Montrer que si Ker(fk

Problème : Noyaux et images itérés

Dans ce problème,E désigne un espace vectoriel etf un endomorphisme de E.

On pose f⁰= Id_E et, pourk∈N^?,f^k=f◦f^k−1.

1. Montrer que (Ker(f^k))k∈N et (Im(f^k))k∈N forment respectivement une suite croissante et dé- croissante de sous-espaces vectoriels deE stables parf.

2. Montrer que si Ker(f^k) = Ker(f^k+1)alors, pour tout m>k,Ker(f^m) = Ker(f^k).

3. Montrer que si Im(f^k) = Im(f^k+1) alors, pour toutm>k,Im(f^m) = Im(f^k).

4. Montrer successivement :

(a) Im(f) = Im(f²)si, et seulement si, E= Im(f) + Ker(f).

(b) Ker(f) = Ker(f²) si, et seulement si,{0}= Im(f)∩Ker(f).

(c) E= Im(f)⊕Ker(f) si, et seulement si,Im(f) = Im(f²) etKer(f) = Ker(f²).

5. Soits(en supposant qu’il existe) le plus petit entier ktel que Ker(f^k) = Ker(f^k+1).

Soit r (en supposant qu’il existe) le plus petit entier k tel que Im(f^k) = Im(f^k+1). On veut prouver quer=s.

(a) On supposer < s. Montrer queKer(f^s−1) = Ker(f^s) puis dénicher une contradiction.

(b) On supposes < r. Montrer queIm(f^r−1) = Im(f^r) puis aboutir à une contradiction.

(c) Conclure.

(d) Montrer queE = Im(f^r)⊕Ker(f^r).

(e) Etablir que la restriction def à Ker(f^r) est nilpotente.

(f) Montrer que la restriction def à Im(f^r) induit un automorphisme deIm(f^r).

6. On suppose, dans cette question, l’espace vectoriel E de dimension finie n.

(a) Montrer que les entiersr etsexistent et quer =s6n.

(b) Montrer que E = Im(f)⊕Ker(f) si, et seulement si, Im(f) = Im(f²) si, et seulement si, Ker(f) = Ker(f²).

7. Donner un exemple des situations suivantes : (a) L’entierr existe mais pas l’entiers.

(b) L’entiersexiste mais pas l’entier r.

(c) Aucun des entiersr etsexistent.

* * * FIN DU SUJET * * *

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