2.a) Montrer que pour tout réel x >0, la série de terme général 1A(k)xk k! est convergente

(1)

1. SUJETS DE L’OPTION SCIENTIFIQUE

Exercice principal S8

1. Question de cours : Définition et propriétés des fonctions indicatrices des parties d’un ensemble.

Pour toute partieA⊆N, on note1A la fonction indicatrice deAet Ale complémentaire deA dansN. 2.a) Montrer que pour tout réel x >0, la série de terme général 1A(k)x^k

k! est convergente.

On pose alors :S_x(A) =

+∞

∑

k=0

1A(k)x^k k! .

b) On suppose queA⊆B. ComparerS_x(A) etS_x(B).

c) On suppose queA∩B=∅. ExprimerSx(A∪B) en fonction de Sx(A) etSx(B).

d) CalculerSx(∅),Sx(N) et pour toutp∈N,Sx({p}).

3. On suppose d´esormais quex∈]0,ln 2[.

a) Établir pour toutm∈N, l’inégalité stricte :

+∞

∑

k=m+1

x^k k! <x^m

m!. b) SoitAetB deux parties deNtelles que A∩B =∅.

Montrer que siAn’est pas vide et si le plus petit élément mdeA∪B appartient à A, alors : Sx(B)< x^m

m! 6Sx(A) En d´eduire que siSx(A) =Sx(B), alors :A=B=∅.

c) Montrer que l’applicationA7→Sx(A) est injective.

Exercice sans pr´eparation S8

Soit (Un)n∈N^∗ une suite de variables aléatoires indépendantes, définies sur le même espace probabilisé(

Ω,A, P) et de mˆeme loi uniforme sur ]0,1].

∈N^∗

∏n _1/n √ n

(2)

1. Question de cours : Sommes de Riemann.

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Une urne contient des boules numérotées de 1 à n; on effectue dans cette urne des tirages aléatoires successifs d’une boule avec remise. On noteX1, X2, . . . ,les numéros successifs obtenus et on suppose que cette expérience est modélisée par un espace probabilisé(

Ω,A, P) .

On noteY le rang du premier tirage pour lequel le numéro de la boule tirée est supérieur ou égal à X1, sous réserve qu’un tel numéro existe.

2. Pour tout entierk>2, on pose : B_k = [X_k< X₁].

a) En utilisant la formule des probabilit´es totales, calculerP[B2∩B3∩. . .∩Bk].

b) Montrer queP (₊_∞

∩

k=2

Bk

)

= 0.

c) Que peut-on dire de l’ensemble des élémentsωde Ω pour lesquelsY(ω) existe ? On admet désormais que cet ensemble est confondu avec Ω.

3.a) Montrer que pour tout entierm>1, on a :P[Y =m+ 1] = 1 n

n∑−1 i=0

( 1− i

n ) ( i

n )m−1

. b) Montrer queY admet une esp´eranceE(Y) donn´ee par :E(Y) = 1 +

∑n j=1

1 j.

4. On ne considère plus l’entiernfixé et on note désormaisY⁽ⁿ⁾la variable aléatoire notée précédemmentY. a) Calculer pour tout entierm>1, lim

n→+∞P[Y⁽ⁿ⁾=m+ 1].

b) En déduire que la suite (Y⁽ⁿ⁾)n>1converge en loi vers une variable aléatoire discrète qui n’a pas d’espérance.

Soitnun entier supérieur ou égal à 2. SoitU = (a1, a2, . . . , an)∈Kⁿ avecK=RouC. On suppose quea1̸= 0 etan ̸= 0.

On pose :A=







0 0 . . . 0 a1

0 0 . . . 0 a₂ ... . .. . .. . .. ... 0 0 . . . 0 an−1

a1 a2 . . . an−1 an





.

1. On suppose queK=R. Justiﬁer queA est diagonalisable. Calculer les valeurs propres deA.

(3)

1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité.

SoitX une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite de densitéf définie pour toutx∈Rpar f(x) = 1

√2πe⁻^x²^/2, et de fonction de r´epartition Φ.

2. Montrer queX admet des moments de tous ordres et ´etablir pour tout entier natureln, la formule : E(Xⁿ) =

{0 sinest impair (2p)!

2^pp! sin= 2pest pair (p∈N)

3.a) Montrer que pour tout a > 0, l’int´egrale

∫ +∞ 0

xf(x)Φ(ax)dx est convergente. On note alors pour tout a >0 :F(a) =

∫ +∞ 0

xf(x)Φ(ax)dx.

b) Exprimer pour touta >0,F(a) en fonction dea.

4. Soitaun réel strictement positif fixé. On définit la fonctiong surRpar :g(x) = 2f(x)Φ(ax).

a) Vérifier que gpeut être considérée comme une densité de probabilité d’une variable aléatoireY. b) CalculerE(Y²) et exprimer la variance V(Y) en fonction dea.

Soit E(⟨,⟩) un espace euclidien et soit f un endomorphisme sym´etrique de E. On suppose l’existence d’une constante r´eelleα>0 telle que∀x∈E,∥f(x)∥=α∥x∥.

Montrer quef²=α² id_E.

(4)

1. Question de cours : Loi de la somme de deux variables aléatoires indépendantes, dans le cas où les deux variables sont à valeurs dansNet dans le cas où elles possèdent une densité.

2. Soit Y et Z deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé(

Ω,A, P) qui suivent respectivement la loi exponentielle de paramètre λ > 0 (d’espérance 1/λ) et la loi exponentielle de paramètreµ >0 (d’espérance 1/µ).

a) Donner une densit´e de−Y.

b) On poseD=Z−Y. Donner une densit´e deD.

c) CalculerP(Y 6Z).

Pournentier supérieur ou égal à 2, soitX1, X2, . . . , Xn,nvariables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé(

Ω,A, P)

, strictement positives et telles que pour toutk∈[[1, n]],Xk suit la loi exponentielle de param`etreθ >0.

3. On pose :U = inf(X₁, X₂, . . . , X_n).

a) Identiﬁer la loi deU.

b) Soitj un entier donn´e de [[1, n]]. En utilisant la variable al´eatoireZ_j= inf

i∈[[1,n]],i̸=j

X_i, calculerP(U =X_j).

c) La variable aléatoireXj−U est-elle à densité ? discrète ?

4. On pose :V = sup(X₁, X₂, . . . , X_n) et pour toutj∈[[1, n]] :X_j^′ =−1

θln(1−e⁻^θX^j).

a) Montrer que les variables aléatoiresX₁^′, X₂^′, . . . , X_n^′ sont indépendantes et suivent chacune la même loi que les variables aléatoiresXj.

b) En d´eduire que pour touti∈[[1, n]] :P(V =Xi) = 1 n.

Soitn∈NetP_n le polynôme de Cn[X] défini parP_n(X) =Xⁿ+ 1.

Pour quelles valeurs den,P_n est-il divisible parX²+ 1 ?

(5)

1. Question de cours : Théorème de la limite centrée.

Soit (Xn)n∈N^∗ une suite de variables aléatoires centrées réduites définies sur le même espace probabilisé (Ω,A, P)

, indépendantes, de même densité de probabilité, et admettant des moments jusqu’à l’ordre 4.

On pose pour toutn∈N^∗ :Xn= 1 n

∑n k=1

Xk et Yn= 1 n

∑n k=1

X_k². 2. Pour toutn∈N^∗, on notem₄ le moment d’ordre 4 de X_n. a) Montrer quem4>1.

b) On pose pour toutn∈N^∗ :Y_n^∗= 1

√n(m4−1)

∑n k=1

(X_k²−1).

Justiﬁer la convergence en loi de la suite (Y_n^∗)_n_∈N∗ vers la loi normaleN(0,1).

3. Pour toutn∈N^∗, on pose :Un=

√ n

m4−1 X²_n.

CalculerE(Un) et en déduire la convergence en probabilité vers 0 de la suite de variables aléatoires (Un)n∈N^∗. 4. On note Φ la fonction de répartition de la loi normaleN(0,1). Soitxet εdeux réels arbitraires avecε >0.

a) ´Etablir l’encadrement :P(Y_n^∗6x)6P(Y_n^∗−Un6x)6P(Y_n^∗6x+ε) +P(Un>ε).

b) En d´eduire l’existence d’un entierN_εtel que pour toutn>N_ε, on a : Φ(x)−ε6P(Y_n^∗−U_n6x)6Φ(x+ε) +ε c) Que peut-on en conclure pour la suite (Y_n^∗−Un)n∈N^∗?

5. On pose pour toutn∈N^∗ :Zn= 1

√n

∑n k=1

((Xk−Xn)²−1) . Déduire des résultats précédents, la limite en loi de la suite (Zn)n∈N^∗.

SoitE l’espace vectoriel des fonctions continues surR⁺. SoitT l’application qui à toute fonctionf ∈E, associe la fonctionF =T(f) définie par :F(0) =f(0) et∀x >0, F(x) = 1

x

∫ x 0

f(t)dt.

1. Montrer queT est un endomorphisme deE. Est-il injectif ? 2. Déterminer les réelsλet les fonctionsf vérifiantT(f) =λf.

(6)

Soitn∈N^∗ etf une fonction deRⁿ dansR. On dit que f est convexe si et seulement si :

∀λ∈[0,1], ∀(x, y)∈(Rⁿ)², f(

λx+ (1−λ)y)

6λf(x) + (1−λ)f(y) On munitRⁿ de sa structure euclidienne usuelle et on note⟨,⟩son produit scalaire canonique.

1. Question de cours : D´eveloppement limit´e d’ordre 1 au point a∈Rⁿ pour une fonction f de classe C¹ sur Rⁿ.

2. Soitf1et f2 deux fonctions deRⁿ dansRconvexes etα∈R.

a) Les fonctions suivantes sont-elles convexes :f₁+f₂,αf₁ , min(f₁, f₂) et max(f₁, f₂) ? b) Lorsquen= 1 a-t-onf1◦f2 convexe ?

3. Soitf une fonction convexe et de classeC¹surRⁿ.

Pour tout (x, h)∈(Rⁿ)², soitgx,h la fonction de RdansRd´eﬁnie par :gx,h(t) =f(x+th).

a) Montrer quegx,h est convexe surR.

b) Montrer que g_x,h est dérivable surR. Exprimer pour toutt ∈R,g_x,h^′ (t) en fonction des dérivées partielles def.

c) En d´eduire que∀(x, y)∈(Rⁿ)²,⟨∇f(x), y−x⟩ 6 f(y)−f(x), o`u∇f(x) est le gradient def enx.

d) Soitaun point critique def. Montrer quef admet un minimum global au pointa.

4. Dans cette question, soitAune matrice symétrique réelle d’ordrenet soitf la fonction deRⁿ dansRdéfinie par :f(x) = 1

2⟨Ax, x⟩.

a) V´eriﬁer que f est bien de classeC¹surRⁿ. Montrer que : ∀x∈Rⁿ, ∇f(x) =Ax.

b) En d´eduire que sif est convexe, alors toutes les valeurs propres de Asont positives.

SoitX une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé(

Ω,A, P)

, v´eriﬁant les conditions suivantes :

• P(X = 0) = 0 ;

• P(X >0) =α >0 ;

• P_[X>0](X 6x) =

{1−e⁻^ax six >0

0 six60 aveca >0 ;

• P_[X<0](−X 6x) =

{1−e⁻^bx six >0

0 six60 avecb >0.

1. Déterminer la fonction de répartition deX. 2. La variable aléatoireX est-elle à densité ? 3. Établir l’existence deE(X). CalculerE(X).

(7)

1. Question de cours : Ordre de multiplicit´e d’une racine d’un polynˆome.

2. SoitP ∈C[X] d´eﬁni par :P(X) =X³−X²−1.

a) Montrer que toutes les racines deP sont simples.

b) Montrer queP admet une racine réelle, notéeb, et deux racines complexes conjuguées, notéesz et ¯z.

c) Calculer le produitbzz. Comparer¯ b et|z|.

Pour toutn∈N^∗, on noteSune partie de [[1, n]] qui possède la propriété suivante : sip∈ S, alorsp+ 1 etp+ 2 n’appartiennent pas àS; on dit queS est une ”partie spéciale” de [[1, n]]. Par exemple, l’ensemble vide est une partie spéciale.

3. Pour toutn∈N^∗, on notetn le nombre de parties sp´eciales de [[1, n]] et on poset0= 1.

a) Calculert1,t2 ett3.

b) Montrer que pour toutn∈N, on a :t_n+3=t_n+t_n+2.

4. SoitV l’ensemble des suites réelles (v_n)_n_∈Ndéfinies par : (v₀, v₁, v₂)∈R³et pour toutn∈N,v_n+3=v_n+v_n+2. a) Montrer queV est un espace vectoriel.

b) D´eterminer la dimension deV ainsi qu’une base deV.

5) SoitM la matrice deM3(C) d´eﬁnie par :M =



 1 1 1 b z z¯ b² z² z¯²



.

a) Montrer que la matriceM est inversible.

b) Quelles sont les suites g´eom´etriques deV ?

c) Soitα,β et γdes constantes complexes telles que : pour toutn∈N,αbⁿ+βzⁿ+γ¯zⁿ= 0.

Montrer queα=β=γ= 0.

d) En déduire qu’il existe une constante réelle A et une constante complexe B vérifiant pour tout n ∈ N : t_n =Abⁿ+Bzⁿ+Bz¯ⁿ.

SoitX une variable aléatoire à densité définie sur un espace probabilisé(

Ω,A, P)

telle queX(Ω)⊂R⁺_∗. 1. On suppose que la variable al´eatoireX+ 1

X admet une esp´erance. Montrer queX admet une esp´erance.

2. La r´eciproque est-elle vraie ?

(8)

Soitpun paramètre réel inconnu vérifiant 0< p <1. Pour n∈N^∗, soitX1, X2, . . . , Xn, nvariables aléatoires définies sur un espace probabilisé(

Ω,A, P)

, indépendantes et de même loi de Bernoulli d’espérancep.

On pose pour toutn ∈N^∗ : X_n = 1 n

∑n k=1

X_k; on noteE(X) l’esp´erance d’une variable al´eatoire X et exp la fonction exponentielle.

1. Question de cours : Rappeler comment l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de définir à partir deXn, un intervalle de confiance de risqueα(0< α <1) pour le paramètrep.

2. Soitf la fonction deRdansRd´eﬁnie par :f(t) =−p t+ ln(1−p+p e^t).

a) Montrer quef est de classeC² surRet que sa dérivée seconde vérifie :∀t>0, f^′′(t)6 1 4. b) Montrer à l’aide d’une formule de Taylor que pour tout t>0, on a :f(t)6 t²

8. c) En d´eduire que pour tout t>0 et pour toutk∈[[1, n]], on a :E(

exp(t(X_k−p))) 6exp

(t² 8

) .

3.a) Montrer que siSest une variable aléatoire discrète finie à valeurs positives etaun réel strictement positif, on a :P(S>a)6E(S)

a .

b) À l’aide des questions 2.c) et 3.a), établir pour tout couple (t, ε)∈(R⁺)², l’inégalité : P(X_n−p>ε)6exp

(

−tε+ t² 8n

)

c) Montrer que pour toutε>0, on a :P(|Xn−p|>ε)62 exp(−2nε²).

d) En déduire un intervalle de confiance de risqueαpour le paramètrepet comparer sa longueur, lorsqueαest proche de 0, à celle de l’intervalle de confiance demandé dans la question 1.

Pour n ∈N^∗, on considère l’espace euclidienRⁿ muni de son produit scalaire canonique. Soit B1 et B2 deux bases orthonormées deRⁿ. On noteP = (pi,j)16i,j6n la matrice de passage de la base B1à la base B2. 1. ExprimerP⁻¹ en fonction deP.

2. Établir l’inégalité : ∑

16i,j6n

pi,j

6n.

(9)

Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans l’exercice sont définies sur un espace probabilisé(

Ω,A, P) . 1. Question de cours : Soit (u_n)_n_∈N et (v_n)_n_∈Ndeux suites de r´eels strictement positifs.

Rappeler la signiﬁcation de la relation :v_n =o(u_n).

Montrer que siv_n =o(u_n) et si la série de terme généralu_n est convergente, la série de terme général v_n l’est aussi et que l’on a :

+∞

∑

k=n

vk =o (₊_∞

∑

k=n

uk

) . 2. Soitαun r´eel strictement positif.

a) ´Etablir la relation : e⁻ⁿ^α =o ( 1

n² )

.

b) En déduire l’existence d’un réelcα et d’une variable aléatoireXα à valeurs dansN^∗ tels que :

∀n∈N^∗, P([Xα=n]) =cαe⁻ⁿ^α c) On suppose queα= 1.

Identiﬁer la loi deX1et calculer pour toutn∈N^∗, la probabilit´e conditionnelleP[X₁>n]([X1>n+ 1]).

3. On suppose dans cette question queα >1 et on lui associeX_α comme en 2.b).

a) ´Etablir la relation : e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾^α=o(

e⁻ⁿ^α−e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾^α) .

b) À l’aide du résultat de la question 1, établir pour toutn∈N^∗, la relation :P([Xα>n+1]) =o(

P([Xα=n])) . c) Montrer que lim

n→+∞P_[X_α_>_n]([Xα>n+ 1]) = 0.

4. On suppose dans cette question que 0< α <1 et on lui associeX_αcomme en 2.b).

a) Calculer lim

n→+∞e⁽ⁿ⁺¹⁾^α(

e⁻ⁿ^α−e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾^α) . b) En d´eduire lim

n→+∞P_[X_α_>_n]([X_α>n+ 1]).

SoitDla matrice d´eﬁnie par :D=

(−1 0

0 4

) .

Déterminer les matricesM ∈ M2(R) qui vérifientM³−2M =D.

(10)

1. Question de cours : Donner deux conditions suﬃsantes de diagonalisabilit´e d’une matrice deMn(R).

Dans les deux cas, préciser les propriétés des sous-espaces propres.

Dans tout l’exercice, on associe `a tout vecteuru= (x, y, z)∈R³, la matrice-colonneU =



x y z



.

On consid`ere des r´eels a, betc strictement positifs et la matriceA=



−b b a b −c c a c −a



.

2. Montrer que l’application φ définie surR³×R³, à valeurs réelles, telle que φ(u, v) =^tU AV est une forme bilinéaire symétrique.

3.a) Soitu= (1,0,0) etv= (1,1,1). D´eterminer les signes de φ(u, u) etφ(v, v) respectivement.

L’applicationφest-elle un produit scalaire sur R³?

b) Montrer queAadmet une valeur propre strictement positive et une valeur propre strictement n´egative.

(on ne cherchera pas `a les calculer)

4. Soitf la fonction deR³ dansRd´eﬁnie par :f(x, y, z) =xe^y+ye^z+ze^x.

a) Montrer qu’un point critique (x, y, z) def v´eriﬁe les conditions :x y z=−1, x <0, y <0 etz <0.

Donner un point critique def.

b) Justifier l’existence du développement limité à l’ordre 2 def en un point critique, et écrire ce développement.

c) La fonctionf admet-elle un extremum local ?

Ω,A, P)

, suivant la loi de Poisson de param`etre λ >0.

1.a) Montrer que pour tout entiern > λ−1, on a :P(X >n)6P(X=n)× n+ 1 n+ 1−λ. b) En d´eduire queP(X >n) ∼

n→+∞P(X =n).

2. Montrer queP(X > n) =o(

P(X =n))

lorsquentend vers +∞.

(11)

1. Question de cours : Continuité d’une fonction réelle d’une variable réelle.

2. On d´eﬁnit la suite (un)n∈N^∗ par : pour toutn∈N^∗, cos(un) =n−1

n etun∈]0, π/2].

a) Montrer que la suite (u_n)_n_∈N∗ est convergente et d´eterminer sa limite.

b) D´eterminer une constante r´eelleC telle queu_n∼ C

√n lorsquentend vers +∞.

3. On note Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et exp la fonction exponentielle.

Soitf la fonction d´eﬁnie surR⁺ par :f(x) = exp (x²

2

) (1−Φ(x)) . a) On pose pour toutx >0 :θ(x) = 1−Φ(x)− 1

x√ 2πexp

(

−x² 2

)

. D´eterminer le signe deθ(x).

b) Calculerf(0). Montrer quef est décroissante et bornée surR⁺. 4.a) Établir la convergence de l’intégrale

∫ +∞ 0

un

x²+u²_ndxet calculer cette intégrale. En déduire la convergence de l’intégrale

∫ +∞ 0

unf(x)

x²+u²_n dx; on noteI_n cette int´egrale.

b) On pose pour toutn∈N^∗ :Kn=

∫ +∞

√un

un

(f(x)−f(0)) x²+u²_n dx.

Montrer que la suite (Kn)n∈N^∗ est convergente et a pour limite 0.

c) En d´eduire la convergence et la limite de la suite (I_n)_n_∈N∗.

Soitn∈N^∗ etA∈ Mn(R).

1. ´Etablir l’existence d’un polynˆome non nulP ∈R[X] tel queP(A) = 0.

2. On suppose que la matriceAest inversible. Montrer queA⁻¹s’´ecrit comme un polynˆome en A.

(12)

1. Question de cours : Sous-espaces vectoriels suppl´ementaires.

SoitEl’espace vectoriel r´eel des fonctions continues surRetE0 le sous-ensemble deE constitu´e des fonctions continues s’annulant en 0.

Soitt∈]0,1[ et φt:E0−→E0 d´eﬁnie par :∀f ∈E0, ∀x∈R, φt(f)(x) =f(x)−f(tx).

2.a) Montrer queE0 est un sous-espace vectoriel deE et que φt est un endomorphisme deE0. b) D´eterminer un sous-espace vectoriel suppl´ementaire de E0dansE.

c) Montrer que l’endomorphismeφ_test injectif.

3. Soitg une fonction deE₀ telle que :∃K >0, ∀(x, y)∈R², |g(x)−g(y)|6K|x−y|. a) Soitf ∈E0 v´eriﬁantφt(f) =g. Montrer que :∀n∈N^∗, ∀x∈R, f(x) =

n−1

∑

k=0

g(t^kx) +f(tⁿx).

En d´eduire que :∀x∈R, f(x) =

+∞

∑

k=0

g(t^kx).

b) Montrer queg admet un unique ant´ec´edent pourφ_t.

4. Trouver l’ensemble des fonctionsf ∈E0 telles que :∀x∈R, f(x)−2f(tx) +f(t²x) =x.

Les variables aléatoires sont définies sur un espace probabilisé(

Ω,A, P) .

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0 et soit Y une variable aléatoire indépendante deX telle que :Y(Ω) ={1,2}, P(Y = 1) =P(Y = 2) =1

2. On pose :Z=XY. 1. D´eterminer la loi deZ.

2. Quelle est la probabilit´e queZ prenne des valeurs paires ?

(13)

1. Question de cours : Comparaison de s´eries `a termes positifs.

Soit (un)n∈N la suite réelle définie par :u0= 1 et ∀n∈N, un+1= 2n+ 2 2n+ 5 ×un. 2. Écrire une fonction Pascal ayant pour argument un entiernet renvoyant

∑n k=0

uk. 3. Soitα∈R. On pose pour toutn∈N^∗,v_n= (n+ 1)^αu_n+1

n^αun

.

a) Rappeler le développement limité à l’ordre deux au voisinage de 0 dex7→ln(1 +x).

Montrer que lnvn= (α+ 1) ln (

1 + 1 n

)

−ln (

1 + 5 2n

) .

Pour quelle valeurα0 du réel αla série de terme général lnvn est-elle convergente ? b) Expliciter

∑n k=1

lnvk sans signe∑

, et en déduire qu’il existe un réel strictement positifC tel queun∼ C n^α⁰ lorsquentend vers +∞. Qu’en déduit-on pour la série∑

un?

c) Justifier l’existence d’un réel strictement positifD(indépendant den) tel que∀n∈N,

∑n k=0

ku_k6D×√ n.

4.a) ´Etablir pour tout entier natureln, la relation : 2

n+1∑

k=1

kuk+ 3

n+1∑

k=1

uk= 2

∑n k=0

kuk+ 2

∑n k=0

uk. b) En d´eduire la valeur de

+∞

∑

n=0

un.

On considère une variable aléatoireX définie sur un espace probabilisé(

Ω,A, P)

, qui suit la loi uniforme sur le segment [0,1].

Déterminer toutes les fonctionsg continues et strictement monotones de ]0,1[ sur g(]0,1[) telles que la variable aléatoire réelleY =g(X) suive la loi exponentielle de paramètre 1.

(14)

1. Question de cours : Définition de la covariance et du coefficient de corrélation linéaireρX,Y de deux variables aléatoires discrètesX etY, prenant chacune au moins deux valeurs avec une probabilité strictement positive.

Indiquer dans quels casρX,Y vaut 1 ou−1.

Dans tout l’exercice, ndésigne un entier supérieur ou égal à 2.

2. Pourr∈R, soit Mr la matrice deMn(R) d´eﬁnie par :Mr=







1 r r · · · r r 1 r · · · r r r 1 · · · r ... ... ... . .. ... r r r · · · 1





.

a) Montrer que (1−r) est une valeur propre deM_ret d´eterminer la dimension du sous-espace propre associ´e.

b) Trouver une matrice diagonale semblable `a Mr.

c) Pour quelles valeurs der, l’application (x, y)7→^tXM_rY est-elle un produit scalaire surRⁿ? (XetY désignent les matrices-colonnes dont les composantes sont celles des vecteursxety dans la base canonique deRⁿ) 3. SoitZ1, Z2,· · ·, Zn,nvariables aléatoires discrètes définies sur un espace probabilisé(

Ω,A, P)

, indépendantes et possédant toutes une variance égale à 1. On pose :Z = 1

n

∑n k=1

Zk.

a) Calculer pour toutα∈R, la varianceV(Z1+αZ) et la covariance Cov(Z1+αZ, Z2+αZ).

b) Montrer que pour tout α ∈ R, il existe un r´eel cα tel que la matrice de variance-covariance du vecteur al´eatoire(

cα(Z1+αZ),· · ·, cα(Zn+αZ))

soit égale à une matriceMr définie dans la question 2.

4. Déduire des résultats précédents queMrest la matrice de variance-covariance d’un vecteur aléatoire discret si et seulement sion a : 1

1−n 6r61.

Soitα∈R⁺. Pour toutn∈N^∗, on pose :un =

∏n k=1

( 1 + k^α

n² )

. 1. Montrer que siα= 2, la suite (un)n∈N^∗ est divergente.

2. Montrer que si 06α <1, la suite (u_n)_n_∈N∗ converge vers 1.

(15)

Exercice principal E3

1. Question de cours : Définition d’une série convergente. Pour quels réelsx >0, la série de terme général (lnx)ⁿ est-elle convergente ? Calculer alors sa somme.

2. Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on note fn la fonction définie sur l’intervalle ]0,+∞[, à valeurs réelles, par :fn(x) = (lnx)ⁿ−x.

a) Calculer les dérivées première et seconde f_n^′ et f_n^′′de la fonctionf_n. b) Montrer que la fonctionf1ne s’annule jamais.

c) Justifier l’existence d’un réela∈]0,1[ vérifiant l’égalité :f2(a) = 0.

3. On suppose désormais quenest un entier supérieur ou égal à 3, et on s’intéresse aux solutions de l’équation fn(x) = 0 sur l’intervalle ]1,+∞[. On donne : ln 2≃0,693.

a) Dresser le tableau de variations def_n sur ]1,+∞[ et montrer que l’équation f_n(x) = 0 admet deux racines, notéesu_n et v_n, sur ]1,+∞[ (u_n désigne la plus petite de ces deux racines).

b) Calculer lim

n→+∞vn.

4. Montrer que la suite (un)n>3 est convergente et calculer sa limite.

Exercice sans pr´eparation E3

Soitpun réel de ]0,1[ etq= 1−p. Soit (X_n)_n_∈N∗ une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur un espace probabilisé(

Ω,A, P)

, de mˆeme loi de Bernoulli telle que :

∀k∈N^∗, P([X_k = 1]) =pet P([X_k = 0]) =q. Pour nentier deN^∗, on définit pour toutk∈[[1, n]] la variable aléatoireY_k =X_k+X_k+1.

1.a) Calculer pour toutk∈[[1, n]], Cov(Yk, Yk+1).

b) Montrer que 0<Cov(Yk, Yk+1)61 4.

2. Calculer pour tout couple (k, l) tel que 16k < l6n, Cov(Yk, Yl).

3. On noteεun réel strictement positif fixé. Montrer que lim

n→+∞P ([

1 n

∑n k=1

Y_k−2p > ε

])

= 0.

(16)

1. Question de cours : Formule des probabilit´es totales.

2. Pour tout couple (n, p) d’entiers naturels, on pose :In,p=

∫ 1 0

xⁿ(1−x)^pdx.

a) CalculerI_n,0.

b) ExprimerIn,p+1 en fonction deIn+1,p.

c) En d´eduire l’expression deI_n,p en fonction denet p.

On dispose deN urnes (N >1) not´eesU1, U2, . . . , UN. Pour toutk∈[[1, N]], l’urneUk contientkboules rouges etN−k boules blanches.

On choisit au hasard une urne avec une probabilité proportionnelle au nombre de boules rouges qu’elle contient ; dans l’urne ainsi choisie, on procède à une suite de tirages d’une seule boule avec remise dans l’urne considérée.

On suppose que l’expérience précédente est modélisée par un espace probabilisé(

Ω,A, P) . 3. Pour toutk∈[[1, N]], calculer la probabilit´e de choisir l’urneUk.

Soitnun entier fixé deN^∗. On noteEn etR2n+1 les événements suivants :

E_n=”au cours des 2npremiers tirages, on a obtenunboules rouges et nboules blanches” ; R_2n+1=”on a obtenu une boule rouge au (2n+ 1)-i`eme tirage”.

4.a) ExprimerP(E_n) sous forme d’une somme.

b) Donner une expression de la probabilit´e conditionnellePE_n(R2n+1).

5. Montrer que lim

N→+∞P_E_n(R_2n+1) = In+2,n

I_n+1,n = n+ 2 2n+ 3.

On noteM2(R) l’espace vectoriel des matrices carr´ees r´eelles d’ordre 2.

1. Donner une base deM2(R).

2. Peut-on trouver une base deM2(R) form´ee de matrices inversibles ? 3. Peut-on trouver une base deM2(R) form´ee de matrices diagonalisables ?

(17)

Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (

Ω,A, P)

, à valeurs dans [0, θ] où θ est un paramètre réel strictement positif inconnu. Une densitéf deX est donnée par :f(x) =

{2x

θ² six∈]0, θ]

0 sinon . 1. Question de cours : Estimateur sans biais ; risque quadratique d’un estimateur.

2. Calculer l’esp´erance et la variance deX.

Pour nentier de N^∗, soit (X₁, X₂, . . . , X_n) unn-échantillon de variables aléatoires indépendantes et de même loi queX. On pose pour tout n∈N^∗: X_n= 1

n

∑n i=1

X_i.

3.a) D´eterminer la fonction de r´epartitionF deX.

b) Tracer dans un rep`ere orthogonal, l’allure de la courbe repr´esentative deF.

4.a) Déterminer un estimateurT_n deθ, sans biais et de la formecX_n, oùcest un réel que l’on précisera.

b) Quels sont les risques quadratiques respectifs associ´es aux estimateursXn et Tn deθ? 5. On pose pour toutn∈N^∗ :Mn = max(X1, X2, ..., Xn).

a) Déterminer la fonction de répartitionG_n et une densitég_n deM_n. b) Calculer l’espérance de Mn. En déduire un estimateur sans biaisWn deθ.

c) EntreTn etWn, quel estimateur doit-on préférer pour estimerθ? 6. Soitαun réel donné vérifiant 0< α <1.

a) Établir l’existence de deux réels a et b tels que 0< a <1 et 0 < b < 1, vérifiant P(M_n 6a θ) = α/2 et P(b θ6M_n 6θ) =α/2.

b) En déduire un intervalle de confiance pour le paramètreθ au niveau de confiance 1−α.

Pour n∈N^∗, soitA une matrice deMn(R) vérifiant : A³+A²+A= 0 (matrice nulle). On noteI la matrice identité deMn(R).

1. On suppose queAest inversible. D´eterminerA⁻¹en fonction deAetI.

2. On suppose queAest sym´etrique. Montrer que A= 0.

(18)

1. Question de cours : Définition de l’indépendance de deux variables aléatoires finies.

Une puce fait une suite de sauts de longueur 1 dans un plan muni d’un repère orthonormé (O,⃗i,⃗j) ; chaque saut est effectué au hasard et avec équiprobabilité dans l’une des quatre directions portées par les axesO⃗i etO ⃗j.

Pour toutn∈N, on noteMn la position de la puce apr`esnsauts etXn (resp.Yn) l’abscisse (resp. l’ordonn´ee) du pointMn.

On suppose qu’à l’instant initial 0, la puce est à l’origineO du repère, c’est-à-dire que M₀=O.

L’expérience est modélisée par un espace probabilisé(

Ω,A, P) .

2. Pour tout n > 1, on pose : T_n = X_n−X_n₋₁. On suppose que les variables al´eatoires T₁, T₂, . . . , T_n sont ind´ependantes.

a) D´eterminer la loi deTn. Calculer l’esp´eranceE(Tn) et la varianceV(Tn) deTn. b) Exprimer pour toutn∈N^∗,Xn en fonction deT1, T2, . . . , Tn.

c) Que vautE(Xn) ?

d) CalculerE(X_n²) en fonction de n.

3. Pour toutn∈N, on noteZn la variable aléatoire égale à la distance OMn. a) Les variables aléatoiresX_n et Y_n sont-elles indépendantes ?

b) Établir l’inégalité :E(Zn)6√ n.

4. Pour toutn∈N^∗, on notepn la probabilité que la puce soit revenue à l’origineO aprèsnsauts.

a) Sinest impair, que vautpn?

b) On suppose quenest pair et on pose :n= 2m (m∈N^∗). On donne la formule :

∑m k=0

(m k

)2

= (2m

m )

. Etablir la relation :´ p2m=

(2m m

)2

× 1 4^2m.

On d´eﬁnit la suite (vn)n∈N^∗ par :∀n∈N^∗, vn=

+∞

∑

k=n

1 k³.

1. Montrer que la suite (vn)n∈N^∗ est convergente et calculer sa limite.

2.a) Montrer que pour tout entierm>1, on a :

n+m∑

k=n

1 (k+ 1)³ 6

∫ n+m+1 n

dx x³ 6

n+m∑

k=n

1 k³. b) En d´eduire un ´equivalent dev lorsquentend vers +∞.

(19)

1. Question de cours : D´eﬁnition de deux matrices semblables.

SoitEun espace vectoriel réel de dimension 3 muni d’une baseB= (i, j, k). Soitf l’endomorphisme deEdéfini par :f(i) =i−j+k,f(j) =i+ 2j etf(k) =j+k.

On note Id l’application identit´e deE,f⁰=Id et pour tout k∈N^∗,f^k =f ◦f^k⁻¹. 2.a) Montrer que (2 Id−f)◦(f²−2f+ 2 Id) = 0 (endomorphisme nul deE).

b) L’endomorphismef est-il un automorphisme ?

c) D´eterminer les valeurs propres def ainsi que les sous-espaces propres associ´es.

d) L’endomorphismef est-il diagonalisable ?

3. Soit P un sous-espace vectoriel de E défini par : P ={(x, y, z)∈E/ax+by+cz = 0 dans la base B}, où (a, b, c)̸= (0,0,0).

SoitU,V etW trois vecteurs deEdont les composantes dans la baseBsont : (−b, a,0) pourU, (0, c,−b) pour V et (−c,0, a) pourW.

a) Montrer que le sous-espace vectoriel engendr´e par (U, V, W) est de dimension 2.

b) En déduire tous les sous-espaces vectorielsP deE qui vérifient f(P)⊂P.

SoitX une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, de fonction de répartition Φ.

1. Montrer pour tout r´eel a >1 et pour tout r´eelx >0, l’encadrement suivant : 06x(

1−Φ(ax)) 6

√2

πe⁻^ax²^/2

2. En d´eduire que lim

a→+∞

∫ +∞ 0

x(

1−Φ(ax)) dx= 0.

(20)

1. Question de cours : Convexité d’une fonction définie sur un intervalle de R. 2.a) Justifier que∀x∈R, l’intégrale

∫ x 0

e^t²dtest convergente. On pose :f(x) =

∫ x 0

e^t²dt=

∫ x 0

exp(t²)dt.

b) Montrer quef est de classeC²surR. Étudier la parité et la convexité def.

c) Étudier les variations def surRet tracer l’allure de la courbe représentative def dans un repère orthogonal du plan.

3.a) Établir pour toutn∈N^∗, l’existence d’un unique réelun vérifiantf(un) = 1 n. b) Montrer que la suite (un)n∈N^∗ est décroissante et convergente.

c) D´eterminer lim

n→+∞un.

4.a) ´Etablir pour toutu∈[0,ln 2], l’encadrement : 1 +u6e^u61 + 2u.

b) En interprétant le résultat de la question 3.c), en déduire qu’il existe un entier natureln0 tel que pour tout n>n0, on a :

∫ u_n 0

(1 +t²)dt6 1 n 6

∫ u_n 0

(1 + 2t²)dt.

c) Montrer que lim

n→+∞n un3= 0 et en d´eduire un ´equivalent deun lorsquentend vers +∞.

SoitXune variable aléatoire définie sur un espace probabilisé(

Ω,A, P)

, suivant la loi géométrique de paramètre p∈]0,1[ (d’espérance 1

p) etY une variable al´eatoire telle que : Y =

{0 siX est impair X

2 siX est pair D´eterminer la loi deY, puis calculer l’esp´erance deY.

(21)

1. Question de cours : Loi d’un couple de variables al´eatoires discr`etes ; lois marginales et lois conditionnelles.

SoitX et Y deux variables aléatoires définies sur un espace probabilisé(

Ω,A, P) . Soitpun r´eel de ]0,1[. On pose :q= 1−p.

On suppose que :

• X suit une loi de Poisson de param`etreλ >0 ;

• Y(Ω) =N;

• pour toutn∈N, la loi conditionnelle deY sachant [X =n] est une loi binomiale de param`etresnet p.

2. D´eterminer la loi du couple (X, Y).

3. Montrer queY suit une loi de Poisson de param`etreλp.

4. D´eterminer la loi deX−Y.

5.a) Établir l’indépendance des variables aléatoiresY etX−Y. b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire deX et Y.

SoitAune matrice deMn(R) diagonalisable (n>1). On suppose qu’il existek∈N^∗tel queA^k=In( matrice identit´e deMn(R) ).

Montrer queA²=I_n.

(22)

1. Question de cours : Définition et propriétés des fonctions de classeC^p (p∈N).

Soitαun réel non nul et soitf1et f2 les fonctions définies surRpar :∀x∈R, f1(x) = e^αxet f2(x) =xe^αx. On noteE le sous-espace vectoriel des fonctions deRdansRengendré parf1et f2.

Soit ∆ l’application qui, à toute fonction deE, associe sa fonction dérivée.

2.a) Montrer que (f1, f2) est une base deE.

b) Montrer que ∆ est un endomorphisme deE. Donner la matriceAde ∆ dans la base (f₁, f₂).

c) L’endomorphisme ∆ est-il bijectif ? diagonalisable ?

3. CalculerA⁻¹. En déduire l’ensemble des primitives surRde la fonctionf définie par :f(x) = (2x−3) e^αx. 4.a) Calculer pour toutn∈N, la matriceAⁿ.

b) En déduire la dérivéen-ièmef⁽ⁿ⁾ de la fonctionf définie dans la question 3.

Ω,A, P)

qui suit la loi de Poisson de param`etre λ >0. On pose :Y = (−1)^X.

1. D´eterminerY(Ω). Calculer l’esp´eranceE(Y) deY. 2. Trouver la loi deY.

(23)

1. Question de cours : Crit`eres de convergence d’une int´egrale impropre.

Soitf la fonction définie pour xréel par :f(x) =

∫ 1 0

t⁻^x√

1 +t dt.

2. Montrer que le domaine de d´eﬁnition def est D=]− ∞,1[.

3. D´eterminer le sens de variation def surD.

4.a) ´Etablir pour toutx∈D, l’encadrement : 06 1

1−x 6f(x)6

√2 1−x. b) En d´eduire lim

x→−∞f(x) et lim

x→1⁻f(x).

5.a) Calculerf(0).

b) ´Etablir pour toutx <0, une relation entref(x) etf(x+ 1).

c) En déduire un équivalent def(x) lorsquextend vers 1 par valeurs inférieures.

6. Tracer l’allure de la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal.

Soitnun entier supérieur ou égal à 1. On considèrenboules numérotées de 1 ànque l’on place au hasard dans nurnes, chaque urne pouvant recevoir de 0 ànboules.

1. Calculer la probabilit´epn que chaque urne re¸coive exactement 1 boule.

2. Montrer que la suite (pn)n∈N^∗ est d´ecroissante et convergente.

3. D´eterminer la limite de la suite (pn)n∈N^∗.

(24)

Exercice principal T1

1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité.

2. SoitF la fonction d´eﬁnie surRpar :

F(t) =

{0 sit <0 1−e⁻^t²^/2 sit>0

a) Montrer queF est la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densitéT. b) Déterminer une densitéf deT.

3. On pose pour tout r´eelAstrictement positif : I(A) =

∫ A 0

t²e⁻^t²^/2dtet J(A) =

∫ A 0

t³e⁻^t²^/2dt On note Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

a) À l’aide d’intégrations par parties, établir les deux relations suivantes : I(A) =−Ae⁻Â²^/2+√

2π(Φ(A)−1

2) etJ(A) =−A²e⁻^A²^/2+ 2

∫ A 0

f(t)dt b) En d´eduire les valeurs respectives de lim

A→+∞I(A) et lim

A→+∞J(A).

c) Calculer l’esp´eranceE(T) et la varianceV(T) de la variable al´eatoireT.

Exercice sans pr´eparation T1

Soita,b,cet ddes réels tous non nuls. Déterminer toutes les matrices carréesAd’ordre 2 avec A= (a b

c d ) qui vérifient la propriété :A²= 2A(on exprimera les solutions en fonction du produitbc).

(25)

1. Question de cours : Définition d’une densité de probabilité d’une variable aléatoire à densité.

Soitαun réel donné vérifiantα >3.

2. On considère la fonction f définie par : f(x) =

{α−1

x^α six>1 0 six <1

Montrer que f peut être considérée comme une densité de probabilité d’une variable aléatoire X définie sur [1,+∞[.

3.a) Déterminer la fonction de répartitionF de la variable aléatoireX.

b) ´Etudier les variations de F.

c) Tracer la courbe représentative deF dans le plan rapporté à un repère orthonormé (pour le dessin, on prendra α= 4).

4. Calculer l’espérance mathématique E(X) et la varianceV(X) de la variable aléatoireX.

On considère la suite (un)n>1 définie par : pour tout n>1,un= n!

nⁿ. 1. Montrer que la suite (un)n>1 est d´ecroissante.

2. En d´eduire que la suite (un)n>1 est convergente et calculer sa limite.

(26)

1. Question de cours : La loi binomiale.

On considère un ensemble de composants électroniques dont on souhaite étudier les caractéristiques de durée de vie. On suppose que la durée de vie de chaque composant est une variable aléatoireT de densité de probabilité f définie par :

f(t) = { 1

ae⁻^t/a sit >0 0 sit60 (le param`etreaest un r´eel strictement positif).

2. Donner l’allure de la repr´esentation graphique de la fonctionf.

3. Quelle est la probabilité qu’un composant soit encore ”en vie” à l’instant t? (c’est-à-dire la probabilité de survie au-delà du tempst).

4. Calculer la durée de vie moyenne (espérance mathématique) de chaque composant.

5. À l’instantt= 0, on commence une observation surncomposants (n>1) dont les durées de vie sont supposées indépendantes. Pour un instant fixét0, on noteNt0 la variable aléatoire égale au nombre de composants encore

”en vie” `a l’instantt₀.

a) Quelle est la loi de probabilit´e deNt₀?

b) Donner l’esp´erance math´ematique et la variance deN_t₀.

SoitAla matrice carrée d’ordre 3 définie par :

A=



 0 2 4

1/2 0 2

1/4 1/2 0





1. On noteIla matrice unit´e d’ordre 3. Trouver une relation entreA,A² etI.

2. En d´eduire queAest une matrice inversible. Calculer l’inverseA⁻¹ deA.

2.a) Montrer que pour tout réel x &gt;0, la série de terme général 1A(k)xk k! est convergente

2.a) Montrer que pour tout réel x >0, la série de terme général 1A(k)xk k! est convergente