c) Idem pour le sch´ema de Lax-Wendroff

Approximation des EDP1, master MIMSE Sp´e 1 Feuille 5 2014-2015

Etude de stabilit´e : Sch´emas pour l’´equation de transport

On consid`ere l’EDP suivante :

∂tu(t, x) +c∂xu(t, x) = 0,∀t >0,∀x∈]0,1[

avec u(0, x) = u₀(x), c un r´eel positif, et des conditions aux limites appropri´ees. On note uⁿ_j une approximation num´erique de u au temps tⁿ = n dt et au le point xj = j dx, avec dx= 1/N. Pour r´esoudre num´eriquement ce probl`eme on consid`ere les m´ethodes suivantes :

— saute-mouton :

∂tu(tⁿ, xj)≈ uⁿ⁺¹_j −uⁿ⁻¹_j 2dt associ´ee aux discr´etisations spatiales suivantes :

— centr´ee d’ordre 2 :

∂xu(tⁿ, xj)≈ uⁿ_j+1−uⁿ_j−1 2dx

— d´ecentr´e amont :

∂xu(tⁿ, xj)≈ uⁿ_j −uⁿ_j−1 dx

— d´ecentr´e aval :

∂_xu(tⁿ, x_j)≈ uⁿ_j+1−uⁿ_j dx

— Lax-Wendroff :

uⁿ⁺¹_j =uⁿ_j − c dt 2dx

uⁿ_j+1−uⁿ_j−1

+c²dt² 2dx²

uⁿ_j+1−2uⁿ_j +uⁿ_j−1

.

a) Quelles conditions aux limites faut-il imposer pour que le probl`eme soit bien d´efini ?

b) Calculer l’ordre de l’erreur de troncature, ´evaluer la stabilit´e et si n´ecessaire l’ordre de convergence pour le sch´ema saut-mouton associ´e aux trois discr´etisations spatiales propos´ees.

c) Idem pour le sch´ema de Lax-Wendroff.

d) Idem pour le sch´ema de Crank-Nicholson.

e) Ph´enom`ene de Gibbs :

Le sch´ema de Lax-Wendroff, bien que stable en norme L², peut cr´eer des oscillations parasites si la solution discr`ete a de forts gradients. Pour le constater, calculer la premi`ere it´eration de ce sch´ema pour une condition initiale constante par morceaux, et interprˆeter le r´esultat.

1