Validit´ e de la solution non uniforme - Expressions des champs rayonn´ es

Chapitre 2 Diffraction d’un faisceau gaussien 69

II.2 Expressions des champs rayonn´ es

II.2.4 Validit´ e de la solution non uniforme

−1 pour(X₊,Y₊), (X₋,Y₋) +1 pour(X₋,Y₊), (X₊,Y₋)

^(2.148)

II.2.4 Validit´e de la solution non uniforme

II.2.4.a Contributions des points critiques

Dans cette section nous appliquons les solutions développées précédemment. Notre

méthode de référence sera l’évaluation numérique de l’intégrale (2.110). Afin de mettre

en valeur le rˆole de chacune des contributions (premier, second et troisi`eme ordre), nous

allons pr´esenter un ensemble de cas de figure particuliers.

II. Diffraction 3D 113

Le champ rayonné dans la direction spéculaire de réflexion est associé aux points

critiques du premier ordre. Pour mettre en ´evidence la contribution de ces points (2.134),

on ´eclaire une surface carr´ee de

20λ

de cˆot´e par un faisceau gaussien paraxial de

demi-largeur

kW₀=4π

situ´e `a une hauteur de

10λ

de la plaque (cf figure 2.28). Avec cette

configuration, l’amplitude du champ ´eclairant les arˆetes de la surface est faible devant

l’amplitude incidente au centre de la surface, et ainsi, seule la contribution des points

critiques du premier ordre sera mise en ´evidence.

Fig.2.28: G´eom´etrie du calcul.

La polarisation principale du champ incident est dirig´ee selon la direction

du

rep`ere absolu. La visualisation des composantes

E_θ

des champs rayonn´es se fait `a une

distance

r=1000λ

de l’origine (courbe en noir illustrée sur la géométrie). L’amplitude

et la phase de l’évaluation numérique de l’intégrale (2.110) et la solution asymptotique

sont représentées sur la figure (2.29). L’erreur représentée sur cette figure correspond à

la valeur absolue de la diff´erence des deux composantes, soit

∆= |E_θ;num−E_θ;as ympt|

.

Fig.^{2.29: Mise en ´}^{evidence de la contribution du point critique du premier ordre.} `

A gauche : amplitude en dB de la composanteEθ^{. `}^{A droite : phase en degr´}^{es. En}

bleu : OP num´erique ; en vert : OP analytique. En rouge : diff´erence.

Comme on peut le constater sur la figure (2.29), le champ rayonn´e par l’expression

analytique correspond bien avec l’évaluation numérique de l’intégrale de rayonnement

dans l’hypoth`ese de l’optique physique. La contribution du point critique du premier

ordre correspond principalement à la composante spéculaire du champ rayonné.

Afin de mettre en ´evidence la contribution des points critiques du second ordre (2.136

-2.141), on éclaire la plaque avec un faisceau décalé, de sorte que la majorité du faisceau

se propage en dehors de la plaque (cf figure (2.30)). Ainsi, la contribution sp´eculaire sera

négligeable par rapport à la contribution des champs rayonnés par l’arête éclairée.

II. Diffraction 3D 115

Le faisceau incident a les mêmes propriétés que précédemment, mais son origine est

situ´ee cette fois au point

Ofg(14λ, 0, 10λ)

. L’amplitude et la phase des champs rayonn´es

sont repr´esent´ees sur la figure (2.31).

Fig.^{2.31: Mise en ´}^{evidence de la contribution des points critiques du second} ordre. `A gauche : amplitude en dB de la composanteEθ^{. `}^{A droite : phase en}

degrés. En bleu : OP numérique ; en vert : OP analytique. En rouge : différence.

Comme on peut le constater sur la figure (2.31), le rayonnement de l’arête est modélisé

de fa¸con satisfaisante par la contribution des points critiques du second ordre. On note

que l’amplitude globale du champ rayonné par l’arête est inférieure à l’amplitude de

la composante spéculaire dans le cas précédent, c’est-à-dire de la contribution du point

critique du premier ordre.

Afin de mettre en ´evidence la contribution des points critiques du troisi`eme ordre

(2.145), on place le faisceau de telle sorte qu’il n’´eclaire principalement qu’un coin de la

surface (cf. figure2.32).

Fig.^{2.32: G´}^eom´^{etrie du calcul.}

Le faisceau incident a les mêmes propriétés que précédemment, mais son origine est

situ´ee cette fois au point

Ofg(14λ, 14λ, 10λ)

. L’amplitude et la phase des champs rayonn´es

sont repr´esent´ees sur la figure (2.33).

Fig.^{2.33: Mise en ´}^{evidence de la contribution des points critiques du troisi`}^eme ordre. `A gauche : amplitude en dB de la composanteEθ^{. `}^{A droite : phase en}

degrés. En bleu : OP numérique ; en vert : OP analytique. En rouge : différence.

On constate sur la figure (2.33) que le rayonnement du coin de la plaque est

correcte-ment modélisé par la contribution des points critiques du troisième ordre. On remarque

de plus que l’amplitude globale du champ rayonnée est inférieure à l’amplitude du champ

rayonné par une arête, c’est-à-dire par la contribution des points critiques du second

ordre.

II. Diffraction 3D 117

II.2.4.b Superposition des contributions des points critiques

Comme on peut le constater sur les figures pr´ec´edentes, la contribution de chaque

type de point critique est d’un ordre de grandeur diff´erent. La contribution des points

critiques du premier ordre (2.134) est un d´eveloppement asymptotique d’ordre

O(k⁻¹)

.

Les contributions des points critiques du second ordre (2.136,2.141) sont d’ordre

O(k⁻^3/2)

et enfin les contributions des points critiques du troisi`eme ordre sont d’ordre

O(k−2)

. Afin

de mettre en évidence l’intérêt de chacune des contributions dans un cas plus complexe,

on ´eclaire la plaque par un faisceau situ´e en

O_fg(−2λ; 3λ; 50λ)

(cf. figure 2.34). De cette

manière, les 4 arêtes et les 4 coins sont éclairés avec une amplitude non négligeable par

rapport au reste de la surface.

Fig.2.34: G´eom´etrie du calcul et amplitude des composantesEθ ^{du champ}

lointain rayonné pourr=1000λ. En bleu : OP numérique ; en vert : OP analytique. En rouge : différence.

Nous avons scind´e le champ rayonn´e de la figure (2.34) sur la figure suivante (2.35)

afin de pouvoir visualiser la contribution de chaque type de points critiques. Il est clair

que la contribution principale, celle du sp´eculaire, provient des points critiques du

pre-mier ordre (en vert). Les lobes secondaires proviennent du rayonnement des arˆetes,

c’est-`

a-dire des contributions des points critiques du second ordre (en rouge). D’un niveau

inf´erieur, la contribution des 4 points critiques du troisi`eme ordre, correspondant au

rayonnement des 4 coins de la surface, est n´egligeable dans le cas pr´esent.

Fig.2.35: Champ r´ef´erence (en bleu) et contribution globale de chaque type de points critiques.

On remarquera de plus que la seule contribution du point critique de premier ordre

ne donne pas exactement l’allure du lobe principal. C’est la somme des contributions

du premier et du second ordre qui permet de décrire le champ rayonné, même pour

le premier lobe. Aussi, il apparaˆıt que la contribution des points critiques du second

ordre est nécessaire à la description du champs rayonné, non seulement pour les lobes

secondaires, mais ´egalement pour la direction principale.

Enfin, la contribution des coins peut généralement être négligée, tout du moins

lorsque l’amplitude du champ incident sur la surface est non n´egligeable sur la surface

(ou les arêtes). Lorsque un coin est la seule partie de la surface éclairée, la contribution

du troisi`eme ordre devient alors essentielle au calcul des champs rayonn´es.

II.2.4.c Caract`ere non uniforme de la solution

Discontinuit´es. Les contributions des points critiques de premier et second ordre

doivent ˆetre prises en compte seulement si ces points appartiennent au domaine d’int´egration[116].

Or, lorsque le point d’observation

du champ rayonn´e varie, les points critiques varient

´egalement. On constate alors que le point critique du premier ordre ”traverse” la surface

.

Pour la configuration précédente, le point critique du premier ordre évolue avec le

point d’observation du champ. Pour des angles d’observation

θ<9.6^◦

ou sup´erieur

θ>

II. Diffraction 3D 119

14.5^◦

, le point critique du premier ordre n’appartient plus au domaine d’int´egration

.

Par cons´equent, il convient alors ne pas prendre en compte la contribution (2.134) pour

ces angles. Ce qui conduit à des discontinuités dans le calcul du champ rayonné, lorsque

par exemple une contribution ”disparaˆıt”. Ces discontinuit´es sont visibles sur la figure

(2.34).

Singularit´es. On remarque que les expressions des contributions des points

cri-tiques du second et du troisième ordre (2.136-2.141), (2.145) peuvent être singulières

lorsque :

g_1,2⁽²⁾→0⇒E_r⁽²⁾_;_X_,_Y → ∞

(2.149)

g_1,2⁽³⁾→0⇒E_r⁽³⁾→ ∞

(2.150)

Si les dérivées premières de la fonction

sont nulles aux points critiques de second et

troisi`eme ordre, alors ces points sont ´egalement des points critiques du premier ordre.

Aussi, on peut s’attendre `a obtenir des champs singuliers lorsque le point critique du

premier ordre sera proche des contours de la surface

, c’est-`a-dire lorsque l’axe de

propagation du faisceau incident coupera la surface

au voisinage des bords.

Pour illustrer cette configuration, nous ´eclairons la plaque carr´ee avec un faisceau

dont l’origine est en

Ofg(X₊, 0, 10λ)

, c’est-`a-dire juste au dessus de l’une des arˆetes (cf.

figure (2.36)).

Fig.^{2.36: G´}^eom´^etrie.

sur cette figure, au voisinage de l’angle

θ=0^◦

, c’est-`a-dire dans la direction sp´eculaire,

la contribution du point critique du second ordre devient singuli`ere. Ceci est dˆu au fait

que le point critique du premier ordre est proche du point du second ordre. On parle

alors decoalescence entre les points critiques de premier et de second ordre.

Fig.^{2.37: `}^{A gauche : amplitude des champs rayonn´}^{es. `}^{A droite : contribution de} chaque type de points critiques.

La solution asymptotique propos´ee n’est donc valide que lorsque le point sp´eculaire

est éloigné des contours de la surface. Ce domaine de validité étant limité, notre objectif

suivant est de formuler une expression uniforme, c’est-à-dire dépourvue de discontinuités

et de singularit´es. C’est l’objet de la prochaine section.

Dans le document Applications du formalisme des faisceaux gaussiens à la modélisation de l'interaction d'une onde électromagnétique avec un objet 3D complexe (Page 125-133)