Ouverts affines d’un A-sch´ema de type fini

Universit´e Paris 6

Ann´ee universitaire 2011-2012

Cours d’Introduction `a la th´eorie des sch´emas(Master 2).

Examen terminal du mardi 3 janvier 2012 ; dur´ee : 3 heures.Les notes de cours et de TD sont autoris´ees.

Exercice 1. Ouverts affines d’un A-sch´ema de type fini. Soit Aun anneau et soit X un A-sch´ema qui s’´ecrit S

Xi, o`u chaque Xi est ouvert et de la forme SpecBi pour une certaineA-alg`ebre de type finiBi. SoitU un ouvert affine de X et soit B l’anneauOX(U). On se propose de d´emontrer que la A-alg`ebre B est de type fini (ceci a ´et´e ´evoqu´e sans preuve en cours et en TD).

1) Montrez qu’il existe un recouvrement ouvert fini (U_j) deU o`u chaqueU<sub>j</sub> poss`ede les propri´et´es suivantes :

-U_j est de la formeD(f_j) pour une certainef_j ∈B;

- il existe un indice i(j) et une fonction g_j ∈ B_i(j) tel que U_j soit ´egal `a l’ouvertD(g_j) du sch´ema affineX_i(j).

2) Montrez que pour toutj, laA-alg`ebre OX(Uj) est de type fini.

3) Montrez l’existence d’une famille finie (b`) d’´el´ements de B poss´edant la propri´et´e suivante : pour toutb∈Bet toutj, il existeNtel quef_j^Nbappartienne

`

a la sous-alg`ebre deB engendr´ee par lesb`.

4) Exhibez un syst`eme g´en´erateur fini de laA-alg`ebreB.

Exercice 2. Le th´eor`eme de constructibilit´e de Chevalley. Si X est un espace topologique noeth´erien, on dit qu’une partie de X est constructible si elle est r´eunion finie de parties de la formeU∩F o`uU est un ouvert etF un ferm´e de X.

1) V´erifiez que l’ensemble des parties constructibles d’un espace topologique noeth´erien X est le plus petit sous-ensemble de P(X) contenant les ouverts, stable par union finie et par passage au compl´ementaire.

2) Soitf : A→B un morphisme entre anneaux noeth´eriens qui fait de B uneA-alg`ebre de type fini et soitϕ:SpecB→SpecAle morphisme induit. On se propose de d´emontrer queϕ(SpecB) est une partie constructible deSpecA (th´eor`eme de constructibilit´e de Chevalley). Pour cela, on raisonne par l’absurde et on suppose donc que c’est faux. SoitF l’ensemble des ferm´es deSpecAdont l’intersection avec ϕ(SpecB) n’est pas constructible. Montrez que F poss`ede un ´el´ementF qui est minimal pour l’inclusion.

3) Montrez queF est irr´eductible. On note P l’id´eal premier de A qui lui correspond, et ξ son point g´en´erique. On note η1. . . , ηm les points g´en´eriques de composantes irr´eductibles deSpec(B/P).

4) Montrez qu’il existeitel queϕ(η_i) =ξ; on noteQ_il’id´eal premier deBqui correspond `a η<sub>i</sub>; v´erifiez quef induit une injection de type finiA/P ,→B/Q<sub>i</sub>. 5) Soit K le corps des fractions de A/P. Le lemme de normalisation de Noether assure l’existence d’un entiern et d’un morphisme fini de K-alg`ebres K[T1, . . . , Tn],→K⊗_A/P(B/Pi). Montrez qu’il existef 6= 0 dansA/P tel que

1

ce morphisme fini soit induit (en tensorisant avecK au-dessus de (A/P)_f) par un morphisme fini de (A/P)_f-alg`ebres

(A/P)f[T1, . . . , Tn],→(A/P)f⊗A/P (B/Pi).

6) Montrez que l’image de

Spec((A/P)f⊗_A/P(B/Pi))→Spec((A/P)f[T1, . . . , Tn])

est ´egale `a Spec ((A/P)f[T1, . . . , Tn]) tout entier. On pourra utiliser sans le red´emontrer le th´eor`eme de Cohen-Seidenberg qui figure dans les feuilles de TD.

7) En d´eduire que l’image de Spec(B/Q_i) sur Spec(A/P) contient D(f).

Aboutir `a une contradiction et conclure.

8) Montrez par un contre exemple que le th´eor`eme de Chevalley est faux en g´en´eral si l’on ne suppose plusB de type fini surA.

Exercice 3. Points ferm´es d’un sch´ema de type fini sur un anneau principal ; cet exercice utilise les d´efinitions et r´esultats de l’exercice 2.SoitAun anneau principal et soitM l’ensemble de ses id´eaux maximaux.On suppose queM est infini.

1) Montrez que toute partie constructible non vide deSpecArencontreM. 2) SoitX unA-sch´ema de type fini, c’est-`a-dire un A-sch´ema qui poss`ede un recouvrement fini par des ouverts affines dont l’anneau des fonctions est une A-alg`ebre de type fini. Montrez que l’image de X surSpecAest constructible.

3) Soitx∈X. Montrez que xest un point ferm´e si et seulement siκ(x) est, en tant queA-alg`ebre, une extension finie deA/mpour un certainm∈M.

4) Reformulez l’´equivalence ´etablie en 3) dans le cas particulier o`uA=Z. 5) Montrez que sif : Y → X est un morphisme entre A-sch´emas de type fini et siy est un point ferm´e deY alorsf(y) est un point ferm´e deX.

6) Donnez des contre-exemples aux assertions 1), 2), 3) et 5 lorsqueM n’est plus suppos´e infini.

Exercice 4. Spectre d’un produit infini de corps.SoitI un ensemble. Unfiltre F surI est un ensemble de parties non vides deIstable par intersections finies et tel que siA∈F et siB⊃AalorsB ∈F. Unultrafiltreest un filtre maximal pour l’inclusion.

1) Sii∈I v´erifiez que l’ensemble des parties de I contenantiest un ultra- filtre ; on qualifiera deprincipalun tel ultrafiltre.

2) Montrez que tout filtre est contenu dans un ultrafiltre.

3) Montrez qu’un filtre F est un ultrafiltre si et seulement si pour tout E∈P(I) on a ou bienE∈F ou bien (I−E)∈F.

4) SoitU l’ensemble des ultrafiltres de I. Pour toute partieE ∈ P(I) on note UE l’ensemble des ´el´ements deU qui contiennentE. V´erifiez que siE et F sont deux parties deIalorsUE∩UF =UE∩F. On munitU de la topologie dont une base d’ouverts est fournie par les UE. Montrez que tout ultrafiltre principal est un point ouvert deU.

2

5) Montrez queU est compact ; en d´eduire que si I est infini il existe des ultrafiltres non principaux sur I. Montrez que si I est fini tout ultrafiltre de I est principal.

6) Soit (ki)_i∈I une famille de corps ; posons A =Qki. Pour tout F ∈ U on note m_F l’ensemble des ´el´ements (xi)_i∈I de A tels que {i ∈ I, xi = 0}

appartienne `aF. Montrez quem_F est un id´eal maximal deA, et queF 7→m_F

´

etablit un hom´eomorphisme entre U etSpecA.

7) On prend pour I l’ensemble des nombres premiers, et pour tout i ∈ I on prend pour ki une clˆoture alg´ebrique de Z/iZ. Soit ξ un point de Spec A correspondant `a un ultrafiltre non principal deI. Montrez queκ(ξ) est un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique nulle.

Exercice 5. Un analogue sch´ematique d’un r´esultat bien connu en topologie.

SoitX un sch´ema, soitY unX-sch´emapropre, et soitZ unX-sch´emas´epar´e.

Montrez que si f :Y →Z est un morphisme deX-sch´emas alorsf(Y) est une partie ferm´ee deZ.

Exercice 6.Soitkun corps et soitX unk-sch´ema propre, connexe et non vide.

1) Soit f ∈ OX(X) et soit ϕ : X → A¹k le morphisme induit par f (il correspond au morphisme dek-alg`ebres dek[T] dansOX(X) qui envoieT sur f). Montrez queϕ(X) est un point ferm´e deA¹k.Indication : on pourra utiliser le r´esultat de l’exercice pr´ec´edent.

En d´eduire qu’il existe un polynˆome irr´eductibleP∈k[T] et un entierntels quePⁿ(f) = 0.

2) On suppose queX est r´eduit. Montrez que OX(X) est un corps et qu’il est de dimension finie sur k. Que peut-on en conclure si kest suppos´e de plus alg´ebriquement clos ?

Exercice 7. Soit (X,OX) un espace localement annel´e et soit L un faisceau enOX-modules.

1) Pour tout ouvertU deX on noteL^∨(U) l’ensemble des morphismes de (OX)_|U-modules de L|U vers (OX)_|U. D´emontrez que L^∨ est un faisceau en OX-modules.

2) On suppose queL est localement isomorphe `aOX, c’est-`a-dire que pour toutx∈X il existe un voisinage ouvertU dextel queL|U '(OX)_|U. V´erifier queL^∨est lui aussi localement isomorphe `a OX, et queL ⊗L<sup>∨</sup>est (globale- ment) isomorphe `a OX.

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