Exercice 3 Soit A un anneau

ENS Lyon Alg`ebre 1

L3 2007-2008

TD 1 : Modules, Quotients et Suites Exactes

Exercice 1

1. Montrer que les Z-modules sont exactement les groupes ab´eliens.

2. Soit A un anneau,M unA-module. Montrer queM est un End(M)-module.

Exercice 2

1. Soit Aun anneau. V´erifier que A⁰ =M_n(A) est unA-module. Montrer qu’on peut munir M_mn(A) d’une structure de A⁰-module.

2. Montrer queR[X, Y] peut ˆetre muni d’une structure deR[X]-module et d’une structure de R[Y]-module.

Exercice 3

Soit A un anneau. Un A-module M est dit simple si M 6= {0} et M n’a pas de sous-module non trivial.

1. Montrer que les Z-modules simples sont exactement de la forme Z^/pZ avec p premier.

2. Montrer que siM etM⁰ sont desA-modules simples, et siϕ∈Hom_A(M, M⁰), alors ou bien ϕ= 0, ou bien ϕ est inversible.

Exercice 4

D´eterminer Hom Z/nZ,Z/mZ

. Exercice 5

1. V´erifier queRetR²sont desZ-modules et que poura, b∈Rfix´es, l’application f :t7→(ta, tb) est dans Hom_Z(R,R²).

2. On note π¹ :R R/Z et π² :R² R²_/Z² les surjections canoniques. Montrer qu’il existef :R/Z →R²_/Z² telle que π²◦f =f◦π¹ si et seulement si a, b∈Z, et qu’alors f ∈Hom_Z(R/Z,R²_/Z²).

3. Interpr´etation g´eom´etrique ?

Exercice 6 Soit A un anneau et M un A-module. On d´efinit le dual de M par M^∗ := Hom_A(M, A) et lebidual M^∗∗ := Hom_A(M^∗, A). Notons

φ : M → M^∗∗

m 7→ (f 7→f(m)) .

1. Montrer que si A est un corps et M unA-espace vectoriel de dimension finie, alors φ est un isomorphisme.

2. On suppose A=Zet M =Z/nZ : montrer qu’alorsφ n’est pas injectif.

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3. Soit K un corps. On se place dans le cas o`u A = K[X, Y] et M est l’id´eal engendr´e par X etY.

(a) Montrer que M^∗ =K[X, Y], puis queM^∗∗=K[X, Y].

(b) En d´eduire que φ est injectif mais pas surjectif.

Exercice 7

Soit 0→A−→^f B −→^g C→0 une suite exacte de modules.

1. Montrer que pour tout module M, les suites

0→Hom(M, A)−→Hom(M, B)−→Hom(M, C) et

0→Hom(C, M)−→Hom(B, M)−→Hom(A, M) sont exactes.

2. Montrer que pour A= 2Z, B =Z, C =Z/2Z, l’hypoth`ese est v´erifi´ee. Trouver un Z-module M tel que Hom(M, B)−→Hom(M, C) ne soit pas surjective.

3. Montrer que pour A = Z/2Z, B = Z/6Z, C = Z/3Z, l’hypoth`ese est v´erifi´ee.

Trouver un Z-module M tel que Hom(B, M) −→ Hom(A, M) ne soit pas sur- jective.

Exercice 8

Soit V un espace vectoriel, f ∈ End(V) et W un sous-espace vectoriel de V stable par f. On note π :V V_/W la surjection canonique.

1. Montrer qu’il existe f ∈Hom(V_/W, V_/W) tel queπ◦f =f ◦π.

2. Montrer qu’il existe une application φ : Kerf dans Kerf dont le noyau est Ker(f_|W), mais que cette application n’est pas n´ecessairement surjective.

3. Montrer que si f|W :W →W est surjective, alors φ est surjective.

Exercice 9

1. Soit P ∈ R[X] de degr´e n, on note (P) l’id´eal engendr´e par P. Montrer que R[X]_/(P) est un R-espace vectoriel ; quelle est sa dimension ?

2. On note I l’ensemble des ´el´ements P ∈ R[X, Y] dont la fonction polynomiale associ´ee ps’annule sur le cercle C(0, r) (r >0). Montrer que I est un id´eal de R[X, Y], isomorphe `aR[X, Y]_(X²_+Y²_−r²₎.

Exercice 10

Soit A un anneau commutatif et I un id´eal de A. Soit M un A-module engendr´e par n ´el´ements x₁, . . . , x_n etϕ ∈End(M) tel queϕ(M)⊂IM.

1. Montrer qu’il existe une famille {a_i,j/ 1≤ i, j ≤ n} d’´el´ements de I telle que pour tout i, Pn

j=1(δ_i,jϕ−a_i,j)x_j = 0. En d´eduire que ϕ v´erifie ϕⁿ+α₁ϕⁿ⁻¹+. . .+α_n = 0,

o`u les α_i ∈I.

2. En d´eduire que si IM =M, il existe x∈A tel que xM ={0} etx∈1 +I.

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