Applications du formalisme des faisceaux gaussiens à la modélisation de l'interaction d'une onde électromagnétique avec un objet 3D complexe

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modélisation de l’interaction d’une onde électromagnétique avec un objet 3D complexe

Julien Hillairet

To cite this version:

Julien Hillairet. Applications du formalisme des faisceaux gaussiens à la modélisation de l’interaction d’une onde électromagnétique avec un objet 3D complexe. Autre. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2007. Français. �tel-00258429�

UNIVERSIT ´ E TOULOUSE III - PAUL SABATIER

U.F.R. P.C.A.

TH` ESE

pour obtenir le grade de

Docteur de l’Universit´ e TOULOUSE III

Sp´ ecialit´ e : ´ Electronique - Micro-Ondes pr´ esent´ ee par

Julien HILLAIRET

Applications du formalisme des faisceaux gaussiens ` a la mod´ elisation

de l’interaction d’une onde

´ electromagn´ etique avec un objet 3D complexe

Th` ese soutenue le 6 d´ ecembre 2007 ` a l’auditorium de l’ONERA

Membres du Jury :

Pr. Didier DECOSTER Rapporteur Dr. Christine LETROU Rapporteur Pr. Patrick VAUDON Examinateur

Pr. Paul COMBES Examinateur

Dr. Sylvain BOLIOLI Encadrant ONERA et co-directeur de th` ese Dr. J´ erˆ ome SOKOLOFF Encadrant universitaire et co-directeur de th` ese

Laboratoire de Micro-ondes et d’Electromagn´etisme 118, route de Narbonne

31062 TOULOUSE cedex

D´epartement ´Electromagn´etisme et Radar 2, avenue ´Edouard Belin - BP 4025

31055 TOULOUSE cedex 4

UNIVERSIT ´ E TOULOUSE III - PAUL SABATIER

U.F.R. P.C.A.

TH` ESE

pour obtenir le grade de

Docteur de l’Universit´ e TOULOUSE III

Sp´ ecialit´ e : ´ Electronique - Micro-Ondes pr´ esent´ ee par

Julien HILLAIRET

Applications du formalisme des faisceaux gaussiens ` a la mod´ elisation

de l’interaction d’une onde

´ electromagn´ etique avec un objet 3D complexe

Th` ese soutenue le 6 d´ ecembre 2007 ` a l’auditorium de l’ONERA

Membres du Jury :

Pr. Didier DECOSTER Rapporteur Dr. Christine LETROU Rapporteur Pr. Patrick VAUDON Examinateur

Pr. Paul COMBES Examinateur

Dr. Sylvain BOLIOLI Encadrant ONERA et co-directeur de th` ese Dr. J´ erˆ ome SOKOLOFF Encadrant universitaire et co-directeur de th` ese

Laboratoire de Micro-ondes et d’Electromagn´etisme 118, route de Narbonne

31062 TOULOUSE cedex

D´epartement ´Electromagn´etisme et Radar 2, avenue ´Edouard Belin - BP 4025

31055 TOULOUSE cedex 4

Remerciements

Ces travaux ont ´ et´ e r´ ealis´ es dans le cadre de la coop´ eration entre le LAboratoire de Micro-ondes et d’ ´ Electromagn´ etisme (LAME), anciennement AD2M, et le D´ epartement ElectroMagn´ ´ etisme et Radar (DEMR) de l’Office National d’ ´ Etude et de Recherches en A´ eronautique (ONERA). C’est pourquoi je tiens tout d’abord ` a remercier Messieurs Paul Combes et Olivier Pascal, successivement directeur du laboratoire LAME (AD2M), M.

Florent Christophe, directeur adjoint du DEMR, ainsi que M. Jo¨ el Lemorton, directeur de l’unit´ e Antenne et PRopagation (APR), pour l’accueil qu’ils m’ont fait au sein de leur laboratoire.

J’exprime toute ma gratitude au Professeur Didier Decoster et ` a Mme Christine Le- trou, qui ont accept´ e d’ˆ etre les rapporteurs de ces travaux. L’int´ erˆ et qu’ils ont port´ e ` a ce m´ emoire et leurs remarques ont permis de mettre en valeurs ces recherches. Je remercie

´

egalement le Professeur Patrick Vaudon, qui a accept´ e de faire partie de mon jury. Je remercie tout particuli` erement le Professeur Paul Combes, qui non seulement a ´ et´ e le pr´ esident de ce jury, mais a ´ egalement rendu possible cette th` ese. Je me souviens encore de son appel t´ el´ ephonique durant l’´ et´ e 2004, pour m’avertir que mon financement avait

´

et´ e accept´ e.

A mes encadrants durant ces trois ans, M. Sylvain Bolioli et M. J´ ` erˆ ome Sokoloff, res- pectivement ing´ enieur de recherche ` a l’ONERA et Maˆıtre De Conf´ erences ` a l’Universit´ e Paul Sabatier, j’adresse mes plus sinc` eres et chaleureux remerciements.

Sylvain, je me souviendrai avant tout de ta rigueur et de ton exp´ erience, si utiles dans de nombreuses circonstances. Je te remerciement ´ egalement pour avoir eu confiance en moi, jusqu’` a me laisser les clefs de la chambre an´ echo¨ıque et de ses appareils.

J´ erˆ ome, tu as ´ et´ e plus qu’un encadrant durant ces trois ann´ ees. En effet, grˆ ace ` a toi, j’ai ´ egalement pu d´ ecouvrir le milieu de l’enseignement. Toi aussi, tu as eu confiance en moi et tu as accept´ e de me laisser quelques unes de tes classes. De plus, ton sens de la

iii

communication et tes qualit´ es de p´ edagogue ont ´ et´ e des pr´ ecieux conseillers.

Vos qualit´ es respectives sont compl´ ementaires et tous les deux, vous avez su me donner les directions ` a suivre ainsi que de nombreux conseils utiles pour un apprenti chercheur. ` A mon sens, vous incarnez parfaitement cette phrase que l’on associe g´ en´ era- lement au doctorat :

la formation par la recherche.

Quoi qu’en pensent certains, le doctorat ne consiste pas qu’en un long travail so- litaire. Ainsi, durant ces ann´ ees pass´ ees au sein du DEMR, j’ai pu cˆ otoyer un certain nombre de personnes et de coll` egues. Elles m’ont toutes aid´ e, chacune ` a leur mani` ere. Je remercie Jean-Pierre et Maryse Lopez, qui m’ont aid´ e ` a mettre au point les manipula- tions exp´ erimentales. Je remercie ´ egalement Vincent Fabbro, pour ses pr´ ecieux conseils dans le domaine de la propagation ´ electromagn´ etique, mais ´ egalement pour sa bonne humeur et ses nombreux talents. Enfin, je n’oublie pas Marie-Edith Gimonet, Danielle Nougarolis, Corinne De Pablo ainsi que toutes les personnes qui ont pu traverser un jour ou l’autre la salle informatique en quˆ ete d’une imprimante.

Mais le doctorat, c’est aussi des coll` egues de travail : des th´ esards, des stagiaires.

C’est avec eux que l’on partage le quotidien du th´ esard : les coups de stress avant les pr´ esentations ou les congr` es, les coups de blues lorsque ”¸ ca ne marche pas”, mais aussi tout ce qui fait la bonne ambiance de cette salle informatique, l’office de nos bureaux respectifs. Nous nous sommes juste crois´ es, mais vos travaux m’ont accompagn´ e : Sarah et Alexandre. On s’est cˆ otoy´ e un peu plus longtemps, Fr´ ed´ eric : tu vas faire un tr` es bon Papa. Tu ne pensais peut ˆ etre pas rester aussi longtemps ` a mes cˆ ot´ es, mais peu importe Arnaud, tu fus le meilleur des coll` egues. D’ailleurs, beaucoup connaissent ta bonne hu- meur, mais trop peu on put constater ` a quel point tu pouvais ˆ etre perfectionniste. Quant

`

a toi R´ emi, j’esp` ere de tout coeur que tes projets seront couronn´ es de succ` es, car tu le m´ erites. Sinon, il te restera la politique. Enfin, je n’oublie pas tous les actuels, ex ou anciens th´ esards : Nicolas, Maxime, Ludovic, Anthony, Mark, Thomas, Jean-Charles...

ainsi que tous les stagiaires.

Ainsi vont les choses et tout ` a une fin : c’est ´ egalement le cas de la th` ese. Ces trois ans

se sont ´ ecoul´ es ` a une vitesse folle. Ma famille, qui n’a certes pas toujours bien compris ce

que je faisais l` a, a toujours ´ et´ e compr´ ehensive. Merci ` a eux, pour m’avoir soutenu. Mes

amis de promotion ´ etaient ´ egalement ` a mes cˆ ot´ es, en particulier Sylvain, qui a toujours

su ˆ etre l` a. J’esp` ere d’ailleurs pouvoir venir te voir avant que tu ne reviennes !

v

Mais je garde le meilleur pour la fin, celle qui me connaˆıt le mieux sait que c’est

une habitude. Ce n’est pas une simple pens´ ee affectueuse que je t’adresse, Aurore, mais

bien plus encore. Tu as ´ et´ e au cours de ces ann´ ees ma confidente : tu as toujours su

me remonter le moral dans ces petits moments de d´ eprime et me faire relativiser les

choses lorsque c’´ etait n´ ecessaire. C’est toi qui a grandement contribu´ e ` a faire de moi ce

que je suis aujourd’hui, et pour tout cela et bien plus encore, je t’en serai ´ eternellement

reconnaissant.

Table des mati` eres

Introduction

1

Lexique

15

Chapitre

1 Faisceaux gaussiens

17

I Faisceaux gaussiens classiques . . . 20

I.1 Formulation scalaire . . . 20

I.2 Formulation vectorielle . . . 23

II Faisceaux gaussiens g´ en´ eralis´ es . . . 25

II.1 D´ efinitions . . . 25

II.2 Spectre d’ondes planes du champ initial . . . 26

II.3 Champs propag´ es . . . 27

II.4 Formulation paraxiale . . . 28

II.5 Formulation champ lointain . . . 30

II.6 Caract´ eristiques physiques . . . 31

II.6.1 Caract´ eristiques g´ eom´ etriques . . . 31

II.6.2 Domaine de validit´ e . . . 33

III Faisceaux gaussiens conformes . . . 39

III.1 Courants ´ el´ ementaires gaussiens . . . 40

III.2 Rayonnement des courants ´ el´ ementaires . . . 41

III.2.1 Formulation bas´ ee sur le rayonnement des courants . . . . 41

III.2.2 Formulation bas´ ee sur le spectre d’ondes planes . . . 43

III.3 Caract´ eristiques physiques . . . 49

III.3.1 Configuration des calculs . . . 49

III.3.2 Matrice de courbure du faisceau . . . 51

III.3.3 Termes de phase lin´ eaire . . . 53

III.3.4 Matrice de courbure de la surface . . . 56

III.4 Evaluation asymptotique des champs transmis et r´ ´ efl´ echis . . . 60

vii

IV Point source complexe . . . 62

IV.1 Historique . . . 62

IV.2 Description math´ ematique . . . 63

V Conclusion du chapitre . . . 67

Chapitre

2 Diffraction d’un faisceau gaussien

69 I Diffraction 2D . . . 70

I.1 Champ exact rayonn´ e par un demi-plan conducteur ´ eclair´ e par un faisceau gaussien . . . 70

I.1.1 Expression exacte du champ rayonn´ e par un demi-plan conducteur ´ eclair´ e par une onde plane . . . 71

I.1.2 Expression du spectre d’onde planes d’un faisceau gaus- sien incident . . . 73

I.1.3 Expression int´ egrale du champ rayonn´ e . . . 76

I.1.4 Interpr´ etations physiques de la solution exacte . . . 77

I.1.5 Approximations champ lointain . . . 81

I.2 Champ rayonn´ e par un demi-plan conducteur : approximation de l’optique physique . . . 85

I.2.1 Expression du champ incident . . . 85

I.2.2 Expression du champ rayonn´ e : hypoth` ese de l’OP . . . . 86

I.2.3 Domaine de validit´ e . . . 88

I.3 Champ exact rayonn´ e par un demi-plan conducteur ´ eclair´ e par un point source complexe . . . 91

I.3.1 Expression du champ incident . . . 91

I.3.2 Expression du champ rayonn´ e . . . 92

I.3.3 Interpr´ etations physiques . . . 93

I.4 Conclusion . . . 94

II Diffraction 3D . . . 96

II.1 Expression des champs incidents . . . 96

II.1.1 Faisceau gaussien paraxial . . . 96

II.1.2 Faisceau gaussien champ lointain . . . 97

II.1.3 Relation avec le rep` ere absolu . . . 98

II.2 Expressions des champs rayonn´ es . . . 99

II.2.1 Remarques pr´ eliminaires . . . 99

II.2.2 Ecriture sous forme canonique des int´ ´ egrales . . . 102

II.2.3 Expressions asymptotiques non uniformes . . . 104

TABLE DES MATI ` ERES ix

II.2.4 Validit´ e de la solution non uniforme . . . 108

II.2.5 Expressions asymptotiques uniformes . . . 116

II.2.6 Comparaison avec la solution non uniforme . . . 122

II.3 Domaine de validit´ e de la solution uniforme . . . 123

II.3.1 Taille de la plaque . . . 124

II.3.2 Largeur du faisceau . . . 129

II.3.3 Angle d’incidence . . . 133

II.3.4 Configurations plus g´ en´ erales . . . 138

II.3.5 Utilisation d’un faisceau gaussien champ lointain . . . 144

II.3.6 Conclusion . . . 145

III Conclusion du chapitre . . . 147

Chapitre

3 Applications des faisceaux gaussiens

149 I D´ ecomposition d’un champ en faisceaux gaussiens . . . 149

I.1 D´ ecomposition multi faisceaux gaussiens . . . 150

I.2 D´ ecomposition multi faisceaux gaussiens conformes . . . 151

I.2.1 Principe de la d´ ecomposition . . . 152

I.2.2 Calcul des coefficients de d´ ecomposition . . . 153

I.3 Comparaisons des d´ ecompositions pour des surfaces courbes . . . . 154

II Applications des Faisceaux Gaussiens Conformes . . . 159

III Mesures en chambre an´ echo¨ıque . . . 164

III.1 D´ ecomposition en faisceaux gaussiens et propagation du champ . . 165

III.2 Rayonnement d’une plaque m´ etallique . . . 167

III.2.1 Diffraction par une arˆ ete horizontale en polarisation ver- ticale . . . 168

III.2.2 Diffraction par une arˆ ete verticale en polarisation verticale174 IV Application des faisceaux gaussiens aux calculs de propagation . . . 176

IV.1 Propagation d’un champ au dessus d’un sol plan conducteur . . . . 176

IV.2 Plaque conductrice perpendiculaire au sens de propagation . . . 182

IV.3 Propagation dans une vall´ ee . . . 193

IV.4 Synth` ese . . . 196

V Conclusion du chapitre . . . 198

Conclusion g´en´erale

199

Liste des publications

205

Bibliographie

207

Annexe

A Int´egrales gaussiennes

221

Annexe

B Int´egrales de rayonnement des courants

223 Annexe

C ´Evaluation asymptotique d’int´egrales

225

Annexe

D Formes quadratiques

243

Annexe

E ´Evaluations asymptotiques du spectre d’ondes planes d’un fais-

ceau gaussien conforme

245

Annexe

F ´Evaluation asymptotique du champ rayonn´e par un demi plan conducteur ´eclair´e par un faisceau gaussien 2D

249

Introduction

Contexte de l’´ etude

Les progr` es technologiques dans le domaine des t´ el´ ecommunications ou du radar ont multipli´ e les sources ´ electromagn´ etiques, entraˆınant un besoin accru en outils de mod´ elisation permettant d’analyser et de pr´ edire au mieux leurs rayonnements, en par- ticulier lorsque ces sources sont plac´ ees dans un environnement complexe. Bien que les

´

equations mod´ elisant l’´ evolution des ondes ´ electromagn´ etiques soient connues depuis de nombreuses ann´ ees (1864), leur r´ esolution analytique exacte ou approch´ ee n’est possible que dans un certain nombre de probl` emes particuliers[1,

2,3].

L’augmentation des capacit´ es de calcul a permis le d´ eveloppement de nombreuses m´ ethodes permettant de r´ esoudre des cas de plus en plus complexes, l’objectif ´ etant de mod´ eliser des situations les plus proches possibles de celles rencontr´ ees en r´ ealit´ e. Ces m´ ethodes peuvent ˆ etre class´ ees en deux grandes cat´ egories :

–

Les m´ethodes rigoureuses, bas´

ees sur la r´ esolution directe des ´ equations de

Max- well

. Elles reposent soit sur une formulation int´ egrale (m´ ethode des moments[4]), soit sur une formulation diff´ erentielle (diff´ erences finies, ´ el´ ements finis[5]). Mal- gr´ e l’utilisation de m´ ethodes acc´ el´ eratrices comme la m´ ethode des

multipˆoles ra- pides[6], les probl`

emes dont la taille est sup´ erieure aux centaines de longueurs d’ondes restent inaccessibles, pour des raisons de coˆ uts en espace m´ emoire et de temps de calcul

¹

.

–

Les m´ethodes asymptotiques[7, 8, 9] (optique g´

eom´ etrique, optique physique, ...) utilisent des approximations asymptotiques haute fr´ equence pour r´ esoudre les ´ equa- tions de

Maxwell

et d´ ecrire le rayonnement des champs ainsi que leurs interac- tions avec les objets. Elles supposent que les objets sont de grande taille par rapport

1Les m´ethodes de calcul rigoureuses ne sont en principe pas limit´ees par les dimensions du domaine.

Ce sont les capacit´es de calcul qui limitent en pratique leurs applications. Une voie de recherche consiste

´

egalement `a parall´eliser les charges de calcul. De cette mani`ere, des probl`emes inaccessibles aux ordina- teurs personnels peuvent ˆetre trait´es sur des super-ordinateurs ou des fermes de calcul.

1

`

a la longueur d’onde.

Jusqu’` a pr´ esent, l’utilisation de m´ ethodes rigoureuses dans le domaine des ondes cen- tim´ etriques ou millim´ etriques pour des contextes dont les dimensions sont tr` es grandes devant la longueur d’onde, s’est av´ er´ ee hors de port´ ee des moyens de calcul classiques.

L’utilisation de m´ ethodes asymptotiques permet d’aborder ces situations et par cons´ e- quent, une grande partie des codes actuels en font usage. Toutefois, lorsque les dimensions des objets ´ etudi´ es sont importantes, les performances des m´ ethodes de rayons peuvent ˆ etre limit´ ees par l’augmentation rapide du nombre de rayons ` a traiter.

Objectifs

L ’objectif de ces travaux de th` ese est d’analyser et d’approfondir les m´ ethodes asymptotiques bas´ ees sur les faisceaux gaussiens pour mod´ eliser le rayonnement de sur- faces conductrices dont les dimensions sont finies, ainsi que les surfaces di´ electriques qui pr´ esentent de fortes courbures.

Nous voulons ´ etendre le domaine d’utilisation des faisceaux gaussiens aux surfaces conductrices pr´ esentant des arˆ etes et des coins, g´ en´ erateurs de champs ´ electromagn´ e- tiques diffract´ es. Notre objectif est de donner des expressions approch´ ees et analytiques des champs rayonn´ es par ces structures afin de fournir un compromis satisfaisant entre pr´ ecision et temps de calcul.

Nous voulons ´ egalement montrer le potentiel applicatif de ces techniques ` a des pro-

bl` emes de grandes dimensions. Notre objectif est de proposer des solutions toujours plus

rapides que les approches conventionnelles, adapt´ ees ` a des situations qui n´ ecessitent des

calculs fr´ equents pour lesquels la pr´ ecision est param´ etrable et qui peuvent ˆ etre ´ even-

tuellement hybrid´ ees ` a d’autres m´ ethodes de calcul.

3

Etat de l’art ´

Nous faisons ici un ´ etat de l’art des techniques haute fr´ equence utilis´ ees pour le calcul du rayonnement en g´ en´ eral et en particulier de la diffraction par des surfaces conductrices finies. Cette vue d’ensemble des approches utilis´ ees nous permettra de d´ efinir pr´ ecis´ ement les termes

diffraction, rayonnement

employ´ es dans ce manuscrit ainsi que les hypoth` eses utilis´ ees par ces techniques haute fr´ equence.

M´ ethodes hautes fr´ equences pour le calcul du rayonnement

Le terme de

diffraction

peut avoir selon le contexte, un double sens. Dans l’usage courant, on d´ esigne g´ en´ eralement par ”diffraction” la transformation d’un champ inci- dent sur un objet en ondes rayonn´ ees dans toutes les directions de l’espace, y compris les directions des ondes r´ efl´ echies (directions

sp´eculaires)[10, 11]. Dans ce cas, le terme diffraction

est ´ equivalent au terme

rayonnement, et parfois on confondra donc ces deux

termes. Toutefois, on peut ´ egalement d´ efinir la

diffraction

comme l’ensemble des ph´ eno- m` enes qui ne sont pas pr´ evus par l’optique g´ eom´ etrique[1]. Dans ce cas, le ph´ enom` ene de r´ eflexion classique (dans les directions sp´ eculaires) ne fait pas partie de la

diffraction.

Pour ´ eviter les amalgames, nous utiliserons la d´ efinition suivante : la

diffraction

sera l’ensemble des ph´ enom` enes qui ne correspondent pas aux lois de l’optique g´ eom´ etrique.

On utilisera le terme

rayonnement

pour qualifier toutes les ´ emissions d’ondes ´ electro- magn´ etiques provenant d’un objet. Le champ

rayonn´e

correspondra ` a l’ensemble des champs r´ efl´ echis mais ´ egalement diffract´ es ou du moins issus des discontinuit´ es de la surface de l’objet et qui ne sont pas pris en compte par l’optique g´ eom´ etrique.

La pr´ ediction du rayonnement ´ electromagn´ etique de structures complexes fait l’objet de recherches actives depuis plus de 150 ans et ` a ce titre, ce sujet dispose d’une litt´ erature abondante. On trouvera des introductions r´ ecentes aux probl` emes de rayonnements et de diffraction haute fr´ equence dans les articles [12,

13,11,9] ainsi que dans les ouvrages

[7,

14,15]²

.

D’une mani` ere g´ en´ erale, les techniques haute fr´ equence sont bas´ ees sur le

principe de localit´e

qui stipule que les courants et les champs des objets sont seulement corr´ el´ es par la g´ eom´ etrie locale de la surface. Cette hypoth` ese est d’autant mieux v´ erifi´ ee ` a mesure que les objets sont grands devant la longueur d’onde, soit pour de hautes fr´ equences.

2On trouvera ´egalement un r´ecit historique sur la conception de quelques une de ces m´ethodes dans un document deN. Bleistein[16].

Elles d´ eduisent les expressions des champs rayonn´ es par des objets complexes ` a partir de solutions exactes obtenue avec des objets canoniques et approchent la g´ eom´ etrie locale des objets complexes. Une arˆ ete courbe peut par exemple ˆ etre approch´ ee localement par une arˆ ete droite infinie, une surface courbe par son plan tangent, etc... Les tech- niques haute fr´ equence peuvent ˆ etre class´ ees principalement en deux cat´ egories, selon les quantit´ es qu’elles utilisent, champs ou courants :

•

les m´ ethodes bas´ ees sur les champs : – Optique G´ eom´ etrique (OG/GO )

³

– Th´ eorie G´ eom´ etrique de la Diffraction (TGD/GTD )

– Th´ eorie Uniforme de la Diffraction (TUD/UTD) et T. Asymp. Uniforme (TAU/UAT ) – Th´ eorie Incr´ ementale de la Diffraction (TID/ITD ).

•

les m´ ethodes bas´ ees sur les courants : – Optique Physique (OP/PO)

– Th´ eorie physique de la Diffraction (TPD/PTD)

– M´ ethodes bas´ ees sur la notion de Courants ´ Equivalents (MCE/ECM ) – Th´ eorie Incr´ ementale de la Diffraction bas´ ee sur la TPD.

Nous d´ ecrivons dans les sections suivantes les principes g´ en´ eraux de ces m´ ethodes. On trouvera des r´ ef´ erences plus compl` etes sur les techniques haute fr´ equence dans les ou- vrages [7,

8] ainsi que dans les travaux de doctorat [17,18].

M´ ethodes bas´ ees sur les champs

Durant la premi` ere moiti´ e du XX

^e

si` ecle, peu de travaux connus port` erent sur la diffraction pour de hautes fr´ equences. Cette situation changea lorsque

Keller

publia en 1953 une extension de l’optique g´ eom´ etrique (OG) incluant des

rayons diffract´es⁴

sous le nom de Th´ eorie G´ eom´ etrique de la Diffraction (TGD) [19,

20]. Ces rayons diffract´

es sont des ondes poss´ edant une structure de rayon

⁵

et provenant des discontinuit´ es de surface : arˆ etes, coins, cˆ ables, etc.

La TGD est bas´ ee sur l’incorporation de solutions asymptotiques issues des solutions

3Les acronymes anglais usuels sont ´ecrits en italique.

4D’apr`esUfimtsev[11], le terme derayons diffract´es a ´et´e sugg´er´e d`es 1911 parKalashnikov, qui fut selon lui, le premier `a pr´esenter une preuve objective de ces rayons en les enregistrant sur une plaque photographique.

5En 1924,Rubinowiczd´emontra th´eoriquement que les champs rayonn´es par les arˆetes d’une ouver- ture ont une structure de rayons. En particulier, il montra que chaque point stationnaire sur l’arˆete cr´ee un cˆone de rayons satisfaisant au principe de Fermat. Ce cˆone a ´et´e d´ecrit plus tard heuristiquement par Kellerdans la GTD et porte aujourd’hui le nom couramment admit decˆone de Keller. L’existence de ce cˆone a ´et´e observ´ee exp´erimentalement parSenioretUslenghien 1972[11].

5

Fig.1: D´efinition des ”zones d’ombres” et des Limites d’Ombres des champs Incident et R´efl´echi (L.O.I. et L.O.R.) de l’optique g´eom´etrique.

exactes de probl` emes canoniques, comme le di` edre, le cylindre ou la sph` ere, au formalisme des rayons de l’OG. Selon la TGD, le champ total cr´ e´ e par un objet est la somme du champ

EOG

calcul´ e avec l’OG et d’un terme de champ diffract´ e

Ediff

:

E=EOG+E_diff

(1)

Le terme issu de l’optique g´ eom´ etrique

EOG

est la somme du champ direct (incident)

Eⁱ_OG

et du champ r´ efl´ echi

E^r_OG

, exprim´ es sous forme de rayons :

EOG=Eⁱ_OGui+E^r_OGur

(2) o` u

_ui,r

correspond ` a une fonction de

Heaviside

, nulle partout sauf dans les zones o` u les champs incident et r´ efl´ echi de l’optique g´ eom´ etrique sont pr´ esents. Par exemple, sur le cas illustr´ e par la figure (1), le terme

ui

correspond aux zones rouge et bleue et le terme

ur

` a la zone bleue.

Le champ calcul´ e avec la TGD est divergent dans les directions particuli` eres que sont les Limites d’Ombres des champs Incident et R´ efl´ echi (L.O.I. et L.O.R.), illustr´ ees sur la figure (1). Cette discontinuit´ e, due ` a une ´ evaluation asymptotique non uniforme (cf.

annexe C), est corrig´ ee par la Th´ eorie Uniforme de la Diffraction (TUD)[21,

22] ainsi que

par la Th´ eorie Asymptotique Uniforme (TAU)[23,

24]⁶

. Plus qu’une simple correction,

6Ces deux formulations diff`erent dans leurs approches du d´eveloppement asymptotique effectu´e sur la

ces th´ eories uniformes assurent la continuit´ e du champ total au passage des L.O.R. et L.O.I., c’est-` a-dire la continuit´ e entre les termes

EOG

et

Ediff

.

Pour certaines g´ eom´ etries particuli` eres, par exemple un r´ eflecteur parabolique illu- min´ e par une onde plane, il existe des points ou des directions qui sont atteints par une infinit´ e de rayons : ce sont des

caustiques. Malgr´

e l’apport des corrections uniformes ` a la TGD, le probl` eme des caustiques est inh´ erent aux m´ ethodes de rayons et d’autres techniques ont ´ et´ e employ´ ees pour r´ esoudre ce probl` eme, en particulier des m´ ethodes bas´ ees sur les courants.

M´ ethodes bas´ ees sur les courants Optique Physique

L’Optique Physique (OP) est une technique d’approximation de la densit´ e de courant

´ electrique circulant sur la surface d’un objet parfaitement conducteur [26,

8].

Soit

S

la surface d’un objet parfaitement conducteur,

r⁰

un point de

S

et

nˆ

le vecteur unitaire normal ` a la surface

S

en

r⁰

. La densit´ e surfacique de courant ´ electrique

J

peut ˆ etre exprim´ ee en fonction du champ magn´ etique total

H

sur la surface grˆ ace au th´ eor` eme d’´ equivalence [27,

28] :

J(r⁰)=n(rˆ ⁰)×H(r⁰)

(3) L’approximation de l’optique physique consiste ` a utiliser la densit´ e de courant surfacique

JOP

induite par un plan parfaitement conducteur tangent ` a la surface

S

en

r⁰

:

JOP(r⁰)'

( 2 ˆn(r⁰)×Hⁱ(r⁰)

Si la surface

S

est directement ´ eclair´ ee

,

0 Sinon.

(4)

o` u

Hⁱ(r⁰)

est le champ magn´ etique incident au point

r⁰

.

L’hypoth` ese de l’optique physique est valide en hautes fr´ equences lorsque le rayon de courbure de la surface

S

est suffisamment grand en terme de longueurs d’ondes pour justifier l’approximation. En pratique, l’hypoth` ese de l’optique physique est applicable pour obtenir le champ des premiers lobes d` es lors que les dimensions de la surface sont sup´ erieures ` a

_4λ

[18, p.81],[15,

§1.5]. L’OP peut ˆ

etre g´ en´ eralis´ ee aux surfaces non parfai- tement conductrices mais imp´ en´ etrables, au moyen de coefficients de r´ eflexion dyadiques [8,

§3]. Les d´

etails de cette g´ en´ eralisation ne seront pas donn´ es ici.

solution canonique. La TUD utilise l’approche dePauli-Clemmowtandis que la TAU utilise la m´ethode deVan Der Waerdenpour traiter les singularit´es dues aux pˆoles de la solution canonique. On trouvera une comparaison de ces deux m´ethodes dans [25] et [7, Chap.5].

7

Fig.2: Calcul du champ rayonn´e avec l’OP. Contrairement `a l’OG, le champ incident existe partout, comme si l’objet ´etait absent[9].

Les courants

JOP

sont calcul´ es sur la surface

S

, uniquement sur le domaine ´ eclair´ e

S⁰

. Le champ rayonn´ e par ces courants

E^r_OP

est calcul´ e ` a partir des int´ egrales de rayonnement des densit´ es de courant, num´ eriquement ou analytiquement si cela est possible. Le champ total est obtenu en sommant au champ rayonn´ e le champ incident, partout dans l’espace, comme si l’objet ´ etait absent (cf. figure (2)) :

E=Eⁱ+E^r_OP

(5)

Par d´ efinition, l’OP n’est qu’une approximation du courant r´ eel sur la surface. De plus, pour des surfaces finies, l’OP d´ ecrit mal les courants localis´ es pr` es des disconti- nuit´ es. Par cons´ equent, pour des directions o` u le rayonnement de la surface n’est plus pr´ epond´ erant (loin des directions sp´ eculaires), les calculs effectu´ es avec l’OP seront in- corrects. Pour am´ eliorer les r´ esultats de l’OP, il convient donc d’utiliser une m´ ethode mod´ elisant les effets des arˆ etes. C’est l’objectif de la Th´ eorie Physique de la Diffraction.

Th´ eorie Physique de la Diffraction

la Th´ eorie Physique de la Diffraction (TPD), formul´ ee ` a la mˆ eme ´ epoque que la TGD par

Ufimtsev

[29]

⁷

, a pour objectif de pallier les d´ efauts de l’OP pour le calcul des champs diffract´ es. Tout comme la TGD corrige l’OG, la TPD corrige l’OP. Ainsi, le champ total s’´ ecrit dans la TPD :

E=Eⁱ+E^r_OP+E^d_u

(6) o` u

Eⁱ

correspond au champ incident,

E^r_OP

au champ rayonn´ e dans l’hypoth` ese de l’OP et

E^d_u

un terme correcteur, approximation asymptotique au premier ordre de l’effet de diffraction induit par les bordures de la surface ´ eclair´ ee.

7Publi´e en Russe en 1962 puis traduit en anglais en 1971.

Initialement [29,

30], ce terme correcteur de champ est obtenu `

a partir de la solution exacte du probl` eme canonique ´ equivalent. Ce champ correcteur, o` u ”champ de bordure”

⁸

est d´ efini comme issu du rayonnement d’un courant suppl´ ementaire, un courant correctif au courant de l’OP. Toutefois, l’expression de ce courant n’est pas d´ efinie explicitement.

L’approche propos´ ee par

Ufimtsev

dans [29] est souvent nomm´ ee ` a tort ”th´ eorie physique de la diffraction” alors qu’il avait pr´ ef´ er´ e le terme ”m´ ethode des ondes de bor- dure”

⁹

[30]. Avec le recul, la th´ eorie physique de la diffraction correspond plutˆ ot ` a la m´ ethodologie globale qui consiste ` a ajouter un champ correcteur ` a celui de l’OP. Plu- sieurs techniques ont ´ et´ e d´ evelopp´ ees par la suite pour formuler clairement ce champ correcteur, ` a partir de courants ou de coefficients. Ces techniques d´ erivant de la mˆ eme approche globale, nous les nommerons Th´ eories Physiques de la Diffraction (au pluriel).

Parmi les plus connues et utilis´ ees en pratique dans des codes de calcul, on peut citer : – la th´ eorie des Ondes ´ El´ ementaires de Bordure (EEW )[31,

32,33] ;

– la M´ ethode des Courants ´ Equivalents (MCE/ECM ou

EEC

) [34,

35,36, 37, 38, 39,40] ;

– les Coefficients Incr´ ementaux de Longueur de Diffraction (ILDCs ) [41,

42] ;

– la Th´ eorie Incr´ ementale de la Diffraction (TID/ITD) [43,

44,45].

G´ en´ eralement, ces m´ ethodes consistent ` a exprimer le champ correcteur comme une in- t´ egrale lin´ eique, dont le contour d’int´ egration correspond ` a la bordure diffractante :

E^d_u= Z

bordure

(. . .)d`

(7)

L’int´ egrande est exprim´ ee soit par rapport au rayonnement de ”courants de diffraction”

soit par rapport ` a des ”champs ´ el´ ementaires de diffraction” selon la technique employ´ ee

¹⁰

. Diffraction de faisceaux gaussiens

Toutes les techniques haute fr´ equence pr´ ec´ edentes employ´ ees pour calculer le champ rayonn´ e par des structures diffractantes ont un point commun. Elles s’appuient sur le principe de localit´ e, qui stipule que localement, la g´ eom´ etrie d’un objet est ´ equivalente

`

a celle d’un objet canonique connu et que de plus, le champ incident est localement as- similable ` a une onde plane ou sph´ erique. Ainsi, l’application directe de ces formulations lorsque le champ incident correspond ` a un faisceau gaussien ´ echoue invariablement, car le champ incident d’un faisceau gaussien n’est localement pas assimilable ` a celui d’une

8fringe field.

9Method of Edges Waves(MEW).

10La Th´eorie Incr´ementale de la Diffraction deTiberio, MacietToccafondipeut ˆetre class´ee comme une m´ethode bas´ee sur les champs ou sur les courants selon la formulation employ´ee[45].

9

onde plane ou sph´ erique.

Pour traiter le probl` eme sp´ ecifique de la diffraction d’un objet canonique ´ eclair´ e par un faisceau gaussien, plusieurs approches ont ´ et´ e employ´ ees dans la litt´ erature.

L’une de ces approches consiste ` a utiliser la th´ eorie du

point source complexe, car

un faisceau gaussien correspond ` a l’approximation paraxiale du rayonnement d’un point source complexe. Or, on peut d´ eterminer l’expression exacte du champ rayonn´ e par une structure ´ eclair´ ee par un point source complexe lorsque l’on connaˆıt sa fonction de

Green

, comme l’ont montr´ e en particulier les travaux de

L.B. Felsen

(cf. [46] pour une biographie de ses travaux sur ce sujet).

G.A. Suedan

et

E.V. Jull

ont appliqu´ e ces r´ esultats vers la fin des ann´ ees 80 aux probl` emes canoniques du demi-plan conducteur en deux dimensions [47,

48] puis au demi-plan conducteur en incidence oblique (semi-3D)

pour une source scalaire [49,

50]. Plus r´

ecemment (2003),

E. Martini

a appliqu´ e la g´ en´ eralisation vectorielle de la m´ ethode du point source complexe aux surfaces conduc- trices planes dont les dimensions sont finies, mais uniquement dans le cadre de l’optique physique [51].

L’application aux faisceaux gaussiens de la d´ emarche propos´ ee en 1976 par

R.Mittra

dans la

th´eorie spectrale de la diffraction

[52] a ´ et´ e r´ ealis´ ee en 2002 pour un plan conduc- teur semi-infini dans les travaux de

L.E. Petersson

[53]. Cette d´ emarche consiste ` a exprimer un champ incident sur un objet canonique comme une somme continue d’ondes planes, puis d’appliquer la solution connue du champ rayonn´ e relative ` a cette structure

`

a chacune des ces ondes planes. L’expression finale obtenue est exacte mais exprim´ ee sous forme int´ egrale

¹¹

et n´ ecessite d’ˆ etre ´ evalu´ ee num´ eriquement pour chacun des points d’observation.

Les travaux les plus r´ ecents sur le sujet utilisent le formalisme des faisceaux gaussiens dans le cadre de

lancers de faisceaux gaussiens, adaptation de la technique du lancer de rayons

aux faisceaux gaussiens [54,

55]. L’interaction d’un faisceau gaussien avec une

surface courbe est bien connue et on peut d´ eterminer, grˆ ace ` a une g´ en´ eralisation des lois ABCD de l’optique, les expressions d’un faisceau gaussien r´ efl´ echi et d’un faisceau gaussien transmis par ce type d’interface. Par contre, le probl` eme de l’interception d’une arˆ ete par un faisceau gaussien paraxial n’a ` a l’heure actuelle pas de solution analytique exacte connue. L’´ etude de ce probl` eme a fait l’objet de plusieurs strat´ egies diff´ erentes :

– Dans le cadre de l’´ etude de r´ eflecteurs m´ etalliques,

H.T. Chou

et

P.H. Pathak

ont montr´ e ` a partir de 1997 que la sym´ etrie circulaire du probl` eme permet de rame- ner l’int´ egrale de rayonnement des courants dans l’hypoth` ese de l’optique physique

11Une int´egrale simple en dimension deux et une int´egrale double en dimension trois.

`

a une seule dimension. En utilisant des hypoth` eses suppl´ ementaires

¹²

, on peut alors exprimer cette int´ egrale sous une forme analytique et uniforme [56,

57,58]. L’id´

ee d’am´ eliorer cette technique par l’ajout d’une contribution permettant de mod´ eliser correctement la diffraction par les arˆ etes, ` a la mani` ere des Th´ eories Physiques de la Diffraction, a ´ et´ e propos´ ee par ces auteurs mais sans ˆ etre d´ emontr´ ee. Des travaux sont actuellement en cours sur ce sujet [59].

– Une solution propos´ ee par

C. Letrou

en 2007 consiste ` a exprimer la partie du champ non masqu´ ee par une arˆ ete diffractante comme une somme de faisceaux que l’on peut ` a nouveau faire propager dans un algorithme de lancer de faisceau [60].

– Enfin, les travaux publi´ es ´ egalement en 2007 par

M. Katsav

et

E. Heyman

consistent ` a exprimer le champ rayonn´ e par une arˆ ete semi-infinie en deux di- mensions comme une somme de faisceaux gaussiens ´ emanant de l’arˆ ete [61]. Cette approche permet de calculer le champ rayonn´ e avec une tr` es bonne approximation par rapport ` a une solution exacte, mais son domaine de validit´ e reste jusqu’` a pr´ e- sent restreint ` a des distances inf´ erieures ` a quelques dizaines de fois la largeur des faisceaux utilis´ es [62].

12En particulier, la constance de la matrice de courbure complexe du faisceau incident sur la surface rayonnante et l’hypoth`ese champ lointain.

11

D´ emarche et travaux effectu´ es

Dans cette ´ etude, notre d´ emarche consiste ` a nous int´ eresser ` a la fois au probl` eme canonique de la diffraction d’un obstacle conducteur plan par un faisceau gaussien ainsi qu’au rayonnement de surfaces di´ electriques de fortes courbures, mais aussi ` a l’applica- tion du formalisme des faisceaux gaussiens ` a des probl` emes plus complexes.

A cet effet, nous nous appuyons sur les travaux pr´ ` ec´ edemment r´ ealis´ es[63,

64] en syn-

th´ etisant les diff´ erentes expressions utilis´ ees dans le formalisme des faisceaux gaussiens, sous une mˆ eme notation homog` ene. ` A partir de ce formalisme initial, nous d´ eveloppons l’expression analytique du

spectre d’ondes planes d’un faisceau gaussien conforme, per-

mettant de calculer les champs transmis et r´ efl´ echis sur une interface di´ electrique par des faisceaux gaussiens conformes. Enfin, nous d´ efinissons grˆ ace ` a une analyse param´ e- trique et en comparant avec une solution num´ erique, le domaine de validit´ e des faisceaux gaussiens g´ en´ eralis´ es et conformes.

Concernant le probl` eme de la diffraction d’un faisceau gaussien, nous abordons ce sujet en d´ eveloppant l’expression int´ egrale exacte du champ diffract´ e par un demi-plan conducteur ´ eclair´ e par un faisceau gaussien en deux dimensions. Cette solution exacte est utilis´ ee comme r´ ef´ erence et compar´ ee par la suite ` a l’expression analytique approch´ ee du champ rayonn´ e par ce demi-plan dans l’hypoth` ese de l’optique physique puis lors de l’utilisation de la m´ ethode du point source complexe.

En outre, ce probl` eme est ´ etendu aux surfaces rectangulaires planes conductrices de dimensions finies, pour lesquelles nous donnons l’expression

non-uniforme

puis

uniforme

du champ rayonn´ es par ces structures lorsqu’elles sont ´ eclair´ ees par des faisceaux gaus- siens en trois dimensions dans l’hypoth` ese de l’optique physique. Les champs calcul´ es grˆ ace ` a ces expressions sont compar´ es ` a une m´ ethode rigoureuse bas´ ee sur la m´ ethode des moments ainsi qu’` a des mesures r´ ealis´ ees en chambre an´ echo¨ıque.

Concernant l’application du formalisme des faisceaux gaussiens ` a des probl` emes com- plexes, nous validons les m´ ethodes de d´ ecomposition de champs initiaux en faisceaux gaussiens g´ en´ eralis´ es et conformes par rapport ` a des r´ ef´ erences analytiques ou num´ e- riques ainsi qu’` a une s´ erie de mesures r´ ealis´ ees en chambre an´ echo¨ıque. Nous appliquons ensuite les m´ ethodes pr´ esent´ ees aux domaines de la propagation ´ electromagn´ etique pour lesquel les dimensions des probl` emes sont g´ en´ eralement tr` es grands devant la longueur d’onde. Nous comparons les r´ esultats obtenus ` a un code de calcul bas´ e sur la r´ esolution de l’´ equation parabolique, une m´ ethode adapt´ ee ` a ce type de situation.

Enfin, tous ces r´ esultats n´ ecessitent l’am´ elioration des codes de calculs existant ainsi

que le d´ eveloppement de nouveaux. Durant ces travaux, on a pris soin de conserver et

de faire ´ evoluer les codes et les structures pr´ ec´ edemment d´ evelopp´ ees, afin de conserver

un ensemble d’outils le plus modulaire et le plus coh´ erent possible.

13

Plan de l’´ etude

Le premier chapitre r´ ecapitule les d´ efinitions des faisceaux gaussiens que l’on uti- lisera dans ce manuscrit. Premi` erement, on rappelle la d´ efinition classique du faisceau gaussien. Trois approches permettant de g´ en´ eraliser ce faisceau sont pr´ esent´ ees. Pour chacune d’entre elles, leurs caract´ eristiques physiques sont explicit´ ees ainsi que leur do- maine de validit´ e. La premi` ere se fonde sur la repr´ esentation d’un champ d’amplitude gaussienne transverse sur son spectre d’ondes planes. La seconde repose sur le rayonne- ment de courants d´ efinis sur une surface courbe par une amplitude gaussienne et par une variation de phase lin´ eaire. Nous pr´ esentons une approche originale permettant de cal- culer le spectre d’ondes planes d’un faisceau ainsi d´ efini. Enfin, la troisi` eme correspond au point source complexe, dont nous rappelons les principaux r´ esultats.

Le second chapitre a pour objectif de d´ ecrire le champ rayonn´ e par une surface conductrice plane semi-finie ou finie ´ eclair´ ee par un faisceau gaussien. Ce chapitre se scinde en deux parties. Dans la premi` ere nous pr´ esentons une approche conventionnelle du calcul du champ rayonn´ e par un demi-plan conducteur ´ eclair´ e par un faisceau gaus- sien en deux dimensions. Dans la seconde, nous pr´ esentons des formulations originales permettant de calculer asymptotiquement le champ rayonn´ e par une surface conduc- trice plane de taille finie en trois dimensions. Le domaine de validit´ e des expressions d´ evelopp´ ees est d´ efini par comparaison avec une m´ ethode de calcul rigoureuse.

Le troisi` eme chapitre est plus prospectif. Il explore les possibilit´ es offertes par

le formalisme des faisceaux gaussiens concernant des situations plus complexes. Tout

d’abord nous aborderons les techniques de d´ ecomposition adapt´ ees aux surfaces mo-

d´ er´ ement courbes ou effil´ ees. Ces r´ esultats sont compar´ es avec des mesures. Dans un

deuxi` eme temps, nous utilisons les expressions d´ evelopp´ ees dans le chapitre deux afin de

mod´ eliser une situation n´ ecessitant le calcul du champ rayonn´ e par une structure plane

rectangulaire. Les r´ esultats obtenus sont ´ egalement compar´ es ` a des mesures. Enfin, nous

utilisons l’ensemble des techniques pr´ ec´ edentes pour appliquer les faisceaux gaussiens

au contexte de la propagation ´ electromagn´ etique sur de grandes distances. Les r´ esultats

sont compar´ es ` a d’autres codes de calcul.

Lexique des notations utilis´ ees

Soient

f

et

g

deux fonctions quelconques. On utilisera les conventions math´ ematiques suivantes :

–

f

repr´ esente un vecteur (colonne) de

_C³

;

–

^tf=(fx,fy,fz)

: transpos´ ee du vecteur

f

.

fx,fy,fz

sont les composantes du vecteur

f

dans une base cart´ esienne ;

–

^tf g=f·g

: produit scalaire des vecteurs

f

et

g

;

–

_M

: matrice de dimension

m×n

. Lorsque cela n’est pas pr´ ecis´ e,

m

et

n

sont impli- citement ´ egaux ` a 2 ;

–

_I

: matrice identit´ e ;

–

^ˆf

: vecteur unitaire.

_k^ˆ_{fk =}1

. ;

–

f^(B)

: vecteur

f

exprim´ e dans la base (

_B)

. Si aucune base n’est indiqu´ ee, le vecteur est exprim´ e dans le rep` ere absolu ;

–

f^˜

: spectre d’ondes planes ou spectre angulaire d’ondes planes d’une fonction sca- laire

f

;

–

^˜f

: spectre d’ondes planes ou spectre angulaire d’ondes planes d’une fonction vec- torielle

f

;

La notation suivante est adopt´ ee pour les param` etres et constantes fondamentales utili- s´ ees en ´ electromagn´ etisme :

–

_λ

: longueur d’onde dans le milieu de propagation (

_λ0

: longueur d’onde dans le vide) ;

–

c

: vitesse de la lumi` ere. Dans le vide, on utilise

c0=2.997925E8

; –

k=2π

λ =ω

c

: nombre d’onde (

k0

: longueur d’onde dans le vide) ; –

k

: vecteur d’onde.

k=^t(k_x,k_y,k_z)

dans une base cart´ esienne ; –

Z0=120π

: imp´ edance du vide ;

–

_εr

: permittivit´ e relative du milieu de propagation ;

Chapitre 1

Faisceaux gaussiens

Dans ce premier chapitre, nous d´ efinissons les expressions, les propri´ et´ es math´ ema- tiques et physiques des faisceaux gaussiens qui seront utilis´ es dans les chapitres suivants.

Le calcul du rayonnement ´ electromagn´ etique d’objets ´ eclair´ es par des champs ´ electro- magn´ etiques hautes fr´ equences a fait l’objet de nombreuses recherches et reste un sujet actuel compte tenu de la multiplication des sources d’´ emissions (WIFI, t´ el´ ecommunica- tions mobiles, etc.). On adopte la m´ ethode consistant ` a d´ ecomposer le champ incident (connu) en un ensemble de champs ´ el´ ementaires, plus simples ` a manipuler analytique- ment. Lorsque cette d´ ecomposition est obtenue, les interactions de chacun de ces champs

´

el´ ementaires avec l’objet sont calcul´ ees. Le calcul analytique ou num´ erique des ces inter- actions permet alors d’obtenir le champ total rayonn´ e par la structure, en effectuant la somme des champs rayonn´ es.

De nombreuses m´ ethodes et techniques existent pour exprimer un champ ´ electro- magn´ etique connu sur une surface (r´ eelle ou virtuelle) ` a l’aide d’un ensemble d’objets physiques ´ el´ ementaires. Parmi les plus connues, on peut citer les m´ ethodes bas´ ees sur le spectre d’ondes planes, sur l’utilisation d’ondes sph´ eriques en faisant appel au principe de

Huygens

, les m´ ethodes modales ou les m´ ethodes de rayon. Pour chacunes d’entre elles, les champs sont exprim´ es par un ensemble d’objets ´ el´ ementaires : ondes planes, ondes sph´ eriques, ondes focalis´ ees, modes propres de l’op´ erateur de propagation ou rayons.

Depuis plusieurs ann´ ees, de nouvelles m´ ethodes bas´ ees sur des faisceaux ´ el´ ementaires, dont les extensions spatiale et spectrale sont finies, permettent de r´ esoudre les probl` emes rencontr´ es par les m´ ethodes pr´ ec´ edentes, comme les caustiques ou l’explosion du nombre d’ondes planes ou de rayons n´ ecessaires pour d´ ecrire des sc` enes complexes. Une illustra- tion de la d´ ecomposition d’un champ ´ electromagn´ etique connu sur une surface courbe

S

17

par un ensemble de faisceaux ´ el´ ementaires est donn´ ee sur la figure (1.1).

Fig.1.1: Illustration du principe de la d´ecomposition d’un champ

´

electromagn´etique en faisceaux ´el´ementaires de formes diff´erentes.

Le choix du type de faisceau ´ el´ ementaire utilis´ e pour la d´ ecomposition d´ epend d’un certain nombre de crit` eres, math´ ematiques ou physiques, ainsi que de la m´ ethode em- ploy´ ee pour d´ ecomposer les champs. Les faisceaux ´ el´ ementaires utilis´ es dans ces travaux de th` ese sont gaussiens. En toute g´ en´ eralit´ e, un faisceau gaussien est un faisceau dont l’´ evolution du profil transversal d’amplitude en fonction de la propagation spatiale est proportionnel ` a une fonction gaussienne. Un ´ etat de l’art des m´ ethodes de d´ ecomposition en faisceaux gaussiens sera effectu´ e dans le chapitre 3. Le principe g´ en´ eral est illustr´ e sur la figure (1.2). Il se d´ ecompose g´ en´ eralement en deux ´ etapes :

1. connaˆıtre ou calculer un champ sur une surface r´ eelle ou virtuelle (` a partir d’une mesure ou d’un calcul num´ erique) ;

2. exprimer les champs ou les courants ´ equivalents sur cette surface en une distribu- tion de faisceaux ´ el´ ementaires gaussiens ;

Enfin, on calcule (analytiquement) la propagation de chacun des ces faisceaux.

19

Fig.1.2: Illustration de la d´ecomposition et de la propagation d’un champ dans le formalisme des faisceaux gaussiens.

Dans ce premier chapitre, nous allons d´ ecrire plusieurs types de faisceaux ´ el´ ementaires gaussiens, dont les hypoth` eses math´ ematiques ou le domaine d’application physique sont compl´ ementaires. La premi` ere partie du chapitre est consacr´ ee aux propri´ et´ es physiques fondamentales des faisceaux gaussiens ”classiques” originellement utilis´ es en optique, ob- tenus ` a partir de l’´ equation de propagation dans le cadre de l’hypoth` ese paraxiale. Cette premi` ere partie nous permettra de d´ efinir les param` etres caract´ eristiques d’un faisceau gaussien que nous utiliserons tout le long de ce manuscrit.

Dans la section II, nous d´ efinirons des faisceaux gaussiens plus g´ en´ eraux ` a partir du spectre d’ondes planes d’un champ d’amplitude gaussienne connu sur un plan initial. En fonction du domaine de calcul, la propagation de ces faisceaux sera calcul´ ee analytique- ment selon deux techniques. La premi` ere est bas´ ee sur une hypoth` ese paraxiale et permet une description fine des champs en zone proche ou ` a proximit´ e de l’axe de propagation du faisceau [65,

56,66]. La seconde utilise une approximation champ lointain et permet

de d´ ecrire la propagation des champs sans contrainte paraxiale au-del` a d’une certaine distance [67,

64]. Les domaines de validit´

e de chacune de ces formulations seront pr´ ecis´ es dans la section II.6.2.

L’approche spectrale utilis´ ee pour la d´ efinition des faisceaux gaussiens g´ en´ eralis´ es n’est valable que lorsque le champ gaussien initial est exprim´ e sur un plan. Une g´ en´ erali- sation ` a un champ initial gaussien exprim´ e sur une surface courbe est possible et am` ene

`

a la d´ efinition des faisceaux gaussiens conformes [64,

68] dont les propri´

et´ es sont ´ etudi´ ees dans la section III.

Enfin, les faisceaux gaussiens classiques peuvent ´ egalement ˆ etre d´ efinis comme un

cas particulier paraxial des formulations bas´ ees sur la th´ eorie du point source complexe,

d´ ecrite dans la section IV. Les points sources complexes sont une g´ en´ eralisation des

fonctions de

Green

` a des dimensions d’espace [69,

70] et de temps [71,54] complexes.

I Faisceaux gaussiens classiques

I.1 Formulation scalaire

Historiquement, la notion de faisceaux gaussiens est li´ ee ` a l’optique, en particulier au domaine des lasers o` u ils permettent de formuler avec une bonne approximation la propagation des faisceaux et leurs int´ eractions avec des syst` emes optiques.

Un faisceau gaussien est une solution particuli` ere de l’´ equation de propagation dans le cadre de l’approximation paraxiale[72, chap.16,17]. Soit

z

la direction de propagation du faisceau. Il est pratique d’extraire de l’expression du champ ´ electrique

E

le facteur de pro- pagation dans la direction

z

:

E(x,y,z)=u(x,y,z) exp(−j kz)

, o` u

u(x,y,z)

est l’amplitude scalaire complexe qui d´ ecrit l’´ evolution spatiale du faisceau. L’approximation paraxiale suppose une faible divergence du faisceau par rapport ` a son axe de propagation :

¯

¯

¯

¯

∂²u

∂z²

¯

¯

¯

¯¿

¯

¯

¯

¯ 2k∂u

∂z

¯

¯

¯

¯

ou

¯

¯

¯

¯

∂²u

∂x²

¯

¯

¯

¯

ou

¯

¯

¯

¯

∂²u

∂y²

¯

¯

¯

¯

(1.1) L’´ equation de propagation s’´ ecrit sous ces hypoth` eses :

∂²u

∂x²+∂²u

∂y²−2j k∂u

∂z =0

(1.2)

La r´ esolution de (1.2) permettant de construire une onde de profil quelconque am` ene ` a une famille de solutions ` a base de polynomes d’

Hermite

en coordonn´ ees cart´ esiennes ou de

Gauss-Laguerre

en coordonn´ ees cylindriques, formant une base orthogonale compl` ete[72, 16.4]. Au premier ordre (mode fondamental), on a :

u(x,y,z)=

s W0xW0y

Wx(z)Wy(z)exp

"

− x²

W_x²(z)− y² W_y²(z)

#

·exp

·j 2 µ

arctan

µz−zW_0x

z0x

¶

+arctan

µz−zW_0y

z0y

¶¶¸

exp

·

−j k 2

µ x²

Rx(z)+ y² Ry(z)

¶

−j kz

¸

(1.3) Les distances

x=W_x(z)

et

y=W_y(z)

correspondent aux positions de l’enveloppe du faisceau dans les plans

xOz

et

yOz

pour lesquelles l’amplitude du champ est divis´ ee par

e

par rapport ` a sa valeur sur l’axe. Les param` etres

Wx(z)

et

Wy(z)

sonts appell´ es les

enveloppes

ou

largeurs du faisceau

et valent :

Wx,y(z)=W0x,y

s 1+

µz−z_W0x,y z0x,y

¶2

(1.4)

I. Faisceaux gaussiens classiques 21

z0x

et

z0y

sont les distances pour lesquelles

Wx(z)=p

2W0x

et

Wy(z)=p

2W0y

. Les param` etres

z0x

et

z0,y

sont appel´ es

facteurs d’´echelle,distances

ou

port´ees de Rayleigh

et valent :

z0x,y= kW_0x,y²

2

(1.5)

Pour

z=zW0x

et

z=zW0y

, les largeurs du faisceau prennent pour valeur respectivement

W_0x

et

W_0y

. Les param` etres

W_0x

et

W_0y

repr´ esentent les rayons minima du faisceau selon

x

et

y

et sont appel´ es les

ceintures

ou

waists

du faisceau

¹

.

Les termes

Rx(z)

et

Ry(z)

repr´ esentent les rayons de courbure du front d’onde sur l’axe

z

et valent :

Rx,y(z)=(z−zW0x,y) Ã

1+

à z0x,y

z−zW0x,y

!2!

(1.6)

Au niveau de la ceinture, le front ´ equiphase est plan. Ailleurs, le front d’onde est qua- dratique et en particulier sph´ erique ` a l’infini au niveau de l’axe

z

.

Loin des ceintures, les angles de divergence du faisceau ont pour expression :

θx≈arctan µ 2

kW0x

¶

, θy≈arctan µ 2

kW0y

¶

(1.7)

L’angle de divergence maximal g´ en´ eralement admis pour satisfaire ` a l’hypoth` ese pa- raxiale est de l’ordre de 20 degr´ es de part et d’autre de l’axe de propagation.

Nous avons repr´ esent´ e sur la figure (1.3) l’ensemble de ces param` etres pour une coupe dans le plan

xOz

d’un faisceau gaussien.

1Par abus de langage, on utilisera parfois dans la suite de ce manuscrit le terme ”largeurs du faisceau”

pour d´esigner les demi-largeurs minimaW0x etW0y.

Fig.1.3: Illustration des param`etres d’un faisceau gaussien classique dans le plan xOz.

Le long de la direction de propagation

z

, le terme :

1

2arctan

µz−zW0x,y

z_0x,y

¶

(1.8) fait acqu´ erir au faisceau un d´ ecalage de phase par rapport ` a celle d’une onde plane de mˆ eme fr´ equence. Cette diff´ erence de phase est appell´ ee d´ ecalage de

Gouy

[73,

74]²

. Il en r´ esulte un d´ ecalage dans la position des fronts d’onde, le front d’onde d’un faisceau gaussien se propageant plus rapidement que celui d’une onde plane (sa vitesse de phase

´ etant plus grande)[72,

§17.4]. Enfin, contrairement aux rayons de l’optique g´

eom´ etrique, le d´ ecalage de phase est progressif lors de la travers´ ee de la zone focale. Par cons´ equent, le ph´ enom` ene de

caustique, li´

e aux sauts de phase brusques d’un rayon lors de la traver- s´ ee de la zone focale, n’existe pas avec les faisceaux gaussiens.

Lorsque les couples de param` etres

W_0x

,

W_0y

et

z_W0x

,

z_W0y

sont ´ egaux, le faisceau pos- s` ede une sym´ etrie de r´ evolution autour de l’axe de propagation

Oz

et il est dit

circulaire

(Figure 1.4). Le front d’onde d’un tel faisceau est plan au niveau de sa ceinture et devient sph´ erique ` a l’infini[63].

2Parfois indumment nomm´e ”Guoy”, par exemple dans [72].

I. Faisceaux gaussiens classiques 23

Fig.1.4: Faisceau gaussien circulaire.

Lorsque seuls les param` etres

zW_0x

,

zW_0y

sont ´ egaux, l’enveloppe du champ dans le plan de la ceinture est une ellipse dont les demi-grands axes sont

W0,x

et

W0,y

. Le faisceau est alors dit

elliptique. Au niveau de sa ceinture et `

a l’infini, les fronts d’onde conservent les mˆ emes propri´ et´ es que celles du faisceau gaussien circulaire, c’est-` a-dire que son front d’onde est plan au niveau de la ceinture et devient sph´ erique ` a l’infini

³

(cf. Figure 1.5).

Fig.1.5: Faisceau gaussien elliptique.

Enfin, lorsque les distances

zW0,x

et

zW0,y

sont diff´ erentes, le faisceau est dit

astigma- tique

[75]. Au niveau de chaque ceinture, les fronts d’onde sont cylindriques, et sph´ eriques

`

a l’infini

³

(cf. Figure 1.6).

Fig.1.6: Faisceau gaussien astigmatique.

I.2 Formulation vectorielle

Une formulation vectorielle d’un faisceau gaussien peut ˆ etre obtenue ` a partir de po- tentiels vecteurs, d´ efinis ` a partir de l’expression scalaire 1.3[76]. L’orientation du potentiel vecteur ´ electrique d´ efinit alors la polarisation principale du champ ´ electrique. En toute g´ en´ eralit´ e, un faisceau gaussien vectoriel peut s’´ ecrire comme une combinaison lin´ eaire pond´ er´ ee par les coefficients

ax

et

ay

issus de faisceaux vectoriels dont les polarisations principales sont dirig´ ees selon

x

et

y

[63,

64] :

E(x,y,z)=u(x,y,z)(axeˆx+ayeˆy)− j k

µ∂u

∂xax+∂u

∂yay

¶ ˆ

ez

(1.9)

H(x,y,z)= pεr

Z0

µ

u(x,y,z)(axeˆy−ayeˆx)− j k

µ∂u

∂yax−∂u

∂xay

¶ eˆz

¶

(1.10) Les composantes selon l’axe

ez

exprim´ ees ` a partir de d´ eriv´ ees partielles selon

x

et

y

de la fonctions

u

peuvent se r´ e´ ecrire comme le produit d’un terme avec la fonction

u

. Les champs peuvent alors s’exprimer sous la forme compacte :

E(x,y,z)=









a_x ay

aE;z(x,y,z)









u(x,y,z)

(1.11)

H(x,y,z)= pεr

Z0









−ay

ax

a_H;z(x,y,z)









u(x,y,z)

(1.12)

I. Faisceaux gaussiens classiques 25

avec

aE;z(x,y,z)= µ

− 1

Rx(z)+j 2 kW_x²(z)

¶ xax+

Ã

− 1

Ry(z)+j 2 kW_y²(z)

!

y ay

(1.13)

aH;z(x,y,z)=

Ã

− 1

Ry(z)+j 2 kW_y²(z)

! y ax−

µ

− 1

Rx(z)+j 2 kW_x²(z)

¶

xay

(1.14)

Les vecteurs

AE(x,y,z) =^t(a_x,a_y,a_E;z(x,y,z))

et

AH(x,y,z)=^t(−a_y,a_x,a_H;z(x,y,z))

d´ efi-

nissent alors la polarisation des champs ´ electrique et magn´ etique.