Universit´e Pierre-et-Marie Curie-Paris 06 LM 257 A Partiel 2012-2013
27 mars 2013
(Dur´ee 2 heures; sans document ni calculatrice)
Exercice I 1)Montrer que la s´erie num´erique de terme g´en´eralun= sin
1
√n
, d´efini pourn≥1, est divergente
2)Etudier la convergence de la s´erie num´erique de terme g´en´eralun−un+1. Exercice II
1) Soit α > 0. Montrer que la s´erie num´erique de terme g´en´eral un = (−1)n
nα , d´efini pour n > 1, est convergente.
2)Montrer que siα >1, la s´erie num´erique de terme g´en´eralvn = (−1)n
nα+ (−1)n converge absolument.
3)On suppose que 1
2 < α≤1.
a)Montrer que la s´erie num´erique de terme g´en´eralun−vn converge absolument.
b)En d´eduire que la s´erie num´erique de terme g´en´eralvn converge.
Exercice III 1)Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´eeI=
Z 1
0
lnt
√t(1−t)3/2dtest convergente.
2)V´erifier que, pour tout t∈]0,1[,
2
√t
√1−t 0
= 1
√t(1−t)3/2 3)En utilisant une int´egration par parties, montrer queI=−2
Z +1
0
dt pt(1−t) 4)En utilisant le changement de variables= 2t−1 calculer sa valeur.
Exercice IV Pour tout entiern >1, on pose Kn =
Z +∞
0
sinnt tn dt.
1)Montrer que cette int´egrale g´en´eralis´ee est convergente.
2)Montrer que pour toutn >1,Kn est strictement positif.
3)Montrer, par une in´egalit´e simple, que la suite
Z +∞
1
sinnt tn dt
n>1
converge vers 0 quandn→ ∞.
4)Est-ce que ce raisonnement s’applique `a la suite Z 1
0
sinnt tn dt
n>1
?
1
