Montrer que si un∼vn quand n

C.N.E.D. 2011-2012 LM260 Devoir 1

(Programme : ´equivalents, d´eveloppements limit´es, suites et s´eries num´eriques.)

Exercice 1. ´Etudier, en discutant selon la valeur du param`etre a ∈ R, la convergence des s´eries P_+∞

n=1uⁿ etP_+∞

n=1vⁿ, o`u uⁿ=n^a!√

n+ 1−√ n

, vⁿ=n^ap

n+ (−1)ⁿ−√ n

.

Exercice 2. Pour tout entiern≥1, on pose

un= lnn−

n

X

k=1

1/k.

Trouver un ´equivalent simple deuⁿ+1−uⁿquandntend vers +∞. En d´eduire que la suite (un)n≥1 est convergente.

Exercice 3. SoitP+∞

n=1unetP+∞

n=1vndes s´eries `a termes strictement positifs, divergentes et

Uⁿ=

n

X

k=1

u^k, Vⁿ=

n

X

k=1

vⁿ, les suites des sommes partielles associ´ees.

Montrer que si un∼vn quand n→+∞, alorsUn ∼Vn quand n→+∞.

Exercice 4. On d´efinit la suite (un)n≥0 par : u₀ = 1, un+1 =un+ 1

uⁿ si n≥0.

1) Montrer que la suite (uⁿ)ⁿ≥0 est croissante de limite +∞. 2) On posevⁿ=u²n. Montrer que vⁿ+1−vⁿ−−−−−→_n

→+∞ 2.

3) En ´ecrivant vn = v₀ +Pⁿ−1

k=0(vk+1 −vk), montrer que vn ∼ 2n puis que un∼√

2n quandn tend vers +∞.

Exercice 5. Pour toutn∈N^⋆, on pose vⁿ=R₍n+1)π nπ

sinx x dx.

1) Montrer, en utilisant le crit`ere des s´eries altern´ees, que la s´erie de terme g´en´eral vⁿ, n≥1, est convergente.

Montrer que si t∈[0, π] et n∈N^⋆, on a

R^nπ+t nπ

sinx x dx

≤ n¹. 2) En d´eduire que la fonction x 7→ R^x

1 sint

t dt a une limite finie quandx tend vers +∞.

1