forme de sinus. Formellement, il s’agit d’un signal pouvant s’écrire sous la forme suivante :

s(t) = Scos(2πf t+ϕ) où :

— S est l’amplitude du signal, positive et exprimée dans l’unité de la grandeur (des volts pour une tension par exemple) ;

— f est la fréquence du signal en hertz (symbole Hz), positive comme toute fréquence ;

— ϕ est unephase à l’origine en radians (symbole rad).

La figure ci-dessous montre un exemple de signal sinusoïdal.

Figure 2.1. – Signal sinusoïdal d’amplitude 1, de fréquence 2 Hz et de phase à l’origine π/4 rad.

!

En effet, à cause de la périodicité de la fonction cosinus, toutes les valeurs ϕ+ 2kπ, avec k entier reviennent au même. On parle souvent de la phase à l’origine, soit par abus de

langage, soit pour désigner la phase à l’origine dans un domaine restreint (par exemple l’intervalle ]−π;π] ou[0; 2π[).

!

Pour en savoir plus à propos de cette subtilité, lisez la partie Définitions alternatives .

2.1.2. Cas des signaux constants

Les signaux constants sont un cas particulier de signaux sinusoïdaux ! Ils sont obtenus avec une fréquence nulle, ce que nous allons démontrer.

Dans le cas d’une fréquence nulle, c’est-à-dire f = 0 Hz, l’expression d’un signal sinusoïdal devient :

s(t) = Scos(ϕ)

Cette expression ne dépend pas du temps, il s’agit donc d’un signal constant.

Dans cette dernière expression, les deux paramètres sont redondants, puisque pour une amplitude donnée, une variation de phase à l’origine permet de retrouver toutes les amplitudes inférieures.

On peut donc encore simplifier en choisissant ϕ= 0, et obtenir le signal «sinusoïdal» constant le plus simple :

s(t) =S

2.1.3. Effet des différents paramètres

2.1.3.1. Amplitude

Pour comprendre visuellement à quoi correspond l’amplitude, je vous propose de regarder les trois signaux sinusoïdaux de la figure ci-dessous.

Figure 2.2. – Signaux sinusoïdaux de différentes amplitudes.

2. Les signaux sinusoïdaux

Ces signaux ont la même fréquence et la même phase à l’origine, mais diffèrent par leurs amplitudes. Il y a :

— un signal bleu, s_b(t), qui oscille le plus fort,

— un signal jaune, sj(t), qui oscille moins fort,

— un signal vert, s_v(t), qui oscille encore moins fort.

Les amplitudes sont telles que le signal bleu à la plus forte amplitude, suivi par le signal jaune et enfin le signal vert. On observe ainsi que plus l’amplitude est grande, plus l’oscillation est haute. Autrement dit, l’amplitude règle la hauteur des pics et la profondeur des creux.

Ce comportement se justifie mathématiquement en utilisant l’expression d’un signal sinusoïdal.

Le maximum d’un signal sinusoïdal, obtenu quand le cosinus est maximal et donc égal à 1, est en effet égal à l’amplitude :

maxs(t) = Smax(cos(2πf t+ϕ)) =S×1 =S Similairement, on montre que le minimum est l’opposé de l’amplitude :

mins(t) = Smin(cos(2πf t+ϕ)) = S× −1 = −S

Cette observation a une conséquence pratique très utile : on peut mesurer l’amplitude d’un signal sinusoïdal, sur un oscilloscope par exemple, en mesurant le maximum ou le minimum du signal. Il est aussi possible de calculer l’amplitude en mesurant l’écart entre le maximum et le minimum, qui est le double de l’amplitude.

2.1.3.2. Fréquence

Pour comprendre visuellement à quoi correspond la fréquence, je vous propose de regarder les trois signaux sinusoïdaux ci-dessous.

Figure 2.3. – Comparaison de signaux sinusoïdaux de différentes fréquences.

Ces signaux ne diffèrent que par leur fréquence et sont observés sur la même durée. On a :

— un signal bleu, s_b(t), qui oscille le moins vite,

— un signal jaune, s_j(t), qui oscille plus vite,

— un signal vert, s_v(t), qui oscille encore plus vite.

Les fréquences sont telles que la fréquence du signal bleu est plus faible que celle du signal jaune, qui est elle-même plus faible que celle du signal vert. On observe ainsi que plus la fréquence est élevée, plus il y a un nombre important d’oscillations pour la même durée.

On trouve le comportement attendu pour des signaux de fréquence croissante. On peut voir cela autrement en remarquant que, à mesure que la fréquence augmente, la période diminue (pour rappel, T = 1/f), ce qui peut s’observer sur la figure : le plus petit motif qui se répète

devient de plus en plus étroit.

Ces observations mènent à deux méthodes pratiques pour la mesure de la fréquence. La première méthode consiste à mesurer la période, et on calcule alors la fréquence en faisant le calcul f = 1/T. La deuxième méthode consiste à compter le nombre (éventuellement non-entier) de répétitions du signal sur une durée donnée, et on calcule alors la fréquence en divisant le nombre de répétition par la durée.

2.1.3.3. Phase à l’origine

Pour comprendre visuellement à quoi correspond la phase à l’origine, je vous propose cette fois de regarder les trois signaux suivant.

2. Les signaux sinusoïdaux

Figure 2.4. – Comparaison de signaux sinusoïdaux de différentes phases à l’origine.

Ces signaux ne diffèrent que par leur phase à l’origine. Il y a :

— le signal bleu, s_b(t), le plus à droite,

— le signal jaune, s_j(t), un peu moins à droite,

— le signal vert, sv(t), encore moins à droite.

Les phases à l’origine de ces signaux sont telles que le signal bleu à une phase à l’origine plus petite que celle du signal jaune, qui lui-même à une phase à l’origine plus petite que celle du signal vert. On voit que plus la phase à l’origine est grande plus le signal se déplace vers la gauche sur la figure. En terme de temps, cela revient à dire que plus la phase à l’origine est grande, plus le signal est en avance temporelle.

?

Pour un signal sinusoïdal, le motphase désigne la quantité à l’intérieur du cosinus, c’est-à- dire2πf t+ϕ. Le termeoriginequant à lui désigne l’origine des temps, autrement dit t= 0. Si on calcule la phase pour t = 0, on obtient ϕ, la phase à l’origine. Tout est cohérent !

2.1.3.4. Animation interactive

Pour mieux appréhender ce qu’il se passe, je vous invite à jouer l’animation interactive ci-dessous.

Vous pouvez voir visuellement et simplement l’effet des différents paramètres sur l’aspect du signal sinusoïdal.

!(https://jsfiddle.net/Arnaud_D/g49jh63L/406/) Maintenant, place à quelques exercices !

2.2. Exercices

2.2.1. Exercice 1

2.2.1.1. Énoncé

Donner l’amplitude et la fréquence du signal sinusoïdal ci-dessous.

Figure 2.5. – Exercice 1 2.2.1.2. Réponse

Contenu masqué n°1

2.2.2. Exercice 2

2.2.2.1. Énoncé

Donner l’amplitude et la fréquence du signal sinusoïdal ci-dessous.

2. Les signaux sinusoïdaux

Figure 2.6. – Exercice 2 2.2.2.2. Réponse

Contenu masqué n°2

2.2.3. Exercice 3 (plus dur)

2.2.3.1. Énoncé

Pour chacun des deux signaux précédents, donner une phase à l’origine ϕ, sachant que les signaux sont de la forme :

s(t) = Scos(2πf t+ϕ)

2.2.3.2. Réponse

Contenu masqué n°3

2.3. Annexe : Définitions alternatives

2.3.1. Forme alternative avec la période

La fréquence f d’un signal est liée à sa période T par la relation suivante :

T = 1/f

Ainsi, vous verrez parfois des signaux sinusoïdaux écrits avec la période au lieu de la fréquence :

s(t) =Scos 2π

T t+ϕ

Cette forme est évidemment équivalente à la forme habituelle.

2.3.2. Forme alternative avec la pulsation

La pulsation est liée à la fréquence par la définition suivante :

ω= 2πf

Ainsi, vous verrez fréquemment des signaux sinusoïdaux écrits avec la pulsation au lieu de la fréquence :

s(t) = Scos(ωt+ϕ)

Cette forme est souvent appréciée pour sa compacité. On laisse en effet de côté le facteur 2π qui prend systématiquement de la place sans apporter beaucoup d’information.

2. Les signaux sinusoïdaux

2.3.3. Forme alternative avec un sinus

2.3.3.1. Définition

Il existe une définition alternative pour les signaux sinusoïdaux qui utilise la fonction sinus :

s(t) = Ssin(2πf t+ϕ⁰)

Elle ressemble évidemment à la définition avec le cosinus, et elle y est même équivalente. On peut en effet simplement passer de la définition avec le cosinus à celle avec le sinus en ajoutant π/2à la phase à l’origine.

2.3.3.2. Passage de la définition en cosinus à celle en sinus

Il est possible de démontrer ce changement de variable grâce à quelques calculs trigonomé- triques.

On part de la définition d’un signal sinusoïdal à l’aide de la fonction cosinus :

s(t) = Scos(2πf t+ϕ)

Cette définition peut être transformée à l’aide de l’identité trigonométrique suivante :

∀x,cos(x) =sin(x+π/2)

En transformant la définition, on obtient une forme avec un sinus :

s(t) = Ssin(2πf t+ϕ+π/2) En posant ϕ⁰ =ϕ+π/2, on obtient finalement :

s(t) = Ssin(2πf t+ϕ⁰)

Voilà, on a montré qu’il suffit d’ajouter π/2 à la phase à l’origine !

Plus généralement, il est possible d’ajouter n’importe quel nombre de la forme π/2 + 2kπ, avec k entier, pour obtenir le même effet.

2.3.3.3. Pourquoi avoir choisi la définition avec les cosinus pour ce cours?

Dans ce cours, nous avons fait le choix d’énoncer la définition de signal sinusoïdal en utilisant la fonction cosinus. Pourtant, nous venons de voir qu’il est possible de manière équivalente de l’énoncer avec des sinus.

Ce qui fait pencher la balance, c’est l’écriture trigonométrique des nombres complexes. En effet, un nombre complexe z de module r et d’argument θ peut s’écrire sous la forme suivante :

z =r(cosθ+isinθ) Dans ce cas, la partie réelle est exprimée avec un cosinus :

rcosθ =<(z)

En prenant r = S et θ = 2πf t+ϕ, on peut dire que z est alors un signal complexe, dont la partie réelle est le vrai signal sinusoïdal.

Cette observation est à la base de la notation complexe des signaux sinusoïdaux, qui mérite tout un tutoriel à elle seule. Elle est très utilisée en électronique, car elle permet une grande simplification des calculs.

Maintenant que vous savez l’essentiel sur le signaux sinusoïdaux, le moment est venu de voir comment on peut les comparer.

Contenu masqué

Contenu masqué n°1

On peut mesurer la période, par exemple à partir de l’écart entre deux maximums. On trouve :

T = 0,5 s On en déduit la fréquence :

f = 1/T = 1/0,5 = 2 Hz

Pour l’amplitude, il suffit de mesurer la hauteur du maximum, ce qui donne une amplitude de 3.

Retourner au texte.

Contenu masqué n°2

Pour cet exercice, on peut procéder exactement comme pour le premier, ce qui nous donne une fréquence de 50 Hz et une amplitude égale à 5. Retourner au texte.

2. Les signaux sinusoïdaux

Contenu masqué n°3

Nous n’avons pas parlé de mesure de phase à l’origine à ce stade du cours. Cependant, les deux signaux précédents sont des cas particuliers.

Dans le premier cas, à t = 0, le signal atteint son maximum. Autrement dit, le terme cos(ϕ) vaut 1. Or, le cosinus est maximal notamment pour une phase nulle. Ainsi, une phase à l’origine du premier signal est ϕ= 0.

Dans le deuxième cas, le signal est minimal pour t= 0, ce qui signifie que le terme cos(ϕ) est égal à -1. Or, ceci est vrai notamment pour une phase égale à π. Ainsi, une phase à l’origine du

deuxième signal est ϕ=π. Retourner au texte.

Dans de nombreux systèmes physiques, on compare deux signaux sinusoïdaux. C’est ce que nous allons apprendre dans cette partie !

3.1. Déphasage et retard entre deux signaux sinusoïdaux

Un cas particulier fréquent est quand les signaux ont la même fréquence. Dans ce cas, on aime comparer le décalage entre les deux signaux.

3.1.1. Déphasage entre deux signaux de même fréquence

3.1.1.1. Définition

Le déphasage entre deux signaux est une mesure du décalage entre deux signaux sinusoïdauxde même fréquence. Si on dispose de deux signaux sinusoïdauxs₁ et s₂ de même fréquence :

s₁(t) = S₁cos(2πf t+ϕ₁) s₂(t) = S₂cos(2πf t+ϕ₂) alors le déphasage de s₂ par rapport à s₁ est la quantité :

∆ϕ=ϕ₂−ϕ₁

3.1.1.2. Vocabulaire

Si ∆ϕest positif, le signal 2 est en avance de phase par rapport au signal 1.

Si ∆ϕest négatif, le signal 2 est en retard de phase par rapport au signal 1.

3.1.2. Cas particuliers de déphasage

Quelques valeurs de déphasage remarquables ont un nom particulier qu’il est utile de connaître.

3. Déphasage et retard

3.1.2.1. Signaux en phase

Quand le déphasage est nul, on dit que les signaux sont en phase. Dans cette configuration, leurs maximums et minimums coïncident ; les signaux oscillent conjointement.

Mathématiquement, cela signifie que les deux signaux sont proportionnels. C’est par exemple le cas pour la tension électrique aux bornes d’une résistance et le courant électrique qui la traverse.

Figure 3.1. – Les signaux s_b (en bleu) et s_j (en jaune) sont en phase.

3.1.2.2. Signaux en opposition de phase

Quand le déphasage est égal à π (180°), on dit que les signaux sont en opposition de phase.

Dans cette configuration, les maximums d’un signal coïncident avec les minimums de l’autre signal ; les signaux oscillent à l’opposé l’un de l’autre.

Figure 3.2. – Les signauxs_b (en bleu) ets_j (en jaune) sont en opposition de phase.

3.1.2.3. Signaux en quadrature de phase

Quand le déphasage est égal àπ/2(90°), on dit que les signaux sont en quadrature de phase.

Dans cette configuration, les maximums d’un signal coïncident avec les passages par zéros en décroissant de l’autre signal.

Par exemple, un signal sinusoïdal et sa dérivée sont en quadrature de phase. Le lecteur conscien- cieux pourra le démontrer à titre d’exercice !

Figure 3.3. – Les signauxs_b (en bleu) et s_j (en jaune) sont en quadrature de phase.

3.1.3. Déphasage et retard temporel

Dans la première partie, nous avons évoqué le lien entre phase et avance (ou retard) temporel et ce lien se retrouve évidemment sur le déphasage. Il est ainsi possible de relier le déphasage de deux signaux de même fréquence et le retard temporel de l’un par rapport à l’autre, mais avant de faire cela, il convient de préciser un peu la notion de retard temporel.

3.1.3.1. Retard temporel

Soit deux signaux sinusoïdaux de même fréquence s₁ et s₂ pouvant s’écrire de la manière suivante :

s₁(t) =S₁cos(2πf t+ϕ) s₂(t) = S₂cos(2πf(t+ ∆t) +ϕ)

On dira alors que s2 est en avance (temporelle) surs1 de ∆t, ou, de manière équivalente que s1

est en retard de ∆t surs₂.

Il faut voir ∆t comme la durée à ajouter à la variable temporelle t dans l’expression de s₂ pour qu’il oscille en phase avec s₁. De manière intuitive, cela signifie que si j’ai un maximum pour s₂ à un instant t, alors j’aurai un maximum pour s₁ dans le futur, à la date t+ ∆t.

3.1.3.2. Relation entre déphasage et retard temporel

Maintenant qu’on dispose de la notion de retard temporel, voyons comment le déphasage et le retard temporel sont liés.

Soit deux signauxs₁ ets₂ de même fréquence f tels que s₂ soit déphasé de ∆ϕpar rapport à s₁. On peut écrire les écrire ainsi :

s₁(t) =S₁cos(2πf t+ϕ) s₂(t) =S₂cos(2πf t+ϕ+ ∆ϕ)

3. Déphasage et retard

En factorisant partiellement par 2πf dans le cosinus, on peut transformer l’expression de s₂(t) en :

s₂(t) =S₂cos 2πf

t+ ∆ϕ 2πf

+ϕ

On peut réécrire cela sous la forme :

s₂(t) =S₂cos(2πf(t+ ∆t) +ϕ) avec :

∆t= ∆ϕ 2πf

Nous venons d’obtenir une formule qui permet de passer d’un retard temporel à un déphasage et réciproquement.

Elle a une grande utilité pratique, notamment car de nombreux instruments permettent la mesure du temps, mais pas directement de la phase. C’est le cas notamment des oscilloscopes, très utilisés en électronique.

3.1.4. Considérations pratiques

Dans la pratique, l’origine des temps est une référence arbitraire (par exemple, sur un oscilloscope, le temps zéro est lié à la configuration du déclenchement). On s’intéresse en conséquence assez peu aux valeurs des phases à l’origine, et la définition du déphasage comme différence entre les phases à l’origine n’a pas d’utilité pratique. À la place, on mesure le retard pour en déduire le déphasage avec la formule vue ci-avant !

La mesure de déphasage d’un signal 2 par rapport à un signal 1 s’effectue ainsi :

1. On prend un instant de référence t₁ sur le signal 1 (parce qu’on s’intéresse au déphasage du signal 2 par rapport au signal 1). Il peut s’agir par exemple d’un instant où le signal est maximum ou minimum.

2. On cherche un instant analogue t₂ sur le signal 2. Par exemple, si vous avez choisi un maximum comme point de référence, il vous faut un maximum. Attention, il ne faut pas choisir n’importe quel instant analogue, mais celui le plus près de votre instant de référence. Il s’agit d’une convention qui revient à considérer le déphasage comme compris entre −π et π.

3. On mesure le retard ∆t2/1 du signal 2 par rapport au signal 1, défini par∆t2/1 =t2−t1. 4. On en déduit le déphasage grâce à la formule ∆ϕ_2/1 = 2πf∆t_2/1.

Cette méthode donne directement le déphasage entre les deux signaux, sans passer par les phases à l’origine.

3.2. Exercices

3.2.1. Exercice 1

3.2.1.1. Énoncé

Pour chacun des cas suivants, dites si les signaux sont en opposition de phase, en quadrature de phase ou en phase.

Figure 3.4. – Cas 1.

3. Déphasage et retard

Figure 3.5. – Cas 2.

Figure 3.6. – Cas 3.

3.2.1.2. Solution

Contenu masqué n°4

3.2.2. Exercice 2

3.2.2.1. Énoncé

Pour chacun des cas suivants, déterminez si le signal orange est en avance ou en retard de phase par rapport au signal bleu.

Figure 3.7. – Cas 1.

3. Déphasage et retard

Figure 3.8. – Cas 2.

3.2.2.2. Solution

Contenu masqué n°5

3.2.3. Exercice 3

3.2.3.1. Énoncé

Déterminez le déphasage du signal orange par rapport au signal bleu. Faites bien attention au signe.

Figure 3.9. – Exercice 3.

3.2.3.2. Solution

Contenu masqué n°6

Ce tutoriel s’achève ici, mais sachez qu’il reste beaucoup à explorer maintenant que vous connaissez l’essentiel sur les signaux sinusoïdaux.

Et voilà, vous savez l’essentiel sur les signaux sinusoïdaux ! Vous avez désormais acquis des connaissances fondamentales pour l’étude de domaines passionnants tels que l’acoustique, l’électronique, l’optique ondulatoire, et bien d’autres !

Contenu masqué

Contenu masqué n°4

Avant de parler de déphasage, il convient de vérifier que les signaux ont la même fréquence, ce qui est le cas.

Cas 1 : Les extremums (maximums ou minimums) coïncident : les signaux sont en phase.

Cas 2 : Les maximums coïncident avec les minimums : les signaux sont en opposition de

3. Déphasage et retard

Cas 3 : Les extremums coïncident avec les passages par zéro : les signaux sont enquadrature

de phase. Retourner au texte.

Contenu masqué n°5

Avant de parler de déphasage, il convient de vérifier que les signaux ont la même fréquence, ce qui est le cas.

Cas 1 : On peut prendre le maximum du signal bleu au centre de la figure comme référence.

Le maximum du signal orange le plus proche est sur sa droite, ce qui signifie que la phase à l’origine du signal orange est plus petite que celle du signal bleu. Ainsi, le déphasage du signal orange par rapport au signal bleu est négatif et le signal orange est en retard de phasepar rapport au signal bleu.

Cas 2 : Cette fois-ci, le maximum du signal orange le plus proche est sur la gauche de la référence, ce qui signifie que la phase à l’origine du signal orange est plus grande que celle du signal bleu.

Ainsi, le déphasage du signal orange par rapport au signal bleu est positif et donc le signal orange est enavance de phase par rapport au signal bleu. Retourner au texte.

Contenu masqué n°6

Avant tout, il convient de vérifier que les signaux ont la même fréquence, ce qui est le cas.

Nous allons procéder en mesurant d’abord le retard temporel du signal orange par rapport au signal bleu, puis la fréquence des signaux, et enfin en déduire le déphasage.

La première étape est de considérer si le signal orange est en avance ou en retard temporel sur le signal bleu. Comme il est à sa droite, on peut conclure que le signal orange est en retard sur le signal bleu. Son déphasage sera donc négatif.

La deuxième étape consiste à mesurer l’écart temporel. Le passage par zéro est l’endroit ou le retard est le plus facile à mesurer. C’est assez peu évident à mesurer sur une petite figure, mais l’écart entre les deux signaux vaut 1/4 de graduation, soit 2,5 ms. Le signe est négatif, car le signal orange est en retard.

$$ \Delta t_{orange/bleu} = -2{,}5~\mathrm{ms} $$

Il est assez facile de voir qu’une période dure deux graduations, soit 20 ms.

$$ T = 20~\mathrm{ms} $$

On peut en déduire la fréquence :

$$ f = \frac{1}{T} = 50~\mathrm{Hz} $$

On peut maintenant utiliser la formule qui permet de transformer un déphasage en retard et vice-versa :

$$ \Delta \varphi = 2 \pi f \Delta t_{orange/bleu} = -\frac{\pi}{4}$$

Le déphasage du signal orange par rapport au signal bleu est donc de −π/4. Retourner au texte.

À ce stade, plusieurs pistes s’ouvrent à vous pour lesquelles vos connaissances nouvellement acquises sur les signaux sinusoïdaux seront utiles. Ils vous sera cependant nécessaire d’acquérir des connaissances additionnelles pour les aborder confortablement. Aussi, ce ne sont que des suggestions.

Si vous souhaitez explorer une application des signaux sinusoïdaux, je peux ainsi vous suggérer de vous intéresser :

— au courant alternatif , à travers l’étude des circuits électriques en régime sinusoïdal, si vous disposez déjà des bases nécessaires en électronique,

— auxoscillateurs harmoniques , c’est-à-dire une classe de systèmes physiques qui vont osciller sinusoïdalement,

— voire même à la physique de la corde de guitare , pour les plus courageux, qui met en œuvre des signaux sinusoïdaux à la fois dans le temps et dans l’espace.

5. Remerciements

Merci à Anto59290 ,Vayel , Blackline et informaticienzero pour leurs relectures en bêta, ainsi qu’à Holosmos pour la validation.