Chapitre 2 Diffraction d’un faisceau gaussien 69
II.3 Domaine de validit´ e de la solution uniforme
II.3.4 Configurations plus g´ en´ erales
Afin de mettre en ´evidence et de quantifier les limitations de la formulation uniforme,
nous pr´esentons quelques cas de figure plus g´en´eraux.
Deux hypoth`eses limitent principalement la validit´e de l’expression asymptotique d´
e-velopp´ee par rapport `a une int´egration num´erique r´ealis´ee dans l’hypoth`ese de l’optique
physique. D’une part, l’hypoth`ese de constance de la matrice de courbure d’un faisceau
paraxial sur la surface
16, limite l’angle d’incidence `a des angles non rasants par
rap-port `a la surface. D’autre part, l’´evaluation asymptotique des int´egrales poss´edant deux
bornes finies (
Iij) est r´ealis´ee dans l’hypoth`ese o`u les termes anti diagonaux de la matrice
Hessienne de la phase sont nuls.
Enfin, nous ´etudions ´egalement la validit´e de nos r´esultats lorsque les champs sont
observ´es dans un plan quelconque.
II.3.4.a Influence de l’approximation r´ealis´ee sur les int´egrales doubles avec
deux bornes
L’approximation (2.178) utilis´ee pour calculer un d´eveloppement asymptotique des
int´egrales doubles poss´edant deux bornes finies est p´enalisante lorsque le faisceau
inci-dent ´eclaire principalement les zones correspondantes au domaine d’int´egration de ces
int´egrales
17. Cette situation est illustr´ee sur la figure (2.64), o`u le centre d’un faisceau
paraxial incident de largeur
kW0=4πest situ´e en
(15λ, 15λ, 10λ), soit clairement en
de-hors de la plaque. L’observation des champs rayonn´es se fait `a une distance de
1000λ.
Dans ce cas, on observe que l’´evaluation asymptotique du champ rayonn´e est clairement
erron´ee.
16Ou du d´eveloppement limit´e utilis´e pour simplifier l’expression d’un faisceau champ lointain. 17c’est-`a-dire les zones repr´esent´ees en rouge sur la figure (2.39)
Fig.2.64: G´eom´etrie et amplitudes des champs Eθrayonn´es (en dB). Carr´e de
cˆot´e20λ,φ=0◦. En bleu : OP num´erique. En vert : OP asymptotique uniforme. L’observation est r´ealis´ee `a une distance de1000λ
Lorsque l’on augmente la distance d’observation, par exemple pour
r=1000000λ, le
r´esultat tend `a converger vers la r´ef´erence comme cela est illustr´e sur la figure (2.65).
Fig.2.65: G´eom´etrie et amplitudes des champs Eθrayonn´es (en dB). Carr´e de
cˆot´e20λ,φ=0◦. En bleu : OP num´erique. En vert : OP asymptotique uniforme. L’observation est r´ealis´ee `a une distance de1000000λ
De plus, lorsque l’amplitude du champ incident sur la surface est plus importante, par
exemple en prenant un faisceau plus divergent ou plus proche de la surface, on retrouve
une bonne correspondance avec la r´ef´erence. Nous avons illustr´e cette situation sur la
figure (2.66), o`u le faisceau incident, toujours situ´e en
(15λ, 15λ, 10λ), est plus divergent
que pr´ecedemment (
kW0=π/2). Par cons´equent, l’amplitude du champ incident sur la
plaque est plus importante et on observe que le champ rayonn´e calcul´e avec l’expression
II. Diffraction 3D 145
analytique est beaucoup plus correct.
Fig.2.66: G´eom´etrie et amplitudes des champsEθ rayonn´es (en dB). Carr´e de
cˆot´e20λ,φ=0◦. En bleu : OP num´erique. En vert : OP asymptotique uniforme. L’observation est r´ealis´ee `a une distance de1000λ. Le faisceau incident est plus
divergent que sur la figure (2.64).
Finalement, cette limitation n’est pas trop restrictive, dans la mesure o`u un
algo-rithme de lancer de faisceaux gaussiens peut trier les faisceaux incidents sur la plaque
et ne conserver que ceux interceptant le voisinage de la surface. De cette mani`ere, seuls
les faisceaux induisant un champ incident non n´egligeable sur la plaque serait
conser-v´es. Les faisceaux ´eclairant peu la plaque peuvent ˆetre n´eglig´es, dans la mesure o`u ils
contribueront peu au champ rayonn´e final.
II.3.4.b Observation dans un plan quelconque
Afin de quantifier l’erreur commise lorsque l’observation est r´ealis´ee dans un plan
quelconque, on place un faisceau dont la polarisation est contenue dans le plan
d’inci-dence, en
Ofg(50λ, 0, 50λ), avec un angle d’incidence de
θi=45◦. Nous avons repr´esent´e sur
la figure (2.67) deux g´eom´etries, relatives `a des angles d’observation
φ=37◦et
φ=112◦.
Fig.2.67: G´eom´etries. `A gauche,φ=37◦. `A droite,φ=112◦.
Les composantes
Eθdes champs rayonn´es `a une distance de
1000λde la surface sont
repr´esent´ees sur la figure2.68. Les composantes
Eφdes champs rayonn´es sont repr´esent´ees
sur la figure2.69. Comme on peut le constater sur ces figures, l’´evaluation asymptotique
utilis´ee permet d’obtenir l’allure globale du champ, sans toutefois suivre exactement le
calcul num´erique.
Fig.2.68: ComposantesEθdes champs rayonn´es. `A gauche, pourφ=37◦. `A droite, pourφ=112◦.
II. Diffraction 3D 147
Fig.2.69: Composantes Eφ des champs rayonn´es. `A gauche, pourφ=37◦. `A droite, pourφ=112◦.
Le cas dual, pour une polarisation du champ incident perpendiculaire au plan
d’in-cidence, est repr´esent´e sur la figure (2.70).
Fig.2.70: G´eom´etries. `A gauche,φ=37◦. `A droite,φ=112◦.
Les composantes
Eθdes champs rayonn´es `a une distance de
1000λde la surface sont
repr´esent´ees sur la figure2.71. Les composantes
Eφdes champs rayonn´es sont repr´esent´ees
sur la figure2.72.
de l’optique physique. Toutefois, on constate que l’hypoth`ese de l’optique physique est
particuli`erement mise en d´efaut dans ces conditions.
Fig.2.71: ComposantesEθdes champs rayonn´es. `A gauche, pourφ=37◦. `A droite, pourφ=112◦.
Fig.2.72: ComposantesEφ des champs rayonn´es. `A gauche, pourφ=37◦. `A droite, pourφ=112◦.