Description math´ ematique

Consid´erons un vecteur

b

positif de

R3

et d´efinissons les coordonn´ees spatiales

com-plexes d’un point source comme :

r^0def=r0−jb

(1.138)

7Les oscillations de plasma se comportent comme des particules quantifi´ees appel´eesplasmons. Les plasmons de surface sont des plasmons confin´es sur des interfaces vide/dielectrique particuli`eres. Ils peuvent int´eragir avec le champ ´electromagn´etique, modifiant l’aspect du champ rayonn´e (fr´equence, polarisation).

o`u

r0

est la position du point source dans l’espace r´eel. Le champ rayonn´e au point

r

par une source situ´ee en

r⁰

peut ˆetre obtenu `a partir d’une solution de l’´equation d’onde

scalaire dans l’espace r´eel par continuation analytique dans l’espace complexe[102] :

G(r)=^e

−j ks(r)

4πs(r)

^(1.139)

o`u

s(r)= kr⁰−rk

est la distance entre la position

r⁰

du point source complexe et un point

r

de l’espace r´eel.

G(r)

est une solution exacte de l’´equation de propagation car la partie

imaginaire rajout´ee n’a pas d’incidence dans le calcul des d´eriv´ees partielles.

Lorsque le vecteur

b

est nul, l’expression (1.139) correspond `a une source scalaire

isotrope :

G0(r) = b=0 e^{−j kkr0}0−rk 4πkr0 0−rk

^(1.140)

Si

b

est non nul, la source devient directive. Dans ce cas,

G(r)

a le comportement d’un

faisceau `a sym´etrie circulaire se propageant dans la direction

b^ˆ=b/kbk

avec une d´

ecrois-sance exponentielle transverse `a l’axe du faisceau[51].

La distance complexe

s(r)= kr⁰−rk

est une fonction bi-valu´ee. Par cons´equent, il

est n´ecessaire de d´efinir une branche de coupure permettant une ´evaluation unique de

la fonction. Tandis qu’une source r´eelle est singuli`ere au point

kr0−rk =0

, la source

complexe est singuli`ere selon la courbe d’´equation

kr⁰−rk =0

, c’est-`a-dire aux points

satisfaisant `a :

(

kr0−rk²=b²

b·(r0−r)=0

^(1.141)

Ces conditions correspondent au cercle de centre

r0

et de rayon

b = kbk

appartenant

au plan perpendiculaire `a

b^ˆ

(cf. figure 1.39). Pour choisir la branche de coupure, deux

conventions sont principalement utilis´ees pour d´eterminer le signe de la racine carr´ee[102,

103,71] :

– soit

Re[s(r)]

>

0

, convention ”source”;

– soit

Im[s(r)]

≷

0

, convention ”faisceau”

⁸

.

IV. Point source complexe 67

Fig.^{1.39: G´eom´etrie et notations. Le cercle rouge repr´esente la courbe de} singularit´es correspondant `a kr⁰−rk =0et le disque repr´esente la branche de

coupure choisie dans la convention ”source”.

La convention ”source” utilise la d´efinition usuelle de la racine carr´ee `a partie r´eelle

positive tandis que la convention ”faisceau” utilise la convention

(z)¹2 = ±jp

−z

o`u

p

_est

la racine carr´ee usuelle. Dans le premier cas, la branche de coupure est situ´ee `a l’int´erieur

du cercle de rayon

b

perpendiculaire `a

b^ˆ

(cf. figure 1.40). Le second correspond au cas

dual, la branche de coupure ´etant alors situ´ee `a l’ext´erieur du cercle (cf. figure 1.41).

Dans la premi`ere convention, la source du champ a pour origine le disque de centre

r0

.

Dans la seconde, la source du champ est situ´ee `a l’infini dans la direction ant´erieure du

faisceau. Dans le cadre d’une d´ecomposition d’un champ initial et d’une propagation

dans une seule direction, le choix de l’une ou l’autre est avant tout conventionnel.

Fig.1.40: Convention ”source” avecW0=λ, r0=(10, 0, 10)et

ˆ

Fig.1.41: Convention ”faisceau”. Mˆeme param`etres que pour la figure1.40.

Dans le demi-espace d´efini par

(r0−r)·b>0

et pour les points au voisinage de l’axe de

propagation du faisceau, l’approximation paraxiale de

G(r)

permet d’obtenir l’expression

d’un faisceau gaussien scalaire dont la ceinture est situ´ee en

r0

avec la demi-largeur du

faisceau

W0

d´efinie par[71] :

W0= µ2b k ¶1 2

(1.142)

Enfin, des consid´erations similaires permettent de d´efinir un dipˆole de Hertz dont

les coordonn´ees sont complexes ou bien un potentiel vecteur dont la fonction

u(r)

est

l’une des composantes. Dans l’approximation paraxiale, on d´efinit alors de cette fa¸con

un faisceau gaussien vectoriel[51]. Ces calculs ne seront pas d´etaill´es ici.

V. Conclusion du chapitre 69

V Conclusion du chapitre

Dans ce premier chapitre, nous avons fait la description de plusieurs types de

fais-ceaux ´el´ementaires. Les faisceaux gaussiens g´en´eralis´es ainsi que les points sources

com-plexes sont adapt´es `a la d´ecomposition de champs d´efinis sur des surfaces planes ou

mod´er´ement courbes. Les faisceaux gaussiens conformes permettent de d´efinir un

nou-veau type de faisceaux, particuli`erement adapt´es pour d´ecrire les champs issus de surfaces

courbes avec une incidence oblique. Ces faisceaux ´el´ementaires sont utilis´es pour la d´

e-composition de champs, le calcul analytique de la propagation et de leurs interactions.

Ils sont les briques essentielles d’un ”lancer de faisceaux” complet.

Une grande partie des travaux existants portent sur les faisceaux gaussiens g´en´

e-ralis´es, ce qui fait d’eux l’outil principalement utilis´e pour des applications pratiques.

Leur domaine de validit´e est connu, tout comme les expressions analytiques permettant

de calculer leurs interactions avec des objets conducteurs, di´electriques et di´electriques

multicouches.

Plus r´ecent, les faisceaux gaussiens conformes permettent la d´ecomposition et la

pro-pagation d’un champ connu sur une surface tr`es courbe. `A l’heure actuelle, l’´evaluation

asymptotique des int´egrales spectrales de faisceaux gaussiens conformes en zone proche

n’a pas ´et´e possible et limite le domaine d’application `a la seule d´ecomposition et

propa-gation de champs. Une ´evaluation asymptotique correcte permettrait en plus de d´ecrire

les champs transmis et r´efl´echis par des faisceaux gaussiens conformes et ainsi ´etendre

leur domaine d’utilisation.

Enfin, bien que pr´esentant l’avantage de provenir d’une solution exacte de l’´

equa-tion de propagaequa-tion, les points sources complexes pr´esentent plusieurs restrictions. Tout

d’abord, seuls des faisceaux gaussiens circulaires peuvent ˆetre exprim´es par ce

forma-lisme. Mais surtout, le calcul des interactions, en particulier des r´eflexions, d’un point

source complexe reste un sujet de recherche ouvert, o`u des algorithmes de recherche sont

lourds et non g´en´eraux. Toutefois, ils permettent d’exprimer dans certains cas de figure

canoniques, l’expression exacte du champ diffract´e par des faisceaux gaussiens.

Dans le document Applications du formalisme des faisceaux gaussiens à la modélisation de l'interaction d'une onde électromagnétique avec un objet 3D complexe (Page 78-84)