Domaine de validit´ e

Afin de pr´esenter un domaine de validit´e pour chacune des deux hypoth`eses

utili-s´ees pour le calcul des champs propag´es, nous nous int´eressons au rayonnement d’une

distribution gaussienne d´efinie dans le plan

z=0

, c’est-`a-dire `a la propagation d’un

fais-ceau gaussien dont l’expression exacte est donn´ee par la relation int´egrale (1.34). Cette

expression est ´evalu´ee num´eriquement et est compar´ee avec les expressions analytiques

(1.41) et (1.49). L’erreur entre la m´ethode de r´ef´erence num´erique et une formulation

analytique est d´efinie par :

∆(r)= kEref(r)−Etest(r)k

(1.58)

On jugera que cette erreur est satisfaisante `a la distance

r=r_∆

lorsque

∆

sera inf´erieur

`

a

−60

dB avec

MaxkErefk =0

dB :

r_∆

tel que

∆(r)< −60dB

(1.59)

Afin de pr´esenter des conclusions ind´ependantes de la fr´equence, on normalise les

r´esultats par rapport `a la longueur d’onde

λ

. Plusieurs types de faisceaux sont d´efinis

par des ceintures circulaires ”´etroites” formant des faisceaux tr`es divergents (telles que

kW₀<2π

) jusqu’`a des ceintures ”larges” et peu divergents (telles que

kW₀>2π

). Les

cein-tures sont d´efinies sans perte de g´en´eralit´e sur le plan initial en

z=0

par

zW0,x =zW0,y=0

.

Sur les figures (1.10 `a 1.16), nous avons repr´esent´e la composante principale d’un

faisceau gaussien circulaire avec diff´erentes demi-largeurs de ceinture telles que

kW0= π, 2π, 4π, 8π

et introduites dans la matrice de courbure suivante :

Q(0)=   2 j kW2 0 0 0 _{j kW}² 2 0  

(1.60)

On repr´esente pour chacune de ces figures les erreurs entre le calcul num´erique et les

formulations analytiques paraxiale et champ lointain.

II. Faisceaux gaussiens g´en´eralis´es 35

Fig.^{1.10: Amplitude d’un faisceau gaussien propag´e dans le plan}xOz. R´ef´erence calcul´ee num´eriquement `a partir de l’´equation int´egrale du spectre d’ondes planes

(1.34). Faisceau circulaire,kW0=π.

Fig.^{1.11: Diff´erence absolue (en dB) entre la r´ef´erence et la formulation paraxiale} (1.41) (`a gauche) et entre la r´ef´erence et la formulation champ lointain (1.49) (`a

droite). Faisceau circulaire,kW₀=π.

Lorsque la demi-largeur du faisceau est faible, on constate que le faisceau est tr`es

divergent. La formulation analytique paraxiale donne de bons r´esultats uniquement dans

le cˆone de paraxialit´e. La formulation analytique champ lointain correspond au champ

exact `a quelques longueurs d’ondes du centre du faisceau.

Fig.1.12: Amplitude d’un faisceau gaussien propag´e dans le planxOz. R´ef´erence calcul´ee num´eriquement `a partir de l’´equation int´egrale du spectre d’ondes planes

(1.34). Faisceau circulaire,kW₀=2π.

Fig.1.13: Diff´erence absolue (en dB) entre la r´ef´erence et la formulation paraxiale (1.41) (`a gauche) et entre la r´ef´erence et la formulation champ lointain (1.49) (`a

droite). Faisceau circulaire,kW₀=2π.

`

A mesure que l’on augmente la taille du faisceau, l’approximation paraxiale donne

de meilleurs r´esultats, contrairement `a l’approximation champ lointain dont le domaine

de validit´e s’´eloigne du centre du faisceau.

II. Faisceaux gaussiens g´en´eralis´es 37

Fig.1.14: Amplitude d’un faisceau gaussien propag´e dans le planxOz. R´ef´erence calcul´ee num´eriquement `a partir de l’´equation int´egrale du spectre d’ondes planes

(1.34). Faisceau circulaire,kW₀=4π.

Fig.^{1.15: Diff´erence absolue (en dB) entre la r´ef´erence et la formulation paraxiale} (1.41) (`a gauche) et entre la r´ef´erence et la formulation champ lointain (1.49) (`a

Fig.^{1.16: Amplitude d’un faisceau gaussien propag´e dans le plan}xOz. R´ef´erence calcul´ee num´eriquement `a partir de l’´equation int´egrale du spectre d’ondes planes

(1.34). Faisceau circulaire,kW0=8π.

Fig.^{1.17: Diff´erence absolue (en dB) entre la r´ef´erence et la formulation paraxiale} (1.41) (`a gauche) et entre la r´ef´erence et la formulation champ lointain (1.49) (`a

droite). Faisceau circulaire,kW₀=8π.

Lorsque la demi-largeur du faisceau est grande, le faisceau est tr`es peu divergent.

Dans ce cas de figure, l’erreur avec l’expression analytique paraxiale est tr`es faible. Au

contraire, plus le faisceau est large, plus le domaine de validit´e de la formulation champ

lointain est ´eloign´e.

Synth`ese. Les formulations des faisceaux gaussiens g´en´eralis´es offrent une ´

ecri-ture plus compacte des champs ainsi que la description de tous les faisceaux gaussiens

classiques. La validit´e de chacune des deux formulations g´en´eralis´ees d´epend

essentielle-ment de la demi-largeur du faisceau au niveau de la ceinture. Pour des faisceaux ´etroits

(

kW₀<2π

), la formulation champ lointain donne de tr`es bons r´esultats au-del`a d’une

vingtaine de longueur d’ondes. `A mesure que la largeur du faisceau augmente, la distance

II. Faisceaux gaussiens g´en´eralis´es 39

r_∆

n´ecessaire pour que l’approximation champ lointain soit justifi´ee augmente ´egalement.

En se basant sur le crit`ere de justification de l’approximation champ lointain pour des

ouvertures (zone de _Fraunhofer), la distance minimale d’observation doit ˆetre sup´

e-rieure de

2D²/λ

o`u

D

repr´esente le diam`etre de l’ouverture. Par cons´equent, la distance

minimale pour un faisceau gaussien de demi-largeur

W0

doit ˆetre sup´erieure `a

5^kW

2 0 2

, soit

5z0

.

La formulation paraxiale donne de meilleurs r´esultats `a mesure que la taille de la

ceinture augmente. Il est g´en´eralement admis que la formulation paraxiale donne de bons

r´esultats au voisinage de l’axe de propagation pour

kW₀>2π

(soit une largeur

W₀=λ

ou

angle de divergence d’environ

20

degr´es)[64]. D’une mani`ere g´en´erale, la zone de validit´e

de l’approximation paraxiale est contenue dans le cˆone d’angle

arctan(2/(kW0))

.

Ces r´esultats sont illustr´es sch´ematiquement sous la forme d’une abaque sur la figure

(1.18).

Fig.^{1.18: Abaque sch´ematique des zones de validit´e des formulations paraxiales} (1.41) (rouge) et champ lointain (1.49) (bleu).

Enfin, les fronts d’onde des faisceaux ne sont pas ´equivalents selon les formulations

utilis´ees. Le front d’onde d’un faisceau gaussien dans la formulation paraxiale est

qua-dratique tandis qu’il est sph´erique pour la formulation champ lointain. Par cons´equent,

`

a grande distance (zone en rose), l’utilisation de la formulation paraxiale peut engendrer

des erreurs de phase importantes d`es que l’on s’´eloigne de l’axe de propagation.

III Faisceaux gaussiens conformes

Dans cette section, nous rappelons les principales caract´eristiques des faisceaux

gaus-siens conformes introduit dans [64].

Comme nous le verrons au chapitre 3, il existe plusieurs techniques permettant de

d´ecomposer une distribution de champ en un ensemble de faisceaux gaussiens. Parmi ces

techniques, la d´ecomposition multi-faisceaux gaussiens introduite par [64] permet de d´

e-composer des champs ´electromagn´etiques d´efinis sur des surfaces mod´er´ement courbes `a

l’aide des faisceaux gaussiens g´en´eralis´es de la section pr´ec´edente. Le domaine

d’applica-tion de la d´ecomposition multi-faisceaux gaussiens est limit´e `a une incidence mod´er´ee du

champ sur la surface courbe initiale, typiquement de l’ordre de 30 degr´es et ne convient

´egalement pas `a des surfaces trop courbes (cf. Figure1.19).

Fig.^{1.19: Illustration d’une probl´ematique li´ee `a des radˆomes de pointe effil´es.}P

est le vecteur de Poynting du champ ´emis par l’antenne au pointM etnˆ la normale locale sortante `a la surface au point M. La d´ecomposition multi-faisceaux

gaussiens est valide lorsque l’angle entre ces deux vecteurs reste mod´er´e, c’est-`a-dire inf´erieur `a 30 degr´es.

Un nouveau type de faisceau gaussien a ´et´e d´efini pour surmonter cette limitation.

Contrairement aux faisceaux gaussiens g´en´eralis´es qui sont d´efinis `a partir d’un champ

gaussien sur un plan, les faisceaux gaussiens conformes sont d´efinis `a partir de

densi-t´es surfaciques gaussiennes de courant circulant sur une surface courbe quadratique. Le

rayonnement de ces courants est appel´e faisceau gaussien conforme. Grˆace `a cette d´

efi-nition, les faisceaux gaussiens conformes prennent en compte la courbure de la surface

III. Faisceaux gaussiens conformes 41

dont ils sont issus.

Une distribution de champ support´ee par une surface courbe peut alors ˆetre d´

ecom-pos´ee en une somme de faisceaux gaussiens conformes, `a partir de la d´ecomposition des

courants ´equivalents sur la surface en un ensemble de courants ´el´ementaires gaussiens.

On utilisera dans les sections qui suivent le terme de ”courant” pour d´esigner une densit´e

surfacique de courant. Les courants ´electriques seront not´es

J

et les courants magn´etiques

M

.

Dans le document Applications du formalisme des faisceaux gaussiens à la modélisation de l'interaction d'une onde électromagnétique avec un objet 3D complexe (Page 47-54)