Montrer que la s´erie de terme g´en´eral vn est convergente

Universit´e Denis Diderot (Paris VII) 2009-2010

CM 3 Groupe Concours

Feuille 4 S´eries num´eriques

Exercice 1 — Etudier la nature des s´eries dont voici le terme g´en´eral

1) _nlog¹ _n 2) ^1+log_n2 ⁿ 3) ₃²nⁿ−11⁺⁵ 4) ^n+ln_n2+1ⁿ

5)n^ln(a) (a >0) 6)e⁻

√n 7)n²sin(₂¹n) 8) ¹₂ +_n¹n

9) ^(n!)_(3n)!³ 10)

3n 4n−1

2n+1

11) ⁽ⁿ⁺¹⁾_n!+1⁴ 12) 1!+···(n−1)!

n!

13) 1!+···(n−2)!

n! 14) _(1+n)¹ α ln(cos(¹_n)) (α >0) 15) n^(n−k)−1 (k∈R) 16) n

1 1+n2 −1

17) n.n¹ⁿ 18)n! ^x_nn

(x >0) 19) 1−cos ¹_n

20) _(log^nlog_n)ⁿn

21) (n⁶+ 3)^a−(n²+ 2)^3a (a∈R) 22)n²e⁻

√n 23)_(1+a)(1+a^nα2)···(1+aⁿ) (a >0, α∈R)

Exercice 2 — Soitα un nombre r´eel. Pour tout entier strictement positifn, on pose un= 1

n^α ,vn= 1

n^α − 1

(n+ 1)^α etwn= 1

n^α − 2

(n+ 1)^α + 1 (n+ 2)^α· 1. Pour quelles valeurs de α la suite (u_n) est-elle convergente ?

2. Pour quelles valeurs de α la s´erie de terme g´en´eral v_n est-elle convergente ? Dans ce cas, calculer sa somme.

3. Pour quelles valeurs deα la s´erie de terme g´en´eral w_n est-elle convergente ? Dans ce cas, calculer sa somme.

Exercice 3 — Pour tout entier positifn, on pose u_n= (−1)ⁿ

3n+ 1 etv_n= 3

(6n+ 1)(6n+ 4)· 1. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral vn est convergente.

2. Calculeru_2n+u_2n+1 pourn∈N.

3. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral u_n est convergente et que

+∞

X

0

u_n=

+∞

X

0

v_n.

Exercice4 — Pour quelles valeurs dea∈R^∗+la s´erie de terme g´en´eralu_n= cosh(n)

aⁿ converge- t-elle ?

Exercice 5 — Soit (un)n∈N une suite de nombres r´eels strictement positifs. Pour toutn ∈N, on pose S_n=u₀+· · ·+u_n etv_n= u_n

S_n.

1. Montrer que si la s´erie de terme g´en´eralu_nest convergente, alors la s´erie de terme g´en´eral vn est convergente.

1

2. Montrer que pour toutn∈N, on a

n

Y

k=1

(1−v_k) = u₀ S_n. 3. On suppose que la s´erie de terme g´en´eralv_n est convergente.

(a) Quelle est la nature de la s´erie de terme g´en´eral log(1−v_n) ? (b) Montrer que la s´erie de terme g´en´eral u_n est convergente.

Exercice 6 — Soienta etb deux nombres r´eels strictement positifs. Pour quelles valeurs dea etb la s´erie de terme g´en´eral aⁿ2

√n

2^√n+bⁿ converge-t-elle ? Exercice 7 — Pour toutn∈N^∗, on pose un= (−1)ⁿ

√n exp

(−1)ⁿ

√n

etvn=un−(−1)ⁿ

√n · 1. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral v_n est divergente.

2. La s´erie de terme g´en´eral un est-elle convergente ?

Exercice 8 — Soit (u_n)n∈N^∗ une suite de nombres complexes. On pose, pour n > 0, v_n = u_n+u_n+1+· · ·u_2n.

1. On suppose queu_n=aⁿ, avec a∈C.

(a) Montrer que la s´erie de terme g´en´eralu_net la s´erie de terme g´en´eralv_nsont de mˆeme nature.

(b) Si la s´erie de terme g´en´eral vn est convergente, calculer sa somme.

2. On suppose que u_n= 1

n^α, avec α ∈ R. Montrer que la s´erie de terme g´en´eral v_n est convergente si et seulement siα >2.

Exercice9 — Soit (un)n∈Nune suite de nombres r´eels. Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ? lesquelles sont fausses ? Justifier la r´eponse.

1. Si pour tout n >0 un>0 et si la suite (un) est d´ecroissante et a pour limite 0, alors la s´erie de terme g´en´eral un est convergente.

2. Si pour toutn >0un>0 et si la s´erie de terme g´en´eralunest convergente, alors la suite (u_n) est d´ecroissante `a partir d’un certain rang.

3. Si pour toutn >0u_n>0 et si la s´erie de terme g´en´eralu_nest convergente, alors la s´erie de terme g´en´eral √

u_nest convergente.

4. Si pour toutn >0u_n>0 et si la s´erie de terme g´en´eralu_nest convergente, alors la s´erie de terme g´en´eral un2 est convergente.

5. Si limn→+∞((−1)ⁿnun) = 1 alors la s´erie de terme g´en´eral un est convergente.

6. Si limn→+∞((−1)ⁿn²un) = 1 alors la s´erie de terme g´en´eral un est convergente.

2

Exercice 10 — D´emontrer, `a l’aide d’un d´eveloppement limit´e, que la suite de terme g´en´eral u_n est convergente, avecu_n= sin(nπ+ 1

n+ 1 n²).

Exercice 11 — Etudier, en fonction du param`etre α > 0, la convergence des s´eries de terme g´en´eral :

(a) n^2−αcos(1

n) ; (b) αⁿ⁺

√ lnn

2 ; (c) (−α)ⁿ lnn .

Exercice12 — Soitf une fonction de classeC²sur [−1,1] telle quef(0) = 0,f⁰(0) =f⁰⁰(0) = 1.

Etudier les s´eries de terme g´en´eral (a) f(1

n) ; (b) f( 1

n²) ; (c) f((−1)ⁿ

n ) ; (d) f((−1)ⁿ

√n ) (icif est de classeC³).

Exercice 13 — Former le produit des s´eries de terme g´en´eral u_n etv_n o`u u_n= 1

n√

n etv_n= 1 2ⁿ⁻¹.

Exercice 14 — Soit u_n une suite positive telle que la s´erie de terme g´en´eral u_n converge. On pose vn= 1

1 +n²un

.

Montrer, en raisonnant par l’absurde, que la s´erie de terme g´en´eral v_n est divergente.

Exercice 15 — Soientu_n= (−1)ⁿ

n etσ l’application deN^∗ dans N^∗ d´efinie par

∀p∈N^∗, σ(3p−2) = 2p−1 ; σ(3p−1) = 4p−2 ; σ(3p) = 4p.

1. Montrer queσ est une bijection.

2. Comparer

+∞

X

n=1

u_n et

+∞

X

n=1

u_σ(n).

Exercice 16 — Calculer, si elles existent, les sommes des s´eries de terme g´en´eral

(a) 1

n²−¹₄ (n >0) ; (b) ln(1− 1

n²) (n >1) ; (c) arctan( 1

2n²) (n >0).

Exercice 17 — Etudier la nature des series dont voici le terme g´en´eral

1) _(2n−1)⁽⁻¹⁾ⁿ3 2) (−1)ⁿ¹⁺ⁿ_n 3) _n⁽⁻¹⁾2+lnⁿn 4) ^sin(nθ)₂n (θ∈R) 5)_n+(−1)¹ _n^√_n 6)_n−ln⁽⁻¹⁾ⁿ_n 7) _2n+cos(nπ)⁽⁻¹⁾ⁿ 8) ₍₋₁₎ⁿ⁺³_n^√_n−3n 9) (−1)ⁿcosh(_n¹) sin(_n¹) 10) ln ncosh(¹_n) sin(_n¹)

11) q

1 +^(−1)√_nⁿ −1 12)

_1+n(2−i)

n(3−2i)−3i

n

3